概念建構(gòu):一個(gè)表象建立和豐富的過(guò)程

　　“三角形的高”是人教版四年級(jí)數(shù)學(xué)教材“三角形的認(rèn)識(shí)”一課中的重要內(nèi)容，教材給出了這樣的定義：“從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)到它的對(duì)邊做一條垂線，頂點(diǎn)到垂足之間的線段叫做三角形的高，這條對(duì)邊叫做三角形的底。”從定義的角度來(lái)分析，三角形的高屬于陳述性知識(shí)的范疇。學(xué)生并非第一次接觸高的概念（學(xué)生在四年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)平行四邊形和梯形的知識(shí)時(shí)，已認(rèn)識(shí)到圖形的高的概念），且已具備了“通過(guò)已知直線外一點(diǎn)向該直線作垂線”的基本技能，因此對(duì)于“三角形的高”的概念，學(xué)生似乎可以借助原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來(lái)習(xí)得。那么，學(xué)生究竟能否自主習(xí)得這一概念呢？
　　問(wèn)題產(chǎn)生：學(xué)生讀了“定義”，怎么就不會(huì)畫呢
　　在一次教學(xué)研討活動(dòng)中，筆者執(zhí)教了“三角形的認(rèn)識(shí)”一課，關(guān)于“高”的教學(xué)，就嘗試先讓學(xué)生自學(xué)課本上的“底”和“高”的定義，然后提出要求：畫出三角形的高。結(jié)果出現(xiàn)了以下三種狀況：
　　前面兩種結(jié)果顯然不對(duì)，有半數(shù)以上的學(xué)生能夠畫出三角形BC邊上的高（如圖1中第三種情況）。能夠結(jié)合高的定義，畫出這個(gè)三角形的3條高的，全班中只有2位，而且這2位學(xué)生在數(shù)量上想到了可以畫3條，但在畫AB和AC邊上的高時(shí)，明顯沒(méi)有畫垂直。結(jié)果表明，學(xué)生通過(guò)自主閱讀課本定義，尚未建立起正確的“三角形的高”的概念。
　　原因分析：概念理解的過(guò)程并不是一蹴而就的
　　針對(duì)這一現(xiàn)象，筆者進(jìn)行了深入思考，認(rèn)為與三個(gè)方面因素相關(guān)：
　　首先，從認(rèn)知能力上來(lái)分析，學(xué)生在把文字轉(zhuǎn)化為圖形的過(guò)程中，不僅僅是思維上存在著一定的障礙，更主要的是缺少必要的圖式作支持。因?yàn)榻滩母叩亩x中，“垂線”與“點(diǎn)到直線的距離”這兩個(gè)幾何基本概念需要學(xué)生在思維中有所復(fù)現(xiàn)。如果在解讀這段文字時(shí)，學(xué)生對(duì)這兩個(gè)概念已經(jīng)淡忘，那么就會(huì)給學(xué)生理解三角形高的定義帶來(lái)困難。
　　其次，從知識(shí)基礎(chǔ)上來(lái)分析，學(xué)生對(duì)三角形“三條邊、三個(gè)頂點(diǎn)、三個(gè)角”的基本特征與“高”的概念間，還沒(méi)有建立起相應(yīng)的聯(lián)系，知識(shí)缺乏整體性。與平行四邊形、梯形的高可以畫無(wú)數(shù)條不同，三角形的高，因?yàn)槠涮囟ǖ男螤睿枰嬙谌齻€(gè)特定的位置，故三角形的“底”和“高”規(guī)定為3組（如圖2），垂直線段AD是邊BC上的高，垂直線段BE是邊AC邊上的高，垂直線段CF是邊AB上的高。
　　最后，學(xué)生對(duì)“高”這一概念中非本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)影響了對(duì)三角形高的認(rèn)識(shí)。能夠畫出BC邊上的高，而沒(méi)有想到去畫AB或者AC邊上高的學(xué)生，與其受生活概念“高”的意義的負(fù)遷移有相當(dāng)關(guān)系。因?yàn)樵趯W(xué)生的認(rèn)知中，高低一般是指物體垂直上下的距離。因?yàn)閷?duì)概念非本質(zhì)屬性的認(rèn)知，淡化了本質(zhì)屬性的理解，在學(xué)生學(xué)習(xí)中也是一種比較常見(jiàn)的現(xiàn)象。因此，三角形高的概念建立，從對(duì)非本質(zhì)屬性的關(guān)注到對(duì)本質(zhì)屬性的把握，其間需要教師的有效引導(dǎo)。
　　實(shí)踐思考：幾何概念的建構(gòu)是一個(gè)典型的表象建立與豐富的過(guò)程
　　三角形的高，是一個(gè)典型的幾何概念。雖然，從定義的陳述角度來(lái)看，它屬于陳述性知識(shí)。陳述性知識(shí)的習(xí)得，可以通過(guò)讀讀、記記來(lái)完成，但這只是一種方式。對(duì)于一些幾何概念，因?yàn)樯婕暗娇臻g與圖形的特征，其理解掌握過(guò)程需要有相應(yīng)的形象化材料作支撐，表象建立在幾何概念的認(rèn)識(shí)與理解過(guò)程中，顯得尤為重要。筆者認(rèn)為，學(xué)生在閱讀三角形“高”的定義后所形成的認(rèn)識(shí)，還只是一個(gè)表象初步建立的階段，認(rèn)識(shí)高的過(guò)程，需要不斷地豐富表象、完善表象，最終才能形成完整的概念認(rèn)識(shí)。因此，我們的教學(xué)實(shí)踐需要圍繞概念形成的三個(gè)層次來(lái)設(shè)計(jì)與教學(xué)。
　　1.表象初步建立層次的活動(dòng)設(shè)計(jì)及教學(xué)思考
　　活動(dòng)：嘗試在三角形（銳角三角形）中畫出高。活動(dòng)中，學(xué)生可以在自學(xué)課本基礎(chǔ)上嘗試畫，也可以憑經(jīng)驗(yàn)去畫，為后續(xù)討論交流提供必要的學(xué)習(xí)材料。
　　交流畫了1條高的學(xué)生作業(yè)，分為兩個(gè)步驟：
　　第一步，先交流畫得正確的作業(yè)，引導(dǎo)學(xué)生思考兩個(gè)問(wèn)題：①為什么說(shuō)畫的這條線段是這個(gè)三角形的高？引導(dǎo)學(xué)生用“高”的定義來(lái)解釋，自己所畫的“從一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)叜嫷囊粭l垂直線段”就是這條邊上的“高”。②為什么要這樣畫？強(qiáng)調(diào)三角形某條邊上高的畫法。這兩個(gè)問(wèn)題是相互補(bǔ)充的，核心目標(biāo)均在引導(dǎo)學(xué)生圍繞“高”的定義中的核心要素“頂點(diǎn)到對(duì)邊的距離”進(jìn)行解釋，幫助學(xué)生建立起三角形“高”的正確表象。當(dāng)對(duì)畫得正確的作業(yè)進(jìn)行解讀和評(píng)析后，再用一幅畫得正確的作業(yè)進(jìn)行強(qiáng)化。
　　第二步，呈現(xiàn)畫得不正確的作業(yè)（如前文呈現(xiàn)的兩種典型錯(cuò)誤）。這兩種錯(cuò)誤作業(yè)無(wú)論先反饋哪一種，在反饋時(shí)一定要學(xué)生充分解讀，說(shuō)出錯(cuò)誤原因，評(píng)價(jià)依據(jù)仍然是高的定義，從而引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)起高的正確表象。
　　2.表象豐富修正層次的活動(dòng)設(shè)計(jì)及教學(xué)思考
　　本層次的活動(dòng)主要有兩個(gè)：
　　活動(dòng)一：交流畫了3條高的學(xué)生作業(yè)，引導(dǎo)學(xué)生完整認(rèn)識(shí)銳角三角形中“高”的特征。
　　交流過(guò)程包含兩種情況，一是數(shù)量對(duì)的，但畫得不夠正確；二是數(shù)量對(duì)，畫得也正確。反饋時(shí)質(zhì)疑的核心問(wèn)題是“為什么畫了3條”，從而引導(dǎo)學(xué)生把三角形的高與三角形的基本特征聯(lián)系起來(lái)，完善認(rèn)識(shí)。這個(gè)環(huán)節(jié)在課堂上只需稍加點(diǎn)撥，學(xué)生就會(huì)理解。
　　活動(dòng)二：畫出直角三角形（圖3）指定底邊上的高，然后結(jié)合作業(yè)交流。
　　在實(shí)踐中，學(xué)生出現(xiàn)了以下幾種錯(cuò)誤：
　　全班43位學(xué)生能夠正確理解這個(gè)直角三角形指定底邊上高的不到30%。43位學(xué)生中，能夠明確知道AC邊就是BC邊上的高的學(xué)生只有1位，其他畫正確的學(xué)生均在AC邊的上面作了一條與它重合的垂直線段（有鉛筆印痕）。出現(xiàn)這種情況，一則因?yàn)閷W(xué)生對(duì)三角形高的概念建構(gòu)還不完善，還沒(méi)有真正把“從‘頂點(diǎn)’向‘對(duì)邊’作‘垂線’”理解為高的本質(zhì)屬性；另外一個(gè)原因則是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)直角三角形中直角的特征，與直角邊上對(duì)應(yīng)的“高”缺少聯(lián)接經(jīng)驗(yàn)。從教材編排來(lái)看，學(xué)生在這之前還沒(méi)有學(xué)習(xí)“三角形的分類”，還不知道有“直角三角形”一說(shuō)。因此，學(xué)生還不習(xí)慣借助直角三角形本身具有的元素——直角來(lái)聯(lián)接“垂直線段”與“高”的概念。這恰恰是本節(jié)課教學(xué)中需要教師幫助學(xué)生突破的關(guān)節(jié)點(diǎn)，是豐富“高”的表象的重要環(huán)節(jié)。因此，教學(xué)時(shí)的反饋過(guò)程顯得極其重要。實(shí)踐中，筆者是這樣來(lái)操作的：
　　（1）抓住錯(cuò)誤作業(yè)，引導(dǎo)辨析思考。在點(diǎn)評(píng)幾種錯(cuò)誤時(shí)，教師始終引導(dǎo)學(xué)生圍繞三角形高的定義進(jìn)行分析。這樣的分析過(guò)程，一是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解高的定義，二是讓一些學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突。因?yàn)樵谥苯侨切沃校苯沁吷系母叻謩e是另外一條直角邊，學(xué)生畫對(duì)的話，只需畫出一條與另一條直角邊重合的線段即可，或者說(shuō)根本就不需要畫。因?yàn)榱硪粭l直角邊完全符合三角形高的定義。因此，在學(xué)生能夠判定幾種錯(cuò)誤情況時(shí)，呈現(xiàn)那種與另一條直角邊重合的畫法與沒(méi)有畫直接在另一條直角邊旁寫上“高”的作業(yè)，順勢(shì)請(qǐng)學(xué)生判斷。學(xué)生有一種恍然大悟的感覺(jué)。
　　（2）拓展作業(yè)，完善認(rèn)識(shí)。直角三角形中畫高的作業(yè)，不能僅僅止于畫正確一條高。實(shí)踐中，筆者在學(xué)生完成了畫指定底邊上的“高”這個(gè)任務(wù)后，順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生思考“另外兩條邊上對(duì)應(yīng)的高是怎樣的”，使其最終認(rèn)識(shí)到直角三角形也有相對(duì)應(yīng)的3組底和高，并清楚地知道某條直角邊上的高是另外一條直角邊。
　　3.概念清晰完備層次的活動(dòng)設(shè)計(jì)及教學(xué)思考
　　活動(dòng)：畫出圖5中三角形指定底邊上的高。
　　引入鈍角三角形中高的認(rèn)識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)三類三角形中的高的基本特點(diǎn)有較為完整的認(rèn)識(shí)，對(duì)于學(xué)生完整認(rèn)識(shí)三角形高的概念有相當(dāng)大的價(jià)值。當(dāng)然，對(duì)于這一目標(biāo)，還不能體現(xiàn)在作圖上，因?yàn)樽麾g角三角形短邊上的高，對(duì)小學(xué)生不作要求。筆者在鈍角三角形中的高的教學(xué)實(shí)踐中，分了兩個(gè)層次來(lái)落實(shí)：
　　（1）正確畫出指定底邊（最長(zhǎng)邊）上的高。實(shí)踐中，學(xué)生畫后交流點(diǎn)評(píng)。首先評(píng)改錯(cuò)誤情況，即從鈍角的頂點(diǎn)出發(fā)畫出一條與某條短邊垂直的線段，誤作最長(zhǎng)邊上的高。此時(shí)需要引導(dǎo)學(xué)生注意一下畫垂線的技巧。然后反饋畫得正確的作業(yè)，請(qǐng)學(xué)生說(shuō)畫法，強(qiáng)化認(rèn)識(shí)。
　　（2）質(zhì)疑引思，啟發(fā)想象：另外兩條邊上對(duì)應(yīng)的高在哪里？此時(shí)，學(xué)生碰到了困難，因?yàn)橛袑W(xué)生質(zhì)疑另外兩條邊是無(wú)法畫出高的。筆者以為，學(xué)生出現(xiàn)這樣一種疑惑，說(shuō)明其對(duì)三角形高的定義是真正理解了。因?yàn)椋藭r(shí)學(xué)生對(duì)三角形高的定義的理解與鈍角三角形本身的特點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)了，是在無(wú)法操作的前提下，產(chǎn)生了矛盾沖突。此時(shí)，把鈍角三角形另外兩條邊上的高也展示出來(lái)，請(qǐng)學(xué)生了解畫法及圖像，一是讓學(xué)生初步感知“鈍角三角形內(nèi)只能畫出最長(zhǎng)邊上的高，還有兩條高，只能畫在三角形外”的知識(shí)點(diǎn)；二是使學(xué)生充分了解所有三角形均有3組對(duì)應(yīng)的“底”和“高”的知識(shí)，從而對(duì)“三角形的高”的知識(shí)有完整的認(rèn)識(shí)。
　　筆者認(rèn)為，以上三角形高的教學(xué)實(shí)踐過(guò)程，通過(guò)三個(gè)層次的教學(xué)活動(dòng)，遵循了概念建構(gòu)的基本規(guī)律，印證了幾何概念教學(xué)中表象形成與完善的重要價(jià)值，也體現(xiàn)了概念教學(xué)的一般規(guī)律，是一種典型的有意義學(xué)習(xí)。