經歷認知過程 積累數學經驗

　　新的課程標準將“雙基”改為“四基”，新增加了基本思想和基本活動經驗，應該說這是對課程目標全面認識的重大進展。其中數學活動經驗的提出，對提高學生獨立思考、發現問題、提出問題、尋求解決問題的思路、提高數學素養都有重要意義。如何讓學生在學習經歷中積累數學活動經驗呢？下面我以“面積單位”為例，試著介紹自己的粗淺做法。
　　一、 參與建構，積累感性經驗
　　基本活動經驗的積累，首先需要讓學生積極主動地參與數學知識的發生和形成的過程。心理學的認知規律啟迪我們：學習中，學生參與的方式越多，其學習的結果也越牢固。
　　為此，我在教學“面積單位”時，先讓學生在作業紙上“畫一畫”：在紙片上畫一個邊長是1厘米的小正方形；再讓他們“涂一涂”：用水彩筆將小正方形涂滿一種色彩；然后“剪一剪”：從紙片中將涂上色的小正方形沿四邊剪下來；接下來“摸一摸”：用手指在小正方形的四邊上觸摸一遍；然后閉眼“想一想”：體會1平方厘米的大小；最后“說一說”：邊長為1厘米的正方形，它的面積就是1平方厘米。
　　上述操作過程的設計，比教師“直接出示一個正方形，告訴學生這個正方形的面積是1平方厘米”的一般做法，學生的體驗顯然要深刻得多。因為學生通過親自“畫一畫”、“涂一涂”、“剪一剪”、“摸一摸”、“想一想”和“說一說”，直接參與了新知識的發生和認識過程，其中，綜合了線段、圖形、色彩，調動了視覺、觸覺，涉及了動手、動腦、動口，共同參與了獲取知識的全過程，使操作、思維、語言有機結合，獲得的體驗更加深刻、牢固，從而累積了認識新知識充分而必要的感性經驗。
　　二、 經歷擴展，積累估測經驗
　　基本活動經驗的積累，還需要讓學生動手測量、估量，主動參與知識的發展過程，獲得驗證數學知識的經驗。比如，讓學生認識1平方厘米的大小。僅僅認識或記住1平方厘米的大小是遠遠不夠的，所以還得引導學生認識幾平方厘米的活動。于是，我要求學生估計橡皮、電話卡等生活中常見物品的表面面積的大小?！霸鯓又滥銈兊墓烙嬍欠窈侠砟?？”我啟發學生思考。學生想到了用剛剛剪下來的1平方厘米的正方形作為工具去量一量，并且量出了橡皮表面的面積大約在4～6平方厘米，電話卡表面的面積大約是40平方厘米。在此基礎上我又拋出另一問題：“根據剛才的學習，你能估計數學書封面的面積大約是多少平方厘米嗎？”話音剛落，多數學生都用剛才剪下的1平方厘米的小正方形作為測量工具忙開了?？墒且晃荒型瑢W不一會兒功夫就舉起了小手迫不及待地報出了答案。
　　“哎，大家都沒有量好呢，你為什么這么快就有答案了？”我追問。
　　“我是用電話卡量的，因為一張電話卡大約是40平方厘米，數學書的封面有9張電話卡多一點，9×40=360（平方厘米），所以我估計數學書的封面面積比360平方厘米多一些，大約在380平方厘米左右?！?br/>　　師：“這位同學的想法你們同意嗎？從中你們受到了什么啟發？”
　　生1：我覺得他的方法比較簡單，量得快。
　　生2：我覺得他的方法不容易錯，我們用1平方厘米的小正方形量，次數太多了，容易忘記。
　　師：確實，數學書封面的面積接近400平方厘米。現在你們能估計出課桌表面的面積嗎？
　　受剛才的啟發，多數學生都用數學書作為測量工具，并且很快得出課桌表面的面積大約是2400平方厘米。
　　師：通過剛才的學習你有什么經驗與大家分享？
　　生1：測量面積的時候不一定都用1平方厘米的正方形去量，我們可以根據需要測量面積的大小選擇合適的工具。
　　生2： 在練習的時候，我們可以選擇一個熟悉的物體作為標準，把要測量的面積與它比一比，這樣很容易得出答案。
　　生3：我們不僅要在頭腦中記住1平方厘米的大小，而且還要盡可能記住像電話卡40平方厘米，數學書400平方厘米，課桌2400平方厘米等大小不同的面積。這樣解決實際問題時，就可以根據需要選擇一個合適的與它比一比，便能更準確地估計出面積的大小了。
　　通過畫圖建構、測量操作，學生不僅清晰地認識了1平方厘米的大小，還初步認識了幾十、幾百甚至幾千平方厘米的面積大小。雖然數學書封面和課桌表面的面積我們一般用平方分米作單位，但是在這里學生用平方厘米認識它，既可以加深對新知識的鞏固，也能適時地發展學生的數感，為后繼學習做好適時的滲透和鋪墊。教學過程中運用的猜想、驗證、類比等數學思想方法，使學生探究了一套行之有效的學習方法：在頭腦中建立和記住一些大小不同的面積概念，可以作為估計其他面積大小的參照物。這一重大“發現”，不正是學生在學習過程中所積累的活動經驗嗎？
　　三、 自主探索，積累遷移經驗
　　基本活動經驗的積累，還需要引導學生積極探索，幫助學生把已有的學習方法自覺遷移到新知識的學習之中。比如，我在教學平方分米和平方米的時候，引導學生用認識平方厘米的方法自主學習和探究。先讓學生估計作業紙上邊長是1分米的正方形面積的大小，然后想辦法驗證自己的估計結果是否合理。
　　生1：我用電話卡驗證的，可是只知道這個正方形的面積比80平方厘米多一些。是不是正好是100平方厘米，我不能確定。
　　生2：我們兩個人合作，用1平方厘米的小正方形一個挨一個地擺在作業紙上來量，還沒有量好呢。
　　生3：不需要全擺，只要用1平方厘米的小正方形沿著正方形的一條邊擺一排10個，沿著另一條邊也擺10個，10×10=100（個），這個正方形的面積是100平方厘米。
　　師：這種方法簡單多了。
　　生4：我沒有用小正方形量，我是用尺子量的，結果發現我的估計是對的。
　　“尺子怎么量？”我好奇地追問。
　　生4：我先用尺子量出正方形的一條邊是10厘米，說明一排可以畫10個小正方形，又量出另一條邊是10厘米，說明可以畫10排，這樣一共可以畫100個小方格，說明它的面積是100平方厘米。
　　師：哦，他是用“畫格”的方法驗證自己猜想的，真會動腦筋！剛才同學們用了不同的方法都驗證了自己的猜想是對的，這個正方形的面積確實是100平方厘米。那么在測量面積的時候你還有什么發現呢？
　　生5：這個正方形的邊長是10厘米。
　　生6：這個正方形的邊長是1分米。
　　師：沒錯，這個正方形的邊長10厘米就是1分米。根據前面學到的“邊長是1厘米的正方形面積是1平方厘米”，你能大膽地去猜想和發現嗎？
　　學生不但正確歸納出“邊長是1分米的正方形，面積是1平方分米”，而且還通過遷移得出“邊長是1米的正方形，面積是1平方米”，同時還發現100平方厘米=1平方分米，并從中推斷出100平方分米=1平方米。
　　顯然，學生通過自主探索，不僅理解了1平方分米和1平方米的概念，而且還提前知道了平方厘米和平方分米以及平方分米和平方米的關系，這為后繼的學習做好了充分的知識儲備，積累了一定的遷移經驗。
　　在認識平方厘米的時候，學生積累了一定的認識和操作經驗，掌握了科學的學習方法，所以在認識平方分米和平方米的時候，便能自覺遷移：在頭腦中建立并記住常用物體表面的大小。如，課桌表面的面積大約是20平方分米，黑板的面積大約是400平方分米，教室的面積大約是50平方米，籃球場的面積大約是400平方米……解決問題時就以它們作為參照物，通過聯想、比較等方法尋找正確答案，提高解題的正確率。
　　四、 解決問題，積累思辨經驗
　　基本活動經驗的積累，還需要引導學生深入思考，通過判斷、推理辨別是非，尋找解決問題的最佳途徑。
　　學生對一些生活中熟悉的、具體的或者比較小的事物的表面面積的大小能夠憑借自己的學習經驗正確判斷或估計，但是對一些較大面積的認識常常會遇到一定的困難。如，學習中我出示了這樣一道填空題，讓學生在括號里填上合適的面積單位：一個足球場的面積是7140（ ）。由于三年級學生只認識到千以內的數，看到7140感覺這個數很大，所以多數學生選擇填平方厘米或平方分米。諸如這樣的錯誤即使在高年級的學生中也時常發生。究其原因，我覺得主要是學生的體驗不夠和方法的匱乏所致。所以培養學生的思辨經驗就顯得尤為重要了。
　　師：假設足球場的面積是7140平方厘米是對的，試想一下結果會是什么情況？
　　生1：我覺得足球場的面積是7140平方厘米不合理。因為我們課桌的面積是2400平方厘米，3張課桌的面積就是7200平方厘米，足球場的面積不可能只有3張課桌大。
　　生2：我也覺得不合理。因為我們一個手掌的面積大約100平方厘米，70個手掌大約7000平方厘米，足球場怎么可能只有70個手掌那么大呢？
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　　師：同學們通過推理和比較發現足球場的面積用平方厘米不太合適，這種思考方法非常好！那如果填平方分米怎樣呢？
　　生3：足球場的面積用平方分米表示好像也不太合適，因為我們教室里黑板的面積大約是400平方分米，20個黑板的面積大約是8000平方分米。足球場的面積好像不可能只有20個黑板大。
　　生4：我覺得足球場的面積用平方分米肯定不恰當。
　　“為什么這么肯定？”我追問他。
　　“我是這樣想的，7140平方分米接近7200平方分米，7200平方分米可以看作72個100平方分米，也就是說7200平方分米應當等于72平方米，而我們教室的面積就已經是50平方米左右了，足球場的面積怎么可能比我們教室大一點點呢，所以我認為足球場的面積應當是7140平方米?！?br/>　　“真會思考！雖然我們還沒有學過小數和面積單位之間的轉化，但是運用假設、反證、例舉等方法，終于找到了合適的答案，這是一種重要的解決問題的方法。課后請同學留心觀察、實地調查7140平方厘米、7140平方分米、7140平方米別有多大，估一估、比一比、說一說。”
　　由于條件的限制，我們雖然無法讓學生一一體驗較大面積的大小，但是我們可以引導學生通過估算、轉化、比較、假設等推理方法，靈活解決實際問題。這既是一種學習方法，也是一種思維路徑，小處著手，由大化小，化難為易，不僅能提高學生靈活解題的能力，而且還能培養學生嚴密的邏輯思維能力，從而不斷積累思辨的經驗。
　　數學教學需要讓學生親身經歷學習過程，在實際的學習活動中，引導學生動手操作，自主探究新知，自覺反思和感悟，從而獲得最具數學本質的、最具價值的數學活動經