新課程視域下的有效數學教學探析

任全紅

（綿陽師范學院數學與計算機科學學院，四川 綿陽 621000）

一、概述

數學新課程標準的一個顯著特點是反復強調數學教學要重視揭示獲取知識和運用知識的思維過程。在此過程中，使學生獲得對數學的理解，并在思維能力、情感態度與價值觀等方面得到進步和發展。高中數學新課程標準中“過程與方法”目標，強調以下六個思想的深入探究：函數與方程的思想、數與形結合的思想、分類與整合的思想、特殊與一般的思想、或然與必然的思想、化歸與轉化的思想，這是對數學思維過程目標的具體化。對于數學思維的突出強調，也是國際范圍內新一輪數學課程改革的一個重要特征。然而，就我國數學教育的現實而言，上述理念并未得到很好的貫徹，主要表現為：忽視概念形成的過程；忽視問題的發現以及規律的揭示過程；排斥結論的探究和推導過程。其實，數學學科自身的特點決定了數學教學就是數學思維活動的教學，要重視數學思維過程的呈現，以此作為數學課堂教學的切入點，實現有效的數學課堂教學。

有效教學并不是一個新名詞，自教學誕生以來，教育者就在追求有效教學。教育的歷史與實踐表明：任何教育活動要想真正卓有成效，就必須建立在對學習者的充分理解和認識的基礎上，樹立關注學生的進步或發展、關注教學效益、關注可測性或量化的教學理念。因此，數學教學更應關注如何設計教學活動過程?如何充分揭示數學思維活動？有效地發展學生數學思維能力，形成良好思維品質和合理數學知識結構。本文將圍繞著上述方面作進一步的分析研究。

二、數學教學過程的分析

教育心理學研究表明，教學從根本上來說，是一個師生雙方在認知與情感兩方面進行交互作用的過程。在具體教學中，數學教學過程存在以下這些特征。

其一，學生的學習過程是一個再創造的過程。學生學習數學知識主要方式是間接的書本知識和間接經驗，但這種間接經驗的學習對學生來說仍然是一種探索未知領域新知識的過程，這一點與數學家發現數學新規律是一致的。要使知識在學生頭腦里生根，就必須把數學概念、規律、思想、方法按照原來發生、形成、發展的過程和規律再現出來，知其然還要知其所以然，充分暴露數學思維的過程，使學生真正理解所學知識。

其二，教學過程的本質是學生的認識實踐過程，符合一般認識過程的規律。這其間要經歷由感性認識到理性認識的飛躍，這本身就是一個抽象概括的思維過程。只有積極調動學生的思維活動，讓學生自己主動地去認知，才能轉化成學生頭腦里的新的數學認知結構，這是教師無法替代的。教師要做的是在教學中始終注重數學思維過程的教學，把獲取知識和運用知識的思維過程充分揭示、展示給學生，教會學生怎樣去思考，促進學生構建新的數學認知結構。

其三，數學教學過程是三種思維活動的不斷演進過程，即數學家的思維活動（體現在教材中）、數學教師的思維活動、學生的思維活動。由于數學教材編寫特點，呈現的是知識的邏輯體系，隱含了知識發生、形成、發展的過程以及抽象概括的思維過程，使得教材知識結構與學生認識水平之間存在較大差異，不利于學生學習。教師在教學過程中應根據數學知識結構，指導與調控學生的思維活動，逐步發展學生數學思維能力，學會思考與學習，從而達到有效的數學教學。對此，我們作具體的分析研究，切實促進有效的數學課堂教學。

三、實現課堂有效教學的途徑

（一）重視剖析知識的形成、發展過程

教學中要注重數學概念、公式、定理、法則的提出過程；解題思路的探索過程；解題方法和規律的概括過程。使學生在這些過程中展開思維，發展能力。例如，數學家希爾伯特在任教時，常常在課堂上即興提出一些新的數學問題，并立即著手解決。雖然他并非每次都能得到圓滿的解答，甚至有時把自己“掛”在黑板上，但他展現的思維過程卻能使學生受益匪淺。華羅庚在自己的教學生涯中，也一向重視概念產生、命題形成及思路獲得的思維過程的教學，并著意回答學生提出的“你是如何想出來的”一類問題。這些事例都說明了教學中充分展示數學思維過程對于培養學生思維能力的重要作用。在教學過程中，可關注以下三個方面：①怎樣從實際問題中發現和提出數學問題；②怎樣對實際問題和已有知識進行觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括；③怎樣選取并綜合已有的數學知識進行判斷、推理、得出規律的思維過程。上述過程，恰恰就是數學家發現數學新規律的思維活動，更是當今我們要培養學生的一種獨立獲取新知識的學習能力，一種進行創造性思維的能力。

例如：橢圓定義的教學，可設計如下的教學環節。

（1）復習圓的定義，并用一段無彈性的繩子做幾個圓心位置不同，半徑不同的圓（為下一步的類比做鋪墊）。

（2）設想定點由一個變為兩個，且更換命題——到兩定點距離和等于定值，結果會怎樣?借助手中的繩子和圓規把命題敘述的這一結果表達出來。

（3）將一根繩子系在圓規的兩腳下端，用粉筆套住繩子，在黑板上移動粉筆，可畫出一個封閉的幾何曲線，改變圓規的位置，再做出幾個這樣的封閉曲線。即得到新曲線——橢圓。

（4）探索繩子長度（定值）與圓規兩腳末端（定點）之間距離的情況，得出結論：當定值等于兩定點的距離時，軌跡為以兩點為端點的線段；當定值小于兩定點的距離時，軌跡不存在；當定值大于兩定點的距離時，軌跡為橢圓。

這樣的教學設計，著眼于從條件的類比變化探求新曲線的產生，包含了數學學習的發散性思維，也滲透了數學研究的漸變式思想，同時站在集合觀點下剖析圓錐曲線是由怎樣的點組成的感知。在教師的引導下，學生已經在潛移默化中經歷了一個重新認識舊知，創新衍生新知的探索歷程。在橢圓概念的形成過程中，引導學生積極思維，主動探索，強調學生在學習中的理解，體現了師生思維活動的同頻共振過程，這一切正是充分揭示數學思維過程的自然結果。

（二）注重對數學思維過程的分析能力

首先，我們來分析解決具體數學問題時的思維過程。解決數學問題是一個不斷地發現問題、分析問題，直到歸結為熟知的問題為止的思維過程。心理學實踐研究表明，人們在創造性解決問題的過程中，總力求逐步縮小探索的范圍。思維進程往往循著基本邏輯水平，基本數學方法水平，具體方法、技巧和程序這樣三個層次來推進，思維過程表現為檢索、聯想、想象、評價等環節。其次，分析解決一類數學問題的數學思維過程。在此層面上的思維，表現為不斷地提高抽象概括的水平，不斷地賦于數學方法以具體新鮮的意義，這是一個不斷地聚合、發展的過程。教學中要充分地暴露數學思維活動過程，不掩蓋數學思維活動的任何一個環節，這是使學生形成良好思維結構的根本保證。如果長期片面地強調某些思維環節，忽視另一些環節就會造成思維結構的缺陷，例如，目前學生的創造性思維能力不足，就是長期掩蓋發現問題環節的結果。

（三）加強教學過程的合理設計

數學教材呈現出的是經過整理加工過的嚴密、抽象、精練的結論，在闡述數學基礎知識時未能暴露數學思維過程。這種特點決定了我們的教學不能將此教材內容直接照搬到課堂上去，否則學生就無法領略到數學精湛的思維過程，這就要求教師備課時必須加強教學過程的合理設計。首先，找準知識的生長點，以此作為暴露思維過程的基礎。其次，必須深入鉆研、認真吃透和摸準教材，高度注重知識發生過程的分析研究，切實把握住知識系統內部的關聯、差別和轉化，促進知識的遷移和思維的遷移。備課時要善于挖掘客觀存在的思維規律，充分呈現數學思維過程，設計出適合學生水平的教學程序，切實保證數學教學的有效。

例如，對一個不等式問題的認知分析和教學設計：

問題：設不等式mx2-2x-m+1＜0對于滿足-2≤m≤2的m值都成立，求x的取值范圍。

解f（m）=（x2-1）m-2x+1，mx2-2x-m+1＜0即f（m）＜0.

又因為f（m）的圖像是一條直線，因此當m∈[-2，2]時，f（m）＜0恒成立，當且僅當

分析：對多數學生的了解發現，學生對此題的解法的確不易掌握，大多停留在賞析層面。深入分析解題思路可分成三步：（1）把mx2-2x-m+1看成關于m的函數——不等式向函數的轉化；（2）認識到f（m）是一次函數——將思考對象具體化、直觀化；（3）得到一個關于x的一元二次不等式組，進而解得x的取值范圍。學生解此題的難點是：m是一個變化的量，把x看成不變的，x與m混在一起，使得許多學生抓不住問題的本質。由此，教學過程可設計如下：

（1）設計問題，驅動學生思考，不妨從學生理解的困惑處——x與m的復雜關系入手來設計一系列問題；從突破學生思維的關鍵——化歸法，設計問題幫助學生建立與原有知識經驗的聯系。

問題1：本題涉及哪幾個量？相對于m的變化，你認為x應看成靜止的還是運動的？為什么？

問題2：分析x的取值范圍究竟是哪個條件決定的?

問題3：對于每一個確定的m值，mx2-2x-m+1的值是否唯一確定？與m是什么關系？

問題4：記f（m）：xm2-2x-m+1，嘗試用函數的語言重新敘述題目的條件和目標?

（2）深入反思，促進遷移。修改和變換問題情境，切實使學生對原問題及解法重新審視和反思，引導學生領悟思維本質，避免認識上的表面化。

問題5：改題目為“不等式mx2-2x-m+1＜0對于滿足-2≤x≤2的x值都成立，求m的取值范圍，你認為應該如何思考？

問題6：已知函數y=f（x）在[a，b]上是單調函數，若x∈[a，b]時，f（x）＜k（或f（x）＞k，k是常數）恒成立，則如何轉化？

數學從靜態角度看是數學知識、定理、符號公式的匯集，枯燥乏味。若從動態角度去審視，數學是一種實際的研究活動，是數學思維活動的過程。學生的思維發展有一個初步感知，逐漸領會，再到靈活運用的過程，教師要多給學生反復實踐和領悟的機會，教學中對此再費時費力也不過分。教學過程設計中，教師應注重引導學生從聯系的觀點看問題，用轉化的手段去處理問題，即化繁為簡，化陌生為熟悉，化未知為已知。注重設計問題串，一個好的數學問題，不在于它是簡單還是困難，也不在于具體還是一般，而是能夠引導學生進行思考，培養其一種通用的解決問題的方法。一個好的數學教師不會只是把數學作為知識來讓學生記住，而是教學中把一些數學思想埋進基本的思維過程中。

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