基于希爾伯特—黃變換的徑流規律分析

騫 浩,趙 毅,徐 波,鄭俊耀

(1.邯鄲市水利局 漳滏河灌溉供水管理處,河北 邯鄲 005600; 2.華北水利水電學院 數學與信息科學學院,鄭州 450011)

2012-08-20

騫浩(1980—)，男，河北邯鄲人，邯鄲水利局漳滏河灌溉供水管理處助理工程師，研究方向為水資源管理。

基于希爾伯特—黃變換的徑流規律分析

騫 浩1,趙 毅2,徐 波2,鄭俊耀2

(1.邯鄲市水利局 漳滏河灌溉供水管理處,河北 邯鄲 005600; 2.華北水利水電學院 數學與信息科學學院,鄭州 450011)

希爾伯特-黃變換在處理非線性、非平穩、弱相依、高度復雜的時間序列時，比傳統的時間序列分析方法更具優勢。通過對時間序列進行經驗模態分解(EMD)，得到若干反映時間序列演化過程的本征模態函數(IMF)和序列變化的殘余項(趨勢項)，然后對每個本征模態函數作希爾伯特-黃變換，得到反映徑流規律的統計特征值，從而獲得序列變化的周期。對渭河臨潼水文站的年徑流觀測數據進行分析，得出年徑流變化存在9.52年、13.70年、21.74年和41.67年的周期，且有逐漸減小的趨勢。

經驗模態分解；徑流規律；臨潼水文站

1.引言

河川徑流演變極其復雜，其演變過程受到諸多因素的共同作用，且影響因素隨環境的不斷變化而改變，所以河川徑流序列是非線性、非平穩的。[1，2]因此研究該種徑流序列需要尋找非線性、非平穩的方法。

1998年,學者Huang[3]等提出一種新的時間序列分析方法：希爾伯特-黃(Hilbert-Huang Transform，HHT)變換[4]。HHT包括經驗模態分解(Empirical Mode Decomposition，EMD)和Hilbert變換兩部分。EMD[5]是依據數據自身的時間尺度特征來進行信號分解，得到有限個反映時間序列[6]演化過程的本征模態函數(Intrinsic Mode Function，IMF)和序列變化的趨勢項，再把IMF分量進行Hilbert變換，得到IMF隨時間變化的振幅和頻率，由頻率求得相應周期。HHT具有以下優點：與傅里葉變換相比，HHT能分析非線性非平穩信號。小波變換在本質上是具有柔性時頻窗的傅里葉變換，同樣面臨著傅里葉變換的局限性，而且小波基的多樣性帶來了如何有效選取小波基問題；HHT具有完全自適應性，能夠自適應產生“基”，HHT不受Heisenberg測不準原理制約——適合不規則震動信號,傳統方法受到Heisenberg測不準原理制約，即時間窗口與頻率窗口的乘積為一個常數，這就意味著如果要提高時間精度就得犧牲頻率精度。在處理非線性、非平穩的復雜信號時運用Hilbert-Huang變換，保留數據樣本本身特性，結果能夠反映出真實的物理過程。

本文在經驗模態分解方法的基礎上，運用Hilbert-Huang變換對渭河臨潼站年徑流水文序列趨勢演變及周期進行研究分析。

2.HHT方法

2.1 經驗模態分解(EMD)

EMD的特點就是把非線性非平穩的序列分解為多個IMF分量，并且在分解過程中能夠保持自身的特性，其分解生成的分量具有完備性、正交性。每一個IMF必須滿足兩個條件：

(1)極大值、極小值和過零點的數目相等或者至多相差一個；

(2)在任意時刻由極大值確定的上包絡和極小值確定的下包絡的和為零。

這兩個條件是EMD分解過程結束的收斂原則。通過EMD分解，任何復雜的信號都可以用有限個IMF之和表示。分解步驟如下：

(1)找出原始時間序列x(t)的所有局部極大值、極小值，運用三次樣條函數進行插值，得到x(t)的上包絡序列u(t)、下包絡序列v(t)。

(2)對u(t)和v(t)取平均，即m(t),記m(t)=[u(t)+v(t)]/2。

(3)設h1(t)=x(t)-m(t)，檢驗h1(t)是否滿足IMF的兩個條件。對于不同的數據序列。如果滿足以上條件，則h1(t)就是本征模態函數。否則，重復(1)～(2)，直至得到hk(t)滿足IMF的兩個條件，此時h1(t)就是第一個c1(t)；在求得第一個本征模態函數后，用原序列減去c1(t)，得到剩余值序列c1(t)，記r1(t)=x(t)-c1(t)。

(4)把r1(t)作為一個新的原始序列，重復(1)～(3)，直至剩余部分為一單調序列即殘余項，分解結束。

通常情況下，IMF的停止依據為前后兩個h(t)的標準差SD，即

(1)

經驗證，當SD=0.2～0.3時IMF的穩定性比較好，并能夠使IMF有清晰的物理意義。

2.2 Hilbert變換

原序列x(t)通過經驗模態分解后，可分別對每個內在模函數做Hilbert變換，求得瞬時頻率的Hilbert譜。將所有的本征模態函數Hilbert匯總，得到原序列x(t)的Hilbert譜。

對分解出的所有IMF進行Hilbert變換，ci(t)的Hilbert定義如下：

(2)

根據(2)式，當ci(t)與yi(t)形成復共軛時，得到解析信號Ci(t)：

Ci(t)=ci(t)+iyi(t)=ai(t)eiθi(t)

(3)

其中ai(t)為瞬時振幅，θi(t)為相位，即：

(4)

(5)

相應的瞬時頻率為：

(6)

經EMD變換后所得的瞬時頻率具有真正的物理意義。忽略殘余分量r(t)，原序列可以重構為：

(7)

通過對本征模態函數做Hilbert變換，可得到各分量的瞬時振幅和瞬時頻率，數據的瞬時性能通過它們很好地反映出來。如果把振幅顯示在時間-頻率上，就可以得到原序列的Hilbert譜。

Hilbert-Huang譜定義為：

(8)

Hilbert-Huang譜能反映幅值在整個頻段上隨頻率和時間變化的規律，是一種完整的時-頻分布。

3 渭河徑流統計規律分析

渭河臨潼水文站是黃河支流上的一個重要水文觀測站，研究渭河的徑流變化規律對于黃河抗洪防汛及治理有著重要的指導意義。徑流變化規律分析的原始序列采用臨潼站1961～2006年的年均流量序列。

采用經驗模態分解方法對臨潼水文站年平均徑流序列進行分解，得到4個本征模態函數和一個殘余趨勢分量，如圖1所示。

圖1 年徑流的經驗模態分解

由圖1可知，第一個本征模態函數IMF1的波長最短、振幅最大，與原序列保持較好的一致性，其包含的信息更能反映原序列的特征；從IMF1到IMF4呈現出振幅逐漸減小，頻率逐漸降低，波長逐漸增大的趨勢。則其對原序列的影響程度依次降低。

經驗模態分解趨勢項Residue表明臨潼水文站年平均徑流變化呈總體下降的趨勢。將各本征模態函數和趨勢項疊加，得到的序列與原序列狀態保持一致，進一步說明該方法的精確度較高。

按照公式對臨潼站年平均流量經EMD分解出的IMF進行Hilbert變換，得到中心頻率(IMF序列變化后各點瞬時頻率的平均值)、平均周期和平均振幅等統計結果，如表1所示。

表1 本征模態函數的統計特征值

從表1可以看出，臨潼站年平均徑流的本征模態函數IMF1～IMF4的中心頻率逐漸降低，平均周期逐漸變長，平均振幅逐漸變小。表明渭河徑流變化存在9.52年、13.70年、21.74年和41.67年的周期。這些周期的變化反映年徑流在整個時域內變化的特性。

4 小結

HHT方法在處理非線性、非平穩數據時具有很強的自適應性，能夠保留數據樣本本身的特性，最后得到趨勢分量和不同尺度的波動。它能夠將疊加的復雜信號分解成有限個具有一定物理意義的內蘊模式分量函數，能夠對瞬時頻率特征進行定量的分析，從而得到瞬時頻率和Hilbert時間頻譜，與傳統的時間序列分析方法相比更具有優越性。通過徑流序列分析，得到水域徑流變化規律，對防洪調度以及水利工程的修建具有重要指導意義。

[1]趙雪花．河川徑流演變規律的挖掘與識別技術[D]．西安理工大學，2005．

[2]燕愛玲,黃強,劉招,等.R/S法的徑流時序復雜特性研究[J].應用科學學報, 2007, 25(2): 214-217.

[3]Huang N E,Shen Z,Long S R,etal.The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis[J].Proc R Soc Lond A,1998,454(3):903～995.

[4]譚善文．多分辨希爾伯特-黃變換方法的研究[D]．重慶大學，2001．

[5]熊學軍,郭炳火,胡筱敏，等．EMD方法和Hilbert譜分析法的應用與探討[J]．海洋科學進展，2002，20(2)：12-21．

[6]Worrall F, Burt T P.Time series analysis of long-term river dissolved organic carbon records[J].Hydrological Processes, 2004, 18(5): 893-911.

RunoffLawAnalysisbyHilbert-HuangTransform

QIAN Hao1, ZHAO Yi2, XU Bo2, ZHENG Jun-yao2

(1.Zhang-fuhe Irrigation Water Supply Management Office, Handan Water Resources Bureau, Hebei Handan 056001, China;2.North China Institute of Water Resources and Electric Power, Zhengzhou 450011, China)

Compared with traditional analytical method of time series, Hilbert-Huang Transform has advantages to describe time-frequency characteristics for nonlinear, unsteady, weak-dependency and highly complex time series. Empirical Mode Decomposition (EMD) method is adopted to analyze time series, Intrinsic Mode Function (IMF) is reflected and the evolution of time series and sequence changes in the residual items (trend term) is obtained. Then, Hilbert - Huang transform is made for each IMF. The statistics reflected in runoff and sequence changes cycle are obtained. Taking hydrological stations of Lintong in the Wei River as examples, periods analysis of IMF shows that runoff change has period of 9.52,13.70,21.74 and 41.67 years, and gradually decreases.

Empirical Mode Decomposition; runoff law; hydrological stations of Lintong

TP18

A

1008-3715(2012)06-0113-03

(責任編輯趙冰)