關注思維過程 提升思維能力

　　一、問題緣起
　　作業練習是教學過程中不可缺少的重要環節，學生練、老師批這是最常見的教學信息反饋流程。有些教師會根據學生的錯誤情況進行分類，如同一知識性錯誤的一類，計算錯誤的一類等，而后按照錯誤的類別分批次給學生講解，這應該算是一位盡責的教師。
　　筆者每天也都如此，可是，目前所任教的學生兩年下來并沒有明顯的進步，令人百思不得其解，只好到處尋覓良策，無意中發現這樣一段話：數學思維活動教學涉及三種思維活動：前人的思維活動（它或隱或現地存在于課本中），數學教師的思維活動和學生的思維活動。前人的思維活動以教材和教師為媒介對教學過程產生影響，是數學教學活動的隱蔽參加者。這種反映在知識中的成熟的數學思維活動是學生思維活動的楷模。教師通過自己創造性的思維活動，在前人與學生思維活動之間、學生的已有知識與面臨的問題之間架設橋梁。揭示前人與學生的數學思維活動過程的能力是數學教師重要的教學素質，分析數學思維過程是數學教師在教學活動中最重要、最本質的活動。
　　一語驚醒夢中人，平時我們是怎樣批改作業的？只是簡單地對學生作業判斷“√”或“×”，然后把錯的作業歸歸類，讓學生訂正一下，這樣作業就算批好了。捫心自問：我了解做對學生的解題思維過程了嗎？是一樣的還是不一樣的？有幾種？做錯學生的解題思維過程是全錯了？還是部分錯？慚愧！這么多問號我一個也法回答，試問我怎么能架設一座好的橋梁？欣喜！我終于找到方向了，那么作業里到底蘊藏著多少寶藏呢？讓我們從分析思維過程入手。
　　【原型重現】初嘗甜頭
　　在學習了通分這一知識以后的練習，筆者像平時一樣對學生的作業進行批改，當批到張同學的作業時，突然發現了他沒有在原分數的旁邊寫上一個通分后的分數后進行大小比較，而是在每個分數的分子上方寫上了一個數字，哪個數字大這個分數就大，巧的是每一個結果都是正確的，原來每一個分子上方的數字都是這個數的分子與另一個分數分母的乘積，都是通過十字相乘得來的。難道這個方法在任何分數的大小比較中都可以用嗎？到底為什么可以這樣做？這位學生的思維過程是怎樣的呢？于是筆者去詢問了這位學生，其思維過程如下：
　　【分層剖析】這是運用了通分的方法，在這類題目中是沒必要找出分母的最小公倍數，只要找原分母的公倍數就可以了，因為這樣已經可以達到解題目的，而且速度也快。筆者把這位學生的思維過程展現給其他學生看時，大家都感覺到原來分數大小的比較方法可以如此簡單，都對這位學生投去了佩服的眼光，并且自發地把這種方法命名了“張××（這位同學的名字）法”。
　　學生在解答題目時，展現了在學習數學知識中另類而又正確的思維過程。教師利用這一思維過程向學生滲透了該學生解決問題的方法，使所有學生都品嘗和共享這一快速而有效的方法。通過這一思維過程讓每一位學生都得到了新成果（問題的解答）。筆者也嘗到了在作業中關注學生思維過程的甜頭。
　　數學課程標準中強調有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，教師必須扮演好作為聯系教材和學生的橋梁這一角色。吃透教材（明晰編者的思維活動），把握學生（重視學生作業的分析，從而掌握學生對已有知識的思維過程），這樣才能讓學生進行有效的數學學習活動；這樣才能使編者、教師、學生的思維活動和諧統一；這樣才是成功的教學。因此，筆者認為分析學生作業的思維過程應是數學教師在批改作業時最重要、最本質的活動。
　　二、分析方法
　　數學課程標準指出：小學數學的教學應注重對學生數學思維過程的評價和分析。對學生作業數學思維過程的分析就是要使學生明確要解決的主要問題，運用涉及的舊知識，得到新的成果（問題的解答）；使用合適的語言（符號或術語）與方法，得到新的解題方法；然后對成果加以應用，達到舉一反三的效果。最終讓我們的課堂變知識儲備型教學為智力開發型教學，變知識型人才的培養為素質型人才的培養。基于上述的認識，筆者認為教師必須掌握一些對小學生數學作業思維過程分析的有效方法。
　　（一）借用數量關系，訓練學生的思維過程
　　新教材依據“課標”要求不再設置“應用題”的專門編排和教學課時，要求教師取消這部分內容的集中教學，期望教師通過現實生活情境創設，把數量關系的運用問題滲透到日常教學之中。這種追求本身并沒有錯，只是很多教師不太適應這種融合滲透的教學方式，導致課堂教學中現實生活情境泛濫，缺乏的卻是結合情境的教學過程來滲透數量關系的運用問題。特別是對數量關系適時抽象概括與專項訓練更是重視不夠，導致學生對解決問題望而生懼，亂猜解題方法，學生的認識和思維也只能停留在具體情境上。
　　我們一線的教師都十分清楚數量關系對解決問題的重要性，但讓學生死記硬背是違背新課程理念的，何不換種方式讓學生運用實際情境來解釋這個數量關系，真正體驗到這一數量關系是合理的也是正確的，再運用這一數量關系式解決問題，從而達到內化。
　　【原型重現】成功起航
　　【分層剖析】
　　1.以線段圖來直觀展現1份的速度和里包括一個40和一個50相加的和，因為這是1分鐘小明和小兵同時行走的，4分鐘就是有4個（40＋50）的和。
　　2.以文字進行分解說明這一數量關系式的原形為總路程=小明的速度×時間+小兵的速度×時間，因為時間相同，再聯系乘法分配律可以變式為路程=速度和×時間。
　　上述的聯系實際問題解釋數量關系，體現了學生利用自然現象和社會現象來解釋數學建模的合理性與正確性，也充分顯示了學生具有較強的處理信息、推理和證明事實的能力，通過思維過程的分析也進一步提升了學生對數量關系的理解。
　　（二）通過內化面積公式，訓練學生的思維過程
　　要讓學生體會到前人的圖形計算公式的合理性和正確性，就必須讓學生經歷公式推導的這樣一個過程：觀察→猜想→驗證→證明→應用，這既是公式推導的一般程序，也是數學家思維活動的過程。因此，從圖形面積的推導入手可以分析出數學家思維活動的過程，而分析這一思維過程和小學生的思維特點，就可以制訂出比較合理的教學程序。
　　【原型重現】以舊推新
　　【分層剖析】
　　1.用補缺口的方法來說明自己判斷的正確性。
　　2.用平均分的知識來證明自己的猜測。
　　3.運用平移、旋轉的知識來驗證三角形的面積等于長方形面積的1/2，得出S△=ab÷2，然后加以應用。
　　上述三角形面積公式推導思維過程，讓學生經歷了圖形面積公式推導的一般過程：觀察、比較、猜想、驗證，十分自然地體現了數學研究的一般程序，并使學生建立起“新”圖形轉化成“舊”圖形之間的聯系，使學生主動地掌握幾何圖形的面積計算公式，并在這一過程中，培養了學生的創新意識和實踐能力，發展了學生的空間想象能力，增強了學生進行研究性學習的能力。
　　（三）梳理解題思路，訓練學生的思維過程
　　數學中有不少類型的題目有約定俗成的解題策略與解題方法，但還有很多題目要用獨特的思路去解決。筆者以一道作業題為例，試圖從解決數學題的思路中分析數學思維過程。
　　【原型重現】把握本質
　　【分層剖析】
　　1.由梯形和三角形的概念聯想到它們的本質屬性，由它們的概念想象到圖形的結構圖。
　　2. 梯形角和三角形角的數量之和為7個成立，小于7個和大于7個不成立，這是另一位學生的做法：
　　（1）角共有7個成立，是一個梯形和一個三角形；
　　（2）角共有6個不成立，是兩個直角三角形；
　　（3）角共有8個不成立， 是兩個梯形。
　　3.確定要求作的線段是一個端點在對角線上，另一個端點在對邊的線上任意一點的公共邊。
　　4.作出圖形。
　　（四）選擇解題方法，訓練學生的思維過程
　　【原型重現】分數部分不夠減的帶分數減法
　　以3-1＝？為例
　　一位學生解題的方法是：
　　3-1= 2-1= （2-1）+（-）＝ 1+＝ 1。
　　根據這樣的解題過程，師生共同總結出解決這類題的思維過程是：
　　一看：看分數部分夠不夠減。（-不夠減）
　　二借：被減數的分數部分向整數部分借1。（把3轉化成2）
　　三拆：把兩個帶分數拆成整數部分相減和分數部分相減。（2－1，-）
　　四合：把整數部分的得數與分數部分的合起來。（1+）
　　【分層剖析】通過這一思維過程的分析、提煉，使所有學生對這一類題目的解題方法有了更清晰的認識，為學生解決帶分數加減題目提供了一個可操作的程序。
　　（五）領悟解題策略，培養學生的思維過程
　　學數學離不開做作業，那么在做作業的時候學生要具備一定的解題策略。同時學生的每一種解題策略都蘊含著豐富的思維資源。
　　【原型重現】 以退為進
　　【分層剖析】
　　1.學生通過觀察，明確了解決這一問題的要點就是找到正方形的中心點和圓的圓心。
　　2.確定了要點以后，就分步進行（先后退，從復雜到簡單），如果沒有正方形，只要找到圓心O，那么通過圓心的任意一條直線都能把圓分成面積相等的兩部分。如圖2。
　　3.如果只是一個正方形，只要畫出正方形的對角線，找到對角線的交點A，通過A點的任意一條直線都必定把正方形分成面積相等的兩部分。如圖3。
　　4.題中要求用一條直線把正方形和圓同時分成面積相等的兩部分（前進，從簡單到復雜），結合前面的思維過程，畫出通過正方形中心點和圓的圓心的直線就一定能解決這一問題。如圖4。
　　解題策略就是尋找解題思路的指導思想，它是為了實現解題目標而采取的指導方針。小學生在解題時常出現如下情形：有時，面對數學題，無從下手；有時，明明思路很清楚，就是解不出來