一種最簡單“(2n-1)階幻方”(ηεZ )的填數方法

　　筆者一直從事小學數學算術基礎理論、小學數學教材教法以及小學數學活動課的教學和研究工作，經常深入到小學聽課或帶學生到小學開展實習指導工作。我們在小學數學教材上或寒暑假作業經常看到最簡單的幻方問題，有許多教師和學生也在研究關于幻方的填數問題，但是他們都感到無從下手或者傷透腦筋。
　　如，由1、2、3、4、5、6、7、8、9 九個數組成的一個三行三列的三階幻方（如下圖所示），使其對角線、橫行、縱向的三個數的和都為15，稱這是最簡單的三階幻方，其幻和為15。
　　
　　當然，這種簡單的三階幻方，只要我們想辦法、動腦筋，還是比較容易得到結果的。如下：
　　
　　上面是最簡單的幻方，也叫三階幻方。南宋數學家楊輝概括其構造方法為“九子斜排，上下對易，左右相更，四維突出”，得到了比較簡單的三階幻方的填數方法。我們在其他書上也看到有多種填數的方法，如對稱交換法、田格圖陣法、推理法、列方程組解法、電腦程序法等等。但是，我在教學實踐活動中，經過大量的探索研究發現，這些方法不是最簡單的（2n-1）階幻方（n?著Z）的填數方法，有一種最簡單的直截了當的填數方法。這種方法就像我們在做小學數學的加法和減法時，必須用加法和減法法則一樣那么簡單，加法法則是“數位對齊、從個位加起，滿十進一”；減法法則是“數位對齊、從個位減起，退一當十”。其實，按照數學理論講，加法和減法都不是這樣做，只是大家為了簡單方便，才采用這樣的法則。
　　根據這一理念，我通過反復實踐，終于得出了一種很簡單的（2n-1）階幻方（n?著Z） 的填數方法，那就是一個法則。如下，最小數居上行正中央，依次斜填往上走；走出上框直下填；走出右框直左填；遇見有數緊下填；挨著順序填下去；填到最后一個便完成；不用思考與計算；橫行，縱行，對角線上數的和絕對是一樣；要想知道幻和是多少，最好用電子表格按“求和鍵”便知道，（2n-1）階幻方一氣呵成便填好。
　　具體操作如下：
　　一、如果是連續排列的 （2n-1）2（n?著Z） 個數，直接按照以上法則進行填數
　　例1：將10～18這9個數填在三階幻方中，使得對角線 、橫行、 縱向的三個數的和都一樣，其幻和是多少？
　　按照以上法則直接填數得：
　　
　　
　　 上面是三階幻方填數走向圖，其他階幻方走向圖與其一樣。
　　
　　它們的和是42。
　　例2：將-10～14這25個數填在五階幻方中，使得對角線 、橫行、 縱向的五個數的和都一樣，其幻和是多少？
　　按照以上法則直接填數得：
　　
　　它們的和是10。
　　二、如果不是全部連續排列的（2n-1）2（n?著Z） 個數，但是先有（2n-1）個數是連續排列，中間相距k（2n-1）個數［（k?著Z），也即是（2n-1）個的k倍數這個條件，否則就不滿足幻和全一樣］，又有（2n-1）個數連續出現，這樣重復相距和出現，直到有（2n-1）2（n?著Z）個數為止，也按照以上法則直接進行填數
　　例3：將9ca1036c4edcbadb3ca96ac34d791a5f3479d464dd66f553b9847ba25efbe8fc0～6、15～21、29～35、43～49、57～63、71～77、85～91這49個數填在七階幻方中，使得對角線 、橫行、 縱向的七個數的和都一樣。它們的幻和是多少？（七階幻方，中間必須是相距七的倍數，否則就無法滿足幻和一樣，其他（2n-1）（n?著Z）階幻方也同樣與階數的倍數相距出現）
　　按照以上法則直接填數得：
　　
　　它們的幻和是321。
　　例4：將-9～-7、0～2、9～11這9個數填在三階幻方中，使得對角線、橫行、 縱向的三個數的和都一樣。它們的幻和是多少？
　　按照以上法則直接填數得：
　　
　　它們的和是3。
　　三、有些題目出現的數表面上看排列非常凌亂，沒有規律，也無從下手，但是只要我們作適當調整，重新以從小到大排列，這樣，要么全部是連續排列的（2n-1）2（n?著Z）個數；要么是相距排列的（2n-1）2（n?著Z）個數，因此也按照以上法則直接進行填數，否則就無法解決了
　　例5：將-1、11、33、-45、-23、13、35、-43、-21、-9、-49、-27、-5、17、39、-25、-3、19、31、-47、37、-41、-29、-7、15這25個數填在五階幻方中，使得對角線 、橫行、 縱向的5個數的和都一樣。它們的幻和是多少？
　　解：從題中表面上看，要解決這個問題非常難。其實，對于這類問題，只要我們按照從小到大的順序重新排列一下，就得到-49、-47、-45、-43、-41、-29、-27、-25、-23、-21、-9、-7、-5、-3、-1、11、13、15、17、19、31、33、35、37、39這樣的25個數。這樣的25個數是5個數一組，中間相距一個數，組與組之間又相距10個數。這樣排列后，我們還是按照以上法則就可以直接進行填數了。
　　
　　它們的幻和是-25。
　　注：如果我們按照從小到大重新排列后，還是得不到一定的排列規律，這類問題我們就無法解決了。大家不妨試一試，請賜教！
　　（責編 藍 天）