解決問題的制勝法寶

　　《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）明確提出“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步數(shù)學(xué)發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的四基目標(biāo)。今天的數(shù)學(xué)教育，特別關(guān)注每個(gè)學(xué)生終身可持續(xù)發(fā)展的基礎(chǔ)，越來(lái)越重視數(shù)學(xué)思想方法的教育。日本著名數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏認(rèn)為：“作為知識(shí)的數(shù)學(xué)出校門不到兩年學(xué)生可能就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的是數(shù)學(xué)的精神，數(shù)學(xué)的思想、研究方法和著眼點(diǎn)等，這些隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們終身受益。”數(shù)學(xué)的思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓。
　　數(shù)學(xué)思想方法有很多，分類的思想、轉(zhuǎn)化的思想、類比的思想、模型化的思想、數(shù)形結(jié)合的思想等等。如果讓我一言以蔽之，那就是“復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化”，它是所有數(shù)學(xué)思想方法的精髓，是解決問題的制勝法寶。
　　一、變式問題常規(guī)化
　　數(shù)學(xué)中，許多問題會(huì)以改頭換面的形式出現(xiàn)，但無(wú)論如何，它的本質(zhì)特征不會(huì)改變。遇到類似問題，我們可以將它“還原”，使之成為一道熟悉的常規(guī)題目。如：晶晶上學(xué)，如果每分鐘走60米，則遲到5分鐘；如果每分鐘走75米，則能提前2分鐘到校。求晶晶家到學(xué)校的路程。顯然這是一道經(jīng)過變式的盈虧問題，教學(xué)中只要讓學(xué)生改變一種敘述方式，問題將會(huì)迎刃而解。標(biāo)準(zhǔn)敘述：晶晶上學(xué)，如果每分鐘走60米，則少走了300米；如果每分鐘走75米，則多走了150米，求總路程。解答：從虧300米到盈150米，共相差450米，450÷（75-60）=30（分），30×60+300=2100（米）。
　　二、繁復(fù)問題單純化
　　一些數(shù)學(xué)題目表述上非常繁瑣，又牽扯許多無(wú)關(guān)問題，給學(xué)生帶來(lái)一些不必要的干擾。如果我們能使這些繁復(fù)問題單純化，可以大大降低學(xué)生的理解難度，更有利于對(duì)本質(zhì)的把握。如：甲乙丙三人進(jìn)行100米的跑步比賽，當(dāng)甲到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，乙離終點(diǎn)還有20米，而丙離終點(diǎn)25米。當(dāng)乙到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，丙離終點(diǎn)還有多少米？通過讀題我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，實(shí)際上這道題和甲并沒有關(guān)系，所以我們完全可以把題目簡(jiǎn)化為：乙丙二人進(jìn)行100米的跑步比賽，當(dāng)乙離終點(diǎn)還有20米時(shí)，丙離終點(diǎn)25米，當(dāng)乙到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，丙離終點(diǎn)還有多少米？我們還可以把這道題進(jìn)一步簡(jiǎn)化：乙跑80米，丙跑了75米，乙跑100米，丙跑了幾米？解答：75×（100÷80）=93.75（米）。原問題答案為：100-93.75=6.25（米）。
　　三、錯(cuò)綜問題明朗化
　　例：小軍家距外婆家1200米，一天他帶一條狗，從家去外婆家，舅舅同時(shí)出來(lái)迎接小軍。出發(fā)后狗就向外婆家跑，遇到舅舅后又立即返回，回來(lái)遇到小軍時(shí)，它又跑向舅舅，狗就這樣來(lái)回不停地跑。已知小軍每分鐘走50米，舅舅每分鐘走70米，狗每分鐘跑200米，問當(dāng)小軍和舅舅相遇時(shí)狗共跑了多少米路？初讀這道題，很多人都會(huì)去嘗試著思考狗跑的路線，發(fā)現(xiàn)狗每次的來(lái)回就像一根彈簧一樣，一環(huán)更比一環(huán)短。顯然，這種思維方式會(huì)將我們帶入一個(gè)死胡同，因?yàn)楣访總€(gè)來(lái)回的時(shí)間與路程錯(cuò)綜復(fù)雜，我們根本就無(wú)法理清。這時(shí)，我們?nèi)绻麚Q個(gè)角度思考，即狗如何奔跑，向哪個(gè)方向跑其實(shí)與問題并無(wú)多大關(guān)系，我們應(yīng)該注意到的是狗一直在奔跑且速度不變，求狗跑的路程實(shí)際上只要知道狗所奔跑的時(shí)間就可以了，顯然這個(gè)時(shí)間就是小軍與舅舅的相遇時(shí)間。這樣一來(lái)，這個(gè)看似錯(cuò)綜復(fù)雜的問題即刻就變得明朗化了。解答：1200÷（50+70）=10（分），200×10=2000（米）。
　　四、糾結(jié)問題簡(jiǎn)約化
　　一些問題看上去挺讓人糾結(jié)的，學(xué)生感覺到很難把握。在教學(xué)中，如果我們讓這樣一些糾結(jié)的問題簡(jiǎn)約化，學(xué)生把握起來(lái)會(huì)變得十分容易。如：甲乙合做一項(xiàng)工程，8天可以完成。而如果先由甲單獨(dú)做4天，再由乙接著單獨(dú)完成，還需要10天。如果自始至終都由甲來(lái)做，需要多少天？初讀題目，會(huì)讓人感覺很糾結(jié)，但實(shí)際上我們只要換一種敘述方式，這道題就會(huì)顯得簡(jiǎn)約：甲乙合做一項(xiàng)工程，8天可以完成。而如果甲乙合做4天后，再由乙接著獨(dú)做，還需要6天才能完成任務(wù)。如果自始至終都由甲來(lái)做，需要多少天？解答：（1-4/8）÷6=1/12，1÷（1/8-1/12）=24（天）。
　　五、未知條件已知化
　　一些數(shù)學(xué)問題，題中給出的條件十分有限，對(duì)于一些相關(guān)數(shù)據(jù)，題中均未加以說明，給學(xué)生解題帶來(lái)了巨大困難。其實(shí)，這時(shí)我們可以思考，對(duì)于與此題相關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)，為什么不加以說明？怎么可以不加以說明呢？這就表明，這一類數(shù)據(jù)，對(duì)于解答該題不造成任何影響。換言之，這一類數(shù)據(jù)任意假設(shè)，都不會(huì)影響到此題的解答。如六年級(jí)學(xué)習(xí)的“工程問題”，題中均未出現(xiàn)工作總量，而我們?cè)诮獯饡r(shí)總是將它看作單位“1”。又如：小明爬一座山，上山時(shí)的速度是4千米/時(shí)，下山時(shí)速度是6千米/時(shí)，他上山、下山的平均速度是多少？這是一道學(xué)生十分容易出錯(cuò)的題目，當(dāng)然錯(cuò)誤原因與學(xué)生沒有真正理解平均數(shù)的含義有極大關(guān)系。但是，不排除許多學(xué)生是因?yàn)椴恢肋@座山的高度而感到困難的。顯然，這道題與山的高度并沒有關(guān)系，因此，我們完全可以將此題更改為：小明爬一座1.2千米高山，上山時(shí)速度是4千米/時(shí)，下山時(shí)的速度是6千米/時(shí)，他上山、下山的平均速度是多少？解答：1.2×2÷(1.2÷4+1.2÷6)=4.8(千米/時(shí))。
　　我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說：善于“退”，足夠地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅!將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化也正是另一種形式的知難而“退”。我們更有理由相信，學(xué)會(huì)復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，學(xué)生將終身受用，因?yàn)樗彩俏覀兘鉀Q許多人生問題的一個(gè)有效法則。
　　（責(zé)編　周侯