讓長方體成為高中立體幾何復習的綠色紐帶

　　《普通高中數學課程標準(試驗)》要求數學教師從片面注重知識的傳授轉變到注重學生學習能力的培養，教師不僅要關注學生學習的結果，更重要的是要關注學生的學習過程，促進學生學會自主學習、合作學習，引導學生探究學習，讓學生親歷、感受和理解知識產生和發展的過程，培養學生的數學素養和創新思維能力，重視學生的可持續發展，培養學生終身學習的能力。綠色教育也要求師生建立民主、平等、和諧的伙伴關系，在綠色課堂里，以學生為主體，教師擔當“導師”的角色。因此作為教師應該更新教育觀念，真正做到變注入式教學為啟發式，變學生被動聽課為主動參與，變單純知識傳授為知能并重。在教學中讓學生自己觀察，讓學生自己思考，讓學生自己表述，讓學生自己動手，讓學生自己得出結論。
　　幾何概念是反映現實世界空間形式本質屬性的一種思維形式，是人們對客觀事物的“形”的科學抽象與概括，同時也是發展學生空間觀念的基本條件。小學階段，通過直觀教學喚起學生的學習興趣，充分利用實物、模型、圖形，引導學生看一看、摸一摸、折一折等方式了解角、三角形、四邊形、圓、正方體、長方體等基本幾何形態，形成幾何初步概念，培養空間觀念。高中階段的立體幾何與初中階段的空間與圖形部分聯系密切，許多內容，如空間幾何體、三視圖、投影等都在初中階段有所接觸，學生對正方體、長方體、圓柱、圓錐、球等都有了直觀認識。初中階段學生學習歐式幾何，注重嚴密的推理，根據已知條件明確所要證明的問題，然后從已知條件出發，一步一步按照嚴格的邏輯關系，最后得出結論。學生通過訓練，在推理的過程中，培養了嚴密清晰的邏輯思維能力。
　　課標建議立體幾何部分的教學，可先讓學生從空間幾何體的整體觀察入手，認識空間圖形，再以長方體為載體，直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系，能用數學語言表述有關平行、垂直的性質與判定，并對其進行論證。所以在高中階段，立體幾何是在必修2中分兩個章節出現的，內容分為空間幾何體的結構、三視圖和直觀圖、球的表面積和體積還有空間點、線、面的位置關系。這樣的安排，使得學生先認識了空間幾何體的結構特征，并且能夠畫出實物圖，同時也了解了空間點、線、面的位置關系，學生的認知過程是由感性上升到理性認識，由“直觀”到“推理”，更符合學生的認知規律。
　　學生進入高三復習階段，立體幾何知識學習完畢，學生已具有了一定的空間想象能力，掌握了一定的立體幾何的研究方法。但是對于比較抽象的問題，不少學生還是不能很好地構造幾何體，借助直觀圖形解決問題。通過參與“高中數學課堂改進項目”，在綦春霞教授帶領的專家團隊引導下，針對這些問題，我進行了“長方體在高中立體幾何復習中的作用”研究。教學效果表明，恰當處理長方體在立體幾何復習課中的作用，以學生的數學學習為中心，長方體完全可以成為高中立體幾何復習的綠色紐帶，提高復習效率和學生數學學習成績。
　　一、在起始課中注意空間立體感的培養
　　從認識平面圖形到認識立體圖形是一次飛躍，要有一個過程，所以要重視看圖能力的培養。對一個幾何體，可以從不同的角度去觀察，可以是俯視、仰視、側視、斜視等等，體會不同的視角，以開拓空間視野，培養空間感。
　　案例1 立體幾何復習的第一節課，我就要求學生共同完成一個任務。用一張紙親手做一個長方體模型，通過這個任務，學生提高了學習的興趣，也感悟到數學世界的簡潔美、和諧美。課后再留作業：做正三棱柱和正四面體的模型，進一步幫助學生構建空間感。
　　二、利用長方體模型，加強學生構圖能力的培養
　　案例2 判斷下列命題是否正確：設a、b是兩條直線，α，β為兩個平面。
　　1.若a、b與α所成角相等，則α∥b
　　2.若a∥α，b∥β，α∥β，則α∥b
　　3.若a α，b β，α∥b，則α∥β
　　4.若a⊥α，b⊥β，α⊥β，則α⊥b
　　這類問題的傳統做法是學生結合手中的筆、本作為線面進行判斷，教師引導完善點線面位置關系。但是這樣的方式也有弊端，學生只單純利用手中工具，對于出現多條線多個面的問題，要么需要與他人合作，要么容易手忙腳亂，不能很好地構建空間結構。所以引入長方體，在長方體模型中構造題目中的線、面位置關系，幫助學生把抽象問題具體化，這樣使學生在面對題目的“實戰”中，可以獨立完成。我所教的兩個班級，一個班基礎較好，一個班基礎較弱。我曾經通過測試的方式進行對比，強調構建長方體來解題之后，基礎較好班級學生正確率變化不大，但是對于基礎較弱班級的學生來說，這類題目的正確率明顯提高。可見，對于程度好的學生來說由于空間立體感較強，是否構建長方體，做這類題目都沒有什么難度，但是對于程度稍弱的學生來說，利用長方體的具體模型能夠有效幫助解決抽象問題。
　　案例3 判斷命題的正確性：“在空間有三個角都是直角的四邊形是矩形”（見圖1）。
　　學生分組，利用手中的筆作為工具，具體化提升空間想象能力。教師適時引導設問，能否在長方體中找到相應的幾何形態？
　　深入探究：三棱錐的四個面最多有幾個直角三角形？（見圖2）
　　這是復習課中的一道題目，一開始學生無從下手，小組討論后，學生們可以通過多人合作，每人手里兩只筆架起這個空間結構，但是既不會畫圖，又不能合理地說清這個幾何模型的特點，只是有一個比較模糊的直觀感覺。于是我通過引導，讓學生在長方體中自己找一找剛才演示的圖形。由于長方體的線面垂直關系非常明顯，學生能夠比較輕松地驗證這兩個命題。
　　三、加強學生認圖能力的培養
　　對于立體幾何題，既要由復雜的幾何圖形看出基本圖形，如點線面的位置關系，又要想到未畫出的部分。能實現這些，學生就可以一眼看穿有些復雜的抽象問題。
　　案例4 某幾何體的三視圖如圖3所示，則該幾何體的體積為 。
　　不規則幾何體的三視圖問題一直以來都是學生的薄弱之處，單純靠空間想象很難還原幾何體的真實形態。例如此題，是高二期末測試中的一道題目，正確率不高，學生的問題在于能否想象這是一個三棱錐的三視圖，但是對于相應的長度一頭霧水，不能精確識圖。在高三復習課中，重新拿來這道題，引導學生在長方體中找到相關的幾何體，再精確長度的標準，有效幫助學生解決不規則幾何體的三視圖問題（見圖4）。
　　案例5 已知某個幾何體的三視圖如圖5所示，根據圖中標出的尺寸（單位：cm），可得這個幾何體的表面積是 。
　　這道題目，如果單靠空間想象能力，學生在計算環節容易出錯，但是直接讓學生還原幾何體有一定的難度，所以借助長方體模型（見圖6），在長方體中標注長度，使得計算一目了然。
　　總之，在復習過程中，我始終以“長方體”為紐帶，倡導“動手實驗、直觀感知、歸納猜想、操作確認”的學習方式，充分體現學生的“主體性”，讓學生不斷經歷“探索與發現”的過程，強化生生、師生互動。在這些措施的綜合作用之下，能有力地降低學生學習立體幾何的難度，尤其是對于數學程度較弱的學生有很大的幫助，同時激發了他們的學習興趣，進而進一步發展了高三學生的空間想象和邏輯思維等能力。
　　
　　（作者單位：北京市蘋果園中學）
　　
　　（責任編輯：林靜）