關于統計抽樣推斷中參數估計方面精確度問題的探討

　　 摘要：文章對抽樣推斷（包括回歸分析預測）中精確度的定義及計算作了嘗試性探索，認為精確度是一個評價抽樣推斷質量高低的重要指標，同時把精確度定義成一個數值越大越好的相對數，還針對點估計、區間估計等不同推斷方式計算了不同的精確度指標。
　　 關鍵詞：抽樣推斷；抽樣估計；精確度；回歸分析預測
　　 一、問題提出
　　 設有兩個總體：第一班組全體工人和第二班組全體工人，我們從兩個總體中各抽取一個樣本進行日產量檢查。一班組抽30人，二班組抽19人。經過對兩個班組某天產量進行調查后算得，一、二兩個班組的樣本平均數分別是70件和80件，兩班組的樣本方差分別是102件和64.6件，兩個班組的平均抽樣誤差都是1.84件。在95.45%的把握度下，對兩個班組總體平均日產量推斷的極限誤差都是3.69件（見表1）。據此，我們對兩個班組總體平均日產量做如下推斷結論。
　　 一班組全體工人平均日產量位于[66.31，73.69]之間的可能性是95.45%；二班組全體工人平均日產量位于[76.31，83.69]之間的可能性是95.45%。
　　 雖然兩個班組的推斷結論十分相近（把握度和極限誤差完全相同），但顯然兩種推斷的質量是不一樣的，因為兩個班組的樣本平均數不一樣。上述這種推斷掩蓋了兩個班組平均日產量推斷的精確度高低問題，也未能反映兩個推斷的質量高低。本文試圖就抽樣推斷中參數估計方面精確度的定義及計算提出個人看法，以供拋磚引玉之用。
　　 二、抽樣推斷精確度的定義及計算
　　 （一）精確度定義
　　 我們知道測量的精度是指測量值與實際值的差異大小，差異越小精度越高，差異越大精度越小。抽樣推斷精確度的道理與此相同，如果把樣本統計量看作是測量值，總體指標就是實際值，則樣本統計量與總體指標之間的距離（抽樣誤差）就是抽樣推斷的精確度（絕對數精確度定義）。按此定義，可得精確度的計算公式如下：
　　 絕對數精確度=|樣本統計量-總體指標|①
　　 ①式計算結果是絕對數，因此又稱之為絕對數精確度，其實質是單次抽樣誤差。該定義用總體指標到樣本統計量的距離表達推斷精確程度，使得其存在以下兩方面的缺陷。一是計算結果越小越好，有違我們的思維習慣。二是精確度的絕對數性質使得它在評價推斷精度及推斷質量中帶有不可比性。在樣本統計量不等的條件下，同樣絕對數精確度所代表的精確程度應該是不一樣的。如表1數據所示，兩個班組的平均抽樣誤差一樣，我們假定兩個班組的絕對數精確度也一樣，但直觀來看兩個班組抽樣推斷的精確程度應該是不一樣的。在理論上，樣本統計量較小時，我們容許較小的誤差；樣本統計量較大時，我們容許較大的誤差。這與購物稱重的道理是一樣的，較重的物品我們允許較大的絕對誤差（幾十公斤的貨物我們可能允許1公斤的誤差），較輕的物品我們允許較小的絕對誤差（幾十克的物品我們可能只允許1克的誤差）。按此道理，我們直觀上就可得到二班組推斷精確度高于一班組的結論，因為二班組的樣本平均數較高。
　　 因為以上兩個理由，我們認為用絕對數精確度表達抽樣推斷精確程度的能力是有限的，抽樣推斷的精確程度高低應該是相對于樣本統計量而言的。要能準確評價抽樣推斷精確程度的高低只有相對數才可以做到，因此精確度的計算及應用最好使用相對指標。
　　 結合絕對數精確度定義及精確度是相對指標這兩個要求，我們把精確度定義為總體指標對樣本統計量的接近程度（相對數精確度定義）。根據此定義，我們得到屬相對數的精確度公式如下：
　　 相對數精確度=1-絕對數精確度/樣本統計量②
　　 該定義用總體指標對樣本統計量的接近程度表達精確程度，總體指標離樣本統計量越近（絕對數精確度越?。_度越大，反之精確度越小。②式計算結果是個正指標，數值越大越好，符合我們的思維習慣。
　　 相對數精確度的計算結果是一個小于等于1的實數。當絕對數精確度大于樣本統計量的時候，相對數精確度小于0，表示抽樣推斷精確度非常差，但其可能性非常小，可以忽略不計；因此，可以把相對數精確度的取值范圍看作是0-1之間。
　　 因為總體指標待估，所以絕對數精確度不可計算，最終相對數精確度也不可算。因為相對數精確度不可算，所以我們只能把它看作是精確度（后面所提到的精確度，若無特別說明均指相對數精確度）最基礎的和最根本的定義。鑒于此，我們需要在精確度定義的基礎上進一步尋找具體可算的引申精確度。
　　 （二）點估計的精確度（點精確度）
　　 因為點估計的誤差是不可算的，因此我們只能用平均抽樣誤差代替絕對數精確度去計算點估計精確度（簡稱點精確度）。據此要求，我們可得到以下公式：
　　 點精確度=1-平均抽樣誤差/樣本統計量③
　　 經計算，上述兩個班組抽樣推斷的點精確度分別是97.4%（1-1.84/70）、97.7%（1-1.84/80）?？梢?，二班組抽樣推斷的精確度相對較高。
　　 根據③式及精確度的基礎定義，我們可以引申出點精確度的定義如下：點精確度是總體指標對樣本統計量的平均接近程度。所以，點精確度又可以叫做平均精確度。
　　 （三）區間估計的精確度（極限精確度）
　　 在區間估計中，在一定把握度下，推斷的區間越寬，推斷精度越低，反之推斷精度越大?？梢妳^間推斷中精確度的高低，主要體現在區間的寬窄。區間的寬窄既與平均抽樣誤差有關，更與極限誤差有關。因此我們可以用極限誤差代替絕對數精確度來計算精確度，同時把該引申精確度稱為極限精確度，其計算公式如下：
　　 極限精確度=1-極限誤差/樣本統計量④
　　 根據④式，我們可以算到上述兩個班組的極限精確度分別是94.73%（1-3.69/70）、95.39%（1-3.69/80）。顯然，二班組抽樣推斷的精確度較高（與點精確度評價結果相同）。
　　 根據④式及精確度的基礎定義，我們可以引申出極限精確度的定義如下：極限精確度是在一定把握度下總體指標對樣本統計量的最小接近程度。
　　 如上述一班組的樣本平均數是70件，在95.45%的把握度下，總體平均數位于[66.31，73.69]之間，是其中某個可能的數。當總體平均數剛好等于66.31件（左限）時，總體平均數對樣本平均數的精確度是94.73%（1-|66.31-70|/70）；當總體平均數剛好是73.69件（右限）時，總體平均數對樣本平均數的精確度也是94.73%（1-|73.69-70|/70）；當總體平均數是[66.31，73.69]之間中間的任意一個數時，其精確度都高于94.73%，如當總體平均數等于69件時，其精確度將達到98.57%（1-|69-70|/70）?？梢?4.73%（極限精確度）是95.45%的把握度下，總體平均數對樣本平均數70件的最小接近程度。
　　 三、抽樣推斷中方差推斷的精確度計算
　　 在方差推斷的點估計中，因為沒有平均抽樣誤差概念，故無法計算點精確度。
　　 在方差推斷的區間估計中，因為沒有極限誤差的概念，故其精確度計算不能直接套用上述極限精確度公式計算。方差區間估計中的精確度（簡稱方差精確度，下同）與上述極限精確度的意義是基本相同的，就是總體方差離樣本方差越近，精確度越高，反之精確度越低。由于方差區間估計中沒有極限誤差概念，以及方差推斷區間的兩極與樣本方差不成對稱（見表2，把握度為95%），因而我們無法計算統一的最接近精確度。盡管如此，在方差的區間估計中，仍然存在左限的最小接近程度（左限精確度）和右限的最小接近程度（右限精確度）。其計算公式如下：
　　
　　 左（右）限精確度=1-|總體方差估計左（右）限-樣本方差|/樣本方差⑤
　　 如上述一班組的左限精確度是63.36%（1-|64.6-102|/102），右限精確度是19.28%（1-|184.3-102|/102）；上述二班組的左限精確度是57.1%，右限精確度是18.7%。計算結果表明，一班組方差推斷的精確度較高。
　　 通過上述計算，我們還可以看到方差推斷的精確度普遍較低，但在比較上還是帶有一定的應用意義。
　　 四、精確度在回歸預測中的應用
　　 回歸分析（包括時間數列自回歸）中的預測也有點預測和區間預測兩種，其預測同樣涉及到精確度問題。點預測的精確度可套用點估計的相對數精確度公式計算；區間預測精確度可套用區間估計的極限精確度公式計算。其中的平均抽樣誤差可用估計標準誤代替，樣本統計量用點預測值代替。
　　 設有表3的產量及單位成本數據，經相關分析認為它們存在線性關系。通過回歸分析得到單位成本（因變量，y）與產量（自變量，x）的線性方程為y=13.46-0.05x。回歸方程的判定系數是92.8%，估計標準誤是0.19元（占因變量平均數10.17的1.9%），都說明了回歸方程質量較高，具有較高的應用意義。設有兩種生產方案A、B，兩種方案的產量分別為50件和90件。在95.45%的把握度下，兩種生產方案下的單位成本區間預測分別是[10.58，11.34]、[8.58，9.34]（見表4）。
　　 根據前面公式我們可算到，兩生產方案點預測的精確度分別是98.27%（1-0.19/10.96）和97.88%（1-0.19/8.96），兩方案單位成DKlk0+OsAXnoj2VDk9fLvzBHni0eaXjuyfIwJIFrjnM=本區間預測的極限精確度分別是96.53%（1-0.76/10.96）和95.76%（1-0.76/8.96）。后者的精確度稍差。
　　 五、精確度的意義
　　 第一，精確度是評價抽樣推斷質量以及回歸預測質量的重要指標。我們通過精確度的高低來評價抽樣推斷質量及回歸預測質量的高低。在抽樣推斷及回歸預測中，精確度越高，推斷及預測的質量就越高，反之推斷及預測的質量就越低。精確度指標的計算，能讓我們在不同的推斷方式（點估計、區間估計）下，在不同的樣本統計量及推斷把握度下，評價抽樣推斷質量的高低。在點估計中，我們用點精確度反映推斷精確度的大小及評價抽樣推斷質量。在區間估計中，我們用極限精確度（包括左、右限精確度）反映推斷精確度大小及評價抽樣推斷質量。
　　 第二，精確度可以用來完善抽樣推斷結論的表達。加上精確度敘述后，我們可以對上述兩個班組的推斷結論作如下表達。一班組全體工人平均日產量位于[66.31，73.69]之間的可能性是95.45%，其精確度是94.73%；二班組全體工人平均日產量位于[66.31，73.69]之間的可能性是95.45%，其精確度是95.39%。加上精確度的敘述后，抽樣推斷結論的表達將更加完善。
　　 參考文獻：
　　 1.全國統計專業資格考試用書編寫委員會.統計基礎理論及相關知識[M].中國統計