由數(shù)列遞推公式求通項(xiàng)公式的常用方法

　　由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式，它是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)。求數(shù)列的通項(xiàng)公式一般是將原數(shù)列的遞推公式進(jìn)行適當(dāng)變形，使問題得以轉(zhuǎn)化，從而求出通項(xiàng)公式。現(xiàn)舉例說明如下。
　　一、疊加法
　　例1：設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1-an=3×22n-1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
　　解：由已知，當(dāng)n≥1時(shí)， a2-a1=3×2，a3-a2=3×23，a4-a3=3×25，……，an-an-1=3×22（n-1）-1=3×22n-3，an+1-an=3×22n-1，將以上n個(gè)式子相加，得an+1-an=3×（2+23+25+…+22n-3+22n-1）=3×=2×（2-1）=22n+1-2.于是an+1=a1+22n+1-2，即 an+1=22n+1=22（n+1）-1，而a1=2，所以{an}數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=22n-1.小結(jié)：由本例可知，當(dāng)數(shù)列的遞推公式形如an+1-an=f（n）時(shí)，可以使用疊加法求解。
　　二、疊乘法
　　已知數(shù)列{an}，其中a1=1，an+1=an求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.
　　解：由已知，得=，則=，=，=，…=，=.將以上n-1個(gè)式子相乘，得=×××…××=.又a1=1，故an=. 小結(jié)：由本例可知，當(dāng)數(shù)列的遞推公式形如=f（n）時(shí)，可以使用疊乘法求解.
　　三、構(gòu)造法
　　例3： 在數(shù)列{an}中，a1=1，sn+1=4an+2，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.
　　解：∵a1=s1=1，∴a2=s2-s1=4a1+2-1=5，∵an=sn-sn-1=（4an-1+2）-（4an-2+2）=4（an-1-an-2），∴an-2an-1=2（an-1-2an-2），∴=2，于是{an-2an-1}數(shù)列是以a2-2a1=3為首項(xiàng)、公比為2的等比數(shù)列.∴an-2an-1=3×2（n-1）-1=3×2n-2（n>1），兩邊同時(shí)除以2n， ∴-=，于是數(shù)列{}是首項(xiàng)為=，公差為的等差數(shù)列∴=+（n-1）×=，即an=2n-2·（3n-1）。小結(jié)：由本例可知，把原數(shù)列的遞推公式進(jìn)行適當(dāng)變形。當(dāng)數(shù)列的遞推公式形如an+1=pan+qn（p，q為常數(shù)）時(shí)，兩邊可同時(shí)除以qn+1，構(gòu)造出等差數(shù)列或等比數(shù)列，再運(yùn)用等差數(shù)列或等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，進(jìn)而求出原數(shù)列的通項(xiàng)公式。
　　總之，遇到問題時(shí)要多思多想，從已知條件出發(fā)，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而使問題得以解決。
　　（西藏拉薩市第二高級(jí)中