放飛思維

　　在中國，小學生只要學了分數，分數的性質就能脫口而出，這無疑是令人欣慰的，至少說明學生的基礎知識扎實。但如果問學生怎樣去運用分數的基本性質、它有哪些典型的應用等等，能說出個子丑寅卯來的就寥若晨星了。毫無疑問，這是中國數學教學追求“多而全”決定的。西方教學著眼于“少而精”，學生的思維水平和創造能力都遠遠高于同齡的中國學生。因此，一線教師在教學中按各個專題對學有余力的學生進行提高是大有必要的，既有利于興趣的提高，又有利于創造力的培養。下面，筆者結合分數基本性質的運用談學生的思維發展。
　　一、分數的分子或分母變化時，把握住“必需成倍地變”，分數的值就不變
　　形如“的分子增加4，分母增加___，分數的大小不變”的習題，無論是平時的練習，還是各類考試中都多次出現。其本質就是一種干擾思維性的習題，一旦把握住“分子分母成倍變，分數值不變”，解決就易如反掌。
　　例 ①一個最簡分數，分子、分母的和是50，如果把這個分數的分子和分母都減去5，所得分數的值為，那么原來的分數是（ ）。
　　A.　　B.　　C.　　D.
　　②一個分數如果加上一個分數單位，那么和是1；如果減去一個分數單位，那么差是，這個分數原來是多少？
　　思路簡析：①作為選擇題，無論從思維角度分析，還是從解題速度來看，都應該大力提倡。答案中的C、D不是最簡分數，直接去掉，A中分子、分母的和是15，也舍去，因而選B。“如果不是選擇題呢？”（許多教師對學生這種“打破砂鍋縫（問）到底”的“死腦筋”打心眼里不喜歡，卻不知科學家高比例地來自這個群體）用=或者(2y+5)+(3y+5)=50都能迎刃而解。
　　②加上一個分數單位是1，說明原分數的分子、分母相差1，因此再減去一個分數單位，分子、分母相差2，于是只能是分數用2約分后的數，所以原分數是。
　　另解：由題意可知，1和之間的差（即）是兩個分數單位，于是一個分數單位就是，進而得出原分數是。
　　二、分數的拆分及其應用
　　分數的拆分有兩種常見形式，一種是拆成兩個埃及分數的和（分子為1的分數常稱為埃及分數）。形如“=+”的習題，總是分成是否相等來分析：相等時，明顯是；不等時，===+。因而，把拆成互不相等的三個埃及分數的和就輕而易舉了，即=+=+=++。
　　另一種拆分是拆成兩個埃及分數的差。如==＝-；==×=-。相比之下，這種拆分更有用途。
　　思路簡析：①先折成兩個埃及分數的差，再求和就可逐項相消，答案為1-=；②利用=×（-），原式=×（-）+×（-）+…+×（-）=×（-）=；③反復拆分后，原式=（1+）-（+）+（+）-（+）+（+）-（+）=1-=。需要說明的是，本題除了拆分法外，還可以利用歸納法求解，即先算幾項，找出規律，再作猜測、歸納。
　　借助分數的基本性質，能巧妙地解決實際問題。“阿凡提巧分驢”的故事在各類少兒智力讀物中屢見不鮮：“阿凡提的一個老鄰居臨終前留下遺囑：‘三個兒子合分家中的17頭驢，老三得，老二得，老大得。不許殺驢，否則全部送人。老鄰居去世之后，兄弟三個犯難了：一方面，17不能被2、3和9整除；另一方面，++≠1。”阿凡提是怎么幫三人解了燃眉之急的呢？原來，阿凡提采用的是“借一還一”法。阿凡提先把自己心愛的小毛驢跟鄰居家的17頭驢放到一起，湊成18頭，再讓兄弟三個依次牽走9頭、6頭和2頭，恰好只剩下阿凡提的那頭小毛驢，最后把自己的小毛驢牽走，難題就迎刃而解了。我們再用分數的基本性質來看此題：顯然，兄弟三個應分得驢的頭數的比為︰︰，同乘以分母的最小公倍數18，頭數的比變為9︰6︰2，三人所得的驢子頭數不正是阿凡提提供的分配方案嗎？
　　“還有其他方法嗎？”教師擁有這種理念，課就會越上越活；學生堅持這種觀念，數學會越學越覺得有趣。
　　（責編　杜