透視“錯誤”背后的教學空間

陳錢勇

（上虞市豐惠鎮(zhèn)三溪小學，浙江 上虞 312000）

錯誤，是學生學習過程中的產物。面對學生的錯誤，教師可能會很苦惱，總是想盡力消除學生的學習錯誤。但是，不管教師愿意或不愿意，錯誤還是會頑強地出現在學生的學習過程中。學生的學習，就是出錯與改錯的過程。其實，教師大可不必為錯誤而煩惱。換個角度想想，錯誤也并不一定是學生學習的失敗，也可以是一種成功——因為這就意味著學生知道了這種方法是不可行的。重要的是教師要善于讀懂學生的錯誤，做出合理而有效的教學跟進。

一、從錯誤中讀出學生的認知經驗

學生先前的知識、經驗并不總是促進自己的學習，有時會產生負遷移，誘導學生做出錯誤的解答。這就需要教師從學生的錯誤中讀懂致使學生出錯的那部分經驗與知識，進行有效地改造、重組，形成新的認知經驗。

如學習連減的簡便計算，筆者在練習時安排了一定量的同類型連減鞏固題后，讓學生解決這樣一題（人教版四年下冊數學）：

有不少學生順著前面的思路，列出了這樣的算式：

2255-（345+255）=2255-600=1655（元）和 2255-345-255=1655（元）。

學生顯然是按著前面連減問題的解題經驗，依樣畫葫蘆列式解答。他們沒有認識到2255元是原價減去345元，再減去245元得到的，要求原價，應該逆向思考，在2255的基礎上加上兩次減去的錢，即：2255+345+255=2855元。

評價時，筆者把學生的這種錯誤解答寫在黑板上，先讓學生看這種解答，思考：根據題意，原價可能比現價低嗎？題目說的是什么意思？應該怎樣求原價？在此基礎上然后再討論正確的解答。

學生的學習過程中，像這樣運用已有經驗解決新問題是很正常的學習方式，也是定勢心理的反映。定勢心理是一把雙刃劍，既能促進學生的學習，也會阻礙學生的學習。在課堂上教師要及時讀懂這樣的錯誤，重新定位學生的學習起點，調整教學計劃，做出有效的教學處理。

二、從錯誤中讀出學生的合理想法

孩子的錯誤，表面看似毫無道理，但如果教師能真正走入孩子的思維世界，總能讀出其中蘊含的合理因素。

學過既有加減、又有乘除的四則運算后，筆者出了這樣一個問題：一頭羊重42千克，一頭牛的體重是一頭羊的8倍。一頭羊和一頭牛一共重多少千克？一頭羊比一頭牛輕多少千克？

一位同學在解答第二個問題時，列式正確：336-42（336為計算出來的牛的質量）。然而，在計算上出現了錯誤。他是這樣算的：336-42=258（千克）。

看到這樣的結果，筆者既生氣又困惑：他為什么會得出這樣的結果？筆者努力地去揣測他是怎樣算出來的：個位上的8，可能是把減法算成了加法（6+2）；百位上的2倒也是好理解（十位上不夠減從百位退一就成了2，這并不錯）；但是十位上的5，筆者一下子也推測不出是怎樣的一種錯誤思路造成的。正好，他就在筆者身邊，于是，決定聽聽他計算時的想法。

師指著8，問：這個8是怎么來的？

生：10-2=8。

筆者原以為他會說6+2=8，出乎意料，學生的思維確實很難以老師的主觀臆想去預測。

師：10從哪兒來的？

生：從前一位退一到個位，就是十。

疑惑：明明6-2是可以減的，為什么要從十位退一？

師繼續(xù)問：那這個5又是怎么來的？

生：也是向前一位退一作十，剛才個位上已經借去了一個一，這個10剩下了9，9-4=5。

師：那這個2呢？

生：300中拿出100去減42了，所以只剩下200了。

到這兒，清楚了他錯誤的原因：在計算336-42時，只算了300-42，丟掉了36，得出了258的錯誤結果。

于是，筆者提醒他：36到哪兒去了？

他不好意思地搔了搔頭，說：忘了。很快便糾正了錯誤。

這位學生的錯誤結果，粗看，很不合理。但通過與他的對話，筆者發(fā)現了合理因素：他采取的是口算的思路，只是在口算的過程中，出現了數據遺漏，導致錯誤。

如果沒有與他的這一段對話，教師是很難想到336-42=258這一錯題背后還有這些合理的因素。自然，也很難針對性地指導他糾正自己的錯誤。在批改學生的作業(yè)時，教師要善于轉換自己的角色，以學生的角度來想想學生為什么這樣做？這樣做有哪些合理因素？不合理的因素在哪兒，等等。只有這樣，我們才能更有效地解決學生的錯誤，真正抓在學生的“癢”處。

三、從錯誤中讀出學生的創(chuàng)新思維

有些孩子的錯誤，看似錯誤，實則卻是創(chuàng)新思維的反映。錯誤，其實是教師對學生思維的誤讀。

學生在學習百分數問題后，解答這樣一題：2005年我國火車第五次提速。某列火車從A市到B市，原來的平均速度為100千米/時，行完全程需8小時，現在行駛完全程只需6小時。

（1）現在所用的時間比原來縮短了百分之幾？

（2）這列火車的平均速度比原來提高了百分之幾？（百分號前保留一位小數）

第二個問題有小部分學生是這樣解答的：

100×（1-25%）=75 千米/小時

100-75=25 千米/小時

25÷75≈33.3%。

這種方法筆者很不解。在看到上面的問題時，筆者預設了這樣幾種解法：

（1）先求現在速度：100×8÷6=400/3（千米/小時）

再求提高的百分率：（400/3-100）÷100≈33.3%。

（2）把甲乙兩地路程看作“1”，得出現在的速度是（1/6-1/8）÷1/8≈33.3%。

（3）由原來時間和現在時間得出時間比：8∶6=4∶3，根據速度比與時間比是反比關系可知速度比為3∶4，得出：（4-3）÷3≈33.3%。

（4）由速度比3∶4可知現在速度是原來速度的4/3，現在速度比原來速度提高百分之幾也可如下解答：

（4/3-1）÷1≈33.3%。

少數學生的方法讓筆者意料不到。批改過程中，問了這些學生，想聽聽他們的想法，但他們也只知其然而不知其所以然。于是，筆者認為解答方法沒有道理，打上了錯號。雖然打上了錯號，但這種方法卻一直在筆者心中糾結：它是不是真的沒有道理？晚上繼續(xù)對這種方法進行了再次解讀。

首先想到是不是因為速度的數據產生巧合呢？于是換個數據再試，結果相同，看來并非巧合。進一步思考，把速度看作“1”，這種方法就成為：1×25%÷（1×75%）≈33.3%。

出現了一個新的問題：“1”的25%是誰？“1”的75%又指誰？

由這個問題出發(fā)，筆者覺得這種方法的解題思路可能是這樣的：由原來與現在的時間比4∶3，得出原來與現在的速度比是3∶4，這也就是說原來的速度是現在速度的75%，原來速度比現在速度少25%。如果把現在速度看作“1”，那么現在速度比原來速度快百分之幾，就是1×25%÷（1×75%）≈33.3%。如果把現在速度看作120千米/時，則是 120×25%÷（120×75%）≈33.3%，與前面如出一轍?？醋?00千米，自然也是可如此解釋。

學生解答時，并不一定會如此深入思考，也不一定能清楚地用語言表達出來。但他們的直覺告訴他們可以這樣解答。由于筆者沒有及時讀懂學生潛在的有價值的思維，輕率地下了錯誤的判斷，一個值得進一步研究、討論的資源，被輕易地浪費了。如果能夠及時讀懂，組織學生進行深入的探究，必然能夠取得更好的生成效果。

四、從錯誤中讀出學生的提取障礙

有的錯誤，學生并不是不會做，而是信息選擇、提取的障礙。出現這樣的錯誤，根源是一種選擇性錯誤（郜舒竹教授語），即面對具體的問題時，學生不能正確地從自己的知識系統(tǒng)中選擇、提取哪些知識、信息來解決這個問題，出現了選擇上的混亂，導致錯誤。

例如，125×64×25，要求學生簡便計算，有不少學生會這樣去解答：

125×64×25

=125×8×8×25

=125×8+8×25

=1100

出現這樣的錯誤，便是學生搞不清到底是選擇乘法分配律還是選擇乘法結合律來簡便計算，錯誤地選擇了乘法分配律簡算，導致錯誤。

知識存儲在學生的頭腦之中，不能成為靜態(tài)的知識，那只會給學生增加負擔。教師要努力讓學生頭腦中的知識活起來，合理選擇，提取知識，應用知識，學習新的知識。

五、從錯誤中讀出學生的不良習慣

學生的錯誤，有認知缺陷的原因，也有習慣不良的原因。從學生的作業(yè)中，不難發(fā)現這樣的錯誤。

學了四則混合運算后，有幾位學生在進行計算時，總是這樣書寫：

75+125÷25-25

=125÷25

=75+5

=80-25

=55

這樣的計算，如果單從結果的角度上看，并沒有錯誤，而且運算順序也正確。但從整個計算過程看，卻是錯誤的。原因就是沒有保證計算過程的恒等。這除了缺乏一種守恒的意識外，不良的學習習慣也不能不說是一個原因。類似的現象還有數字抄錯、運算符號抄錯等等，教師稱之為粗心、馬虎的毛病，其實都是一種習慣的缺陷。

對這些錯誤，不僅要重視學生良好習慣的養(yǎng)成，同時也要加強數學守恒思想的滲透與培養(yǎng)，從前后恒等的角度出發(fā)，發(fā)現自己的錯誤，糾正自己的錯誤。

六、從錯誤中讀出教師的教學盲點

從錯誤中不僅要讀懂學生，還要審視教師的教學行為，讀出教學中的盲點與失誤，以更好地改進教學。

在學習簡便計算中，有一節(jié)課是利用減法運算性質a-b-c=a-（b+c）來簡算。課堂上，筆者只關注、教學了這一基本形式，而忽視了該性質的變式練習。結果，作業(yè)中出現了變式題目：4507-（507-1658）。很多學生這樣做：

4507-（507-1658）

=4507-507-1658

=4000-1658

=2342

學生為什么會這樣做？更多地還是受減法運算性質A-B-C=A-（B+C）的影響，負遷移到這一題，4507-（507-1658）就等于4507-507-1658了。

出現這樣的錯誤，教師首先得反思自己的教學，正是由于自己在教學中沒有足夠地考慮、重視連減的簡便計算的變式，才造成了學生學習的困難與錯誤。如果事先能夠設計一個問題情境，在情境中學習這個變式，學生必然能夠很好地掌握。學生的錯誤，有時正像一面鏡子，映照著教師的教學是不是扎實有效。

七、從錯誤中讀出課堂的探究視點

學生的錯誤，往往就是學生新舊知識間的矛盾沖突的產物。讀懂錯誤，找到矛盾點，也就找到了課堂教學的探究點，為有效突破教學難點打下了扎實基礎。

如一位教師在教學“除法豎式”一課，設計了“24÷2”和“72÷3”兩道例題。

教學過程中，教師首先用“分小棒”的方法講解“24÷2”，把2捆每捆10根零4根小棒平均分給2個人。第一步先分2捆，每人得1捆；第二步再把剩下的4根小棒平均分給2人，每人得2根；第三步，把每人分得的1捆和2根相加得到最后結果12根；最后結合分小棒過程寫出豎式。

隨后，教師讓學生用同樣的方法自主探究計算“72÷3”。但是，直到下課，學生還是徘徊在錯誤之中，探究不出來。

學生為什么會探究不出來，為什么會出錯？通過對兩道例題的對比分析，可以發(fā)現，72÷3要比24÷2更多一些思考點，而且有的思考點24÷2不相同。如“7捆平均分給3個人不能平均分，怎么辦？”“7捆拆分成6捆和1捆”等。正是這些因素，造成了學生的學習困難和錯誤。

讀懂了這一點之后，教師可以把教學的探究點放在將“無法分”的情況轉化為“可以分”的情況，這樣便能有效突破難點。

總而言之，學生的學習錯誤，是學習過程的應然現象。錯誤并不可怕，相反，錯誤可以是美麗的。重要的是，教師用怎樣的心態(tài)去面對錯誤。只有當教師用心去讀懂錯誤時，便會發(fā)現，原來錯誤是一種別樣的精彩。

[1]陳錢勇.讀懂學生的思維[J].中小學數學（小學版），2010（11）.

[2]郜舒竹.為何“探究不出來”——兼談教學難點的分析方法[J].人民教育，2009（8）.

[3]施國柱.關注學生數學草稿，促進思維有序發(fā)展[J].教學月刊（小學數學），2010（6）.

[4]張秋爽.讀懂學生，反思自我——三道期末考試題的剖析[J].教學月刊（小學數學），2010（10）.

[5]劉勇.學生錯誤情況[OL].視頻地址http://v.youku.com/v_show/id_XMTA1MTI3Njc2.html.