解決問題的制勝法寶

　　《義務教育數(shù)學課程標準》（2011年版）明確提出“通過義務教育階段的數(shù)學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步數(shù)學發(fā)展所必需的數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗”的四基目標。今天的數(shù)學教育，特別關注每個學生終身可持續(xù)發(fā)展的基礎，越來越重視數(shù)學思想方法的教育。日本著名數(shù)學教育家米山國藏認為：“作為知識的數(shù)學出校門不到兩年學生可能就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的是數(shù)學的精神，數(shù)學的思想、研究方法和著眼點等，這些隨時隨地發(fā)生作用，使他們終身受益?！睌?shù)學的思想方法是數(shù)學學科的精髓。
　　數(shù)學思想方法有很多，分類的思想、轉(zhuǎn)化的思想、類比的思想、模型化的思想、數(shù)形結合的思想等等。如果讓我一言以蔽之，那就是“復雜問題簡單化”，它是所有數(shù)學思想方法的精髓，是解決問題的制勝法寶。
　　一、變式問題常規(guī)化
　　數(shù)學中，許多問題會以改頭換面的形式出現(xiàn)，但無論如何，它的本質(zhì)特征不會改變。遇到類似問題，我們可以將它“還原”，使之成為一道熟悉的常規(guī)題目。如：晶晶上學，如果每分鐘走60米，則遲到5分鐘；如果每分鐘走75米，則能提前2分鐘到校。求晶晶家到學校的路程。顯然這是一道經(jīng)過變式的盈虧問題，教學中只要讓學生改變一種敘述方式，問題將會迎刃而解。標準敘述：晶晶上學，如果每分鐘走60米，則少走了300米；如果每分鐘走75米，則多走了150米，求總路程。解答：從虧300米到盈150米，共相差450米，450÷（75-60）=30（分），30×60+300=2100（米）。
　　二、繁復問題單純化
　　一些數(shù)學題目表述上非常繁瑣，又牽扯許多無關問題，給學生帶來一些不必要的干擾。如果我們能使這些繁復問題單純化，可以大大降低學生的理解難度，更有利于對本質(zhì)的把握。如：甲乙丙三人進行100米的跑步比賽，當甲到達終點時，乙離終點還有20米，而丙離終點25米。當乙到達終點時，丙離終點還有多少米？通過讀題我們會發(fā)現(xiàn)，實際上這道題和甲并沒有關系，所以我們完全可以把題目簡化為：乙丙二人進行100米的跑步比賽，當乙離終點還有20米時，丙離終點25米，當乙到達終點時，丙離終點還有多少米？我們還可以把這道題進一步簡化：乙跑80米，丙跑了75米，乙跑100米，丙跑了幾米？解答：75×（100÷80）=93.75（米）。原問題答案為：100-93.75=6.25（米）。
　　三、錯綜問題明朗化
　　例：小軍家距外婆家1200米，一天他帶一條狗，從家去外婆家，舅舅同時出來迎接小軍。出發(fā)后狗就向外婆家跑，遇到舅舅后又立即返回，回來遇到小軍時，它又跑向舅舅，狗就這樣來回不停地跑。已知小軍每分鐘走50米，舅舅每分鐘走70米，狗每分鐘跑200米，問當小軍和舅舅相遇時狗共跑了多少米路？初讀這道題，很多人都會去嘗試著思考狗跑的路線，發(fā)現(xiàn)狗每次的來回就像一根彈簧一樣，一環(huán)更比一環(huán)短。顯然，這種思維方式會將我們帶入一個死胡同，因為狗每個來回的時間與路程錯綜復雜，我們根本就無法理清。這時，我們?nèi)绻麚Q個角度思考，即狗如何奔跑，向哪個方向跑其實與問題并無多大關系，我們應該注意到的是狗一直在奔跑且速度不變，求狗跑的路程實際上只要知道狗所奔跑的時間就可以了，顯然這個時間就是小軍與舅舅的相遇時間。這樣一來，這個看似錯綜復雜的問題即刻就變得明朗化了。解答：1200÷（50+70）=10（分），200×10=2000（米）。
　　四、糾結問題簡約化
　　一些問題看上去挺讓人糾結的，學生感覺到很難把握。在教學中，如果我們讓這樣一些糾結的問題簡約化，學生把握起來會變得十分容易。如：甲乙合做一項工程，8天可以完成。而如果先由甲單獨做4天，再由乙接著單獨完成，還需要10天。如果自始至終都由甲來做，需要多少天？初讀題目，會讓人感覺很糾結，但實際上我們只要換一種敘述方式，這道題就會顯得簡約：甲乙合做一項工程，8天可以完成。而如果甲乙合做4天后，再由乙接著獨做，還需要6天才能完成任務。如果自始至終都由甲來做，需要多少天？解答：（1-4/8）÷6=1/12，1÷（1/8-1/12）=24（天）。
　　五、未知條件已知化
　　一些數(shù)學問題，題中給出的條件十分有限，對于一些相關數(shù)據(jù)，題中均未加以說明，給學生解題帶來了巨大困難。其實，這時我們可以思考，對于與此題相關聯(lián)的數(shù)據(jù)，為什么不加以說明？怎么可以不加以說明呢？這就表明，這一類數(shù)據(jù)，對于解答該題不造成任何影響。換言之，這一類數(shù)據(jù)任意假設，都不會影響到此題的解答。如六年級學習的“工程問題”，題中均未出現(xiàn)工作總量，而我們在解答時總是將它看作單位“1”。又如：小明爬一座山，上山時的速度是4千米/時，下山時速度是6千米/時，他上山、下山的平均速度是多少？這是一道學生十分容易出錯的題目，當然錯誤原因與學生沒有真正理解平均數(shù)的含義有極大關系。但是，不排除許多學生是因為不知道這座山的高度而感到困難的。顯然，這道題與山的高度并沒有關系，因此，我們完全可以將此題更改為：小明爬一座1.2千米高山，上山時速度是4千米/時，下山時的速度是6千米/時，他上山、下山的平均速度是多少？解答：1.2×2÷(1.2÷4+1.2÷6)=4.8(千米/時)。
　　我國著名數(shù)學家華羅庚說：善于“退”，足夠地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是學好數(shù)學的一個訣竅!將復雜問題簡單化也正是另一種形式的知難而“退”。我們更有理由相信，學會復雜問題簡單化，學生將終身受用，因為它也是我們解決許多人生問題的一個有效法則。
　　（責編　周侯