解答“陰影面積問題”的數學思想、策略與方法

　　“陰影面積問題”是中小學數學教學中的一類非常重要的問題，具體的解答方法很多，有關文章歸納總結了近二十種方法，但如何讓學生掌握這些讓人“眼花繚亂”的方法呢？這些方法中有沒有一定的規律，能否按照一定的標準對它們進行分門別類地劃分呢？我們在對這些方法分析的基礎上，概括為二種思想、三種策略、四種方法及若干技巧，學生只要掌握了這些基本的思想、策略、方法，就可以在解決具體問題時靈活地選擇、組合和運用。
　　一、解答“陰影面積問題”的兩種基本思想
　　數學思想是對數學知識的本質認識，是對數學規律的理性認識，是從某些具體的數學內容和對數學的認識過程中提煉上升的數學觀點，是建立數學和用數學解決問題的指導思想。解答“陰影面積問題”首先要運用化歸與轉化的數學思想對問題進行整體分析。
　　1.化歸思想
　　數學問題的形式千變萬化，結構錯綜復雜。因此我們在解決數學問題時，思考的著重點是把待解決的陌生問題轉化、歸結為比較熟悉的問題，將較難的問題轉化、歸結為較容易的問題，將較繁瑣的問題轉化、歸結為較簡單的問題。這樣我們就可以用已有的知識經驗和熟悉的方法來解決問題。這種解決問題的基本思想方法就是化歸思想。
　　為此，在解答“陰影面積問題”時，教師應讓學生樹立兩種意識：（1）模型意識。解答“陰影面積問題”時，要對問題進行模型分析，從中概括出問題的基本模型及該模型的最優級解法，作為以后解決此類問題時的化歸目標。（2）化歸意識。遇到任何求解“陰影面積問題”時，首先不是考慮如何解決它，而是考慮它與自己掌握的哪種模型類似，能否化歸為已經掌握的問題模型。
　　一旦學生掌握了化歸思想，形成了以上兩種意識，那么就會產生兩種學習效果：（1）逐步提高解答復雜“陰影面積問題”的能力。復雜問題本質上都是簡單問題的復合或組合。如果學生掌握的問題模型隨著學習的深入逐漸增多，那么學生就容易將復雜問題分解為簡單問題，從而順利地解決復雜問題。（2）逐步提高解決問題的質量和速度。一方面，學生對基本問題模型的應用越來越靈活、熟練，方法選擇越來越優化，可以很好地提高問題解決的質量和速度；另一方面，學生的主要精力放在將復雜問題分解為簡單問題方面，而不是從問題的條件和結構重新進行思考，因此可以節約大量的思考時間，也更容易選擇復雜問題的最優化解法，從而提高解題的質量和速度。
　　2.轉化思想
　　在解決數學問題的過程中，遇到一些直接求解比較困難的問題時，往往需要對問題進行觀察、分析、類比、聯想，對問題的條件或結構進行變形，把問題轉化為某個較熟悉的問題，達到解決原問題的目的。這一思想方法稱為轉化思想。轉化思想是解決問題的根本思想，解題過程實際上就是一步一步轉化的過程。
　　在求陰影部分面積的題目中，有的可以直接求解，但更多的是無法直接求解的，因此應該對問題的條件和結論進行適當的轉化、變形，使其符合基本問題模型的條件和結論，從而可以方便地運用化歸思想，將問題轉化為熟悉的基本問題。
　　總之，化歸思想與轉化思想是解決“陰影面積問題”的兩種基本思想。前者強調解決問題時思維的總的目標、方向，是一種總體思想；后者強調解決問題時思維的過程，強調問題條件、結論的可變性和可行性。例如，求不規則圖形的面積問題時，總體的思想是把它化歸為規則圖形的面積問題。但是如何化歸呢？這就需要根據問題的條件和結論的特征，運用轉化思想將不符合化歸條件的問題轉化為符合化歸條件的問題，從而把不能直接求解的圖形的面積問題轉化為可直接求解的圖形的面積問題。
　　例1.在平行四邊形ABDC中CD=4cm，∠ABD=45°，以AB為直徑的半圓與平行四邊形ABDC交于點A、B、D，D點為弧ADB的中點，求陰影部分（圖1）的面積。
　　分析：陰影包括兩個分離的部分，而且每個部分都無法直接求解，因此我們考慮用化歸思想將所求問題轉化為熟悉問題模型。那么，如何轉化呢？這就需要根據問題的具體特征運用轉化思想，使問題中的已知條件符合熟悉問題的條件。通過做輔助線AD，OD，可以探索出二種轉化策略：（1）利用三角形和扇形的面積計算公式分別計算兩部分陰影的面積；（2）將陰影圖形2沿OD對折，則S陰影=S△ACD。顯然，后一種轉化策略比前一種為優。
　　二、解答“陰影面積問題”的三種基本策略
　　由例1可知，在運用化歸思想和轉化思想過程中，如何尋找和確定轉化策略是解決問題的關鍵。數學策略是指一些數學方法的組合。它不同于具體的數學解題方法，是為了解決數學問題所運用的數學方法的組合，是對解題途徑的概括性認識和總體把握，體現著選擇的機智和組合的藝術，因而是一種低于數學思想，高于具體的數學解題方法的中間概念。沒有策略的解題是盲目、無序的，策略的選擇往往是智慧的體現。在解答“陰影面積問題”中主要有三種策略：分割策略、補整策略、轉換策略。
　　1.分割策略
　　所謂分割策略，又稱“化整為零”，是將一個圖形分割成若干個有邏輯聯系的、較簡單或較熟悉的、能夠應用基本公式進行面積計算的圖形，從而解答陰影圖形的面積的策略。分割策略是解答“陰影面積問題”的最重要的策略。理論上，中小學中的任何圖形都可分割為若干三角形和扇形，因而都是可用公式進行計算的。在實踐中，分割策略一般具有兩種功能：（1）為利用幾何性質和定理進行補整或拼圖創造條件；（2）為圖形之間的轉換創造條件。在具體運用分割策略時，一般按照由外到內、由大到小的次序進行分割，以實現規則圖形的最大化，減小計算量。
　　例2.△ABC為一住宅區的平面示意圖，其周長為800m，計劃把住宅區外5m內（圖2中△ABC與三段圓弧和分別與之相切的三條公切線所圍成的陰影部分）作為綠化帶，求此綠化帶的面積。
　　分析：作為一個整體，陰影圖形（綠化帶）的面積很難直接求出，根據題目中“圓弧”、“相切”等信息，可以運用分割策略，將陰影圖形分割為三個矩形和三個扇形。然后再運用“補整策略”將三個扇形合并為一個圓，將三個矩形合并為以△ABC周長800m為邊，5m為高的矩形。于是，S陰影=S圓+S矩形。
　　2.補整策略
　　所謂補整策略，又稱“化零為整”，是將部分不能直接求解的、但存在某種聯系或關系的圖形組合或拼接成一個規則的、可計算的或熟悉的整體圖形的策略。補整策略一般應用于以下兩種類型的問題：（1）所求陰影圖形是分離的幾個孤立的部分，每部分的面積或者計算比較繁瑣，或者無法計算，或者圖形存在不確定性；（2）所求陰影圖形為不規則圖形，運用分割策略后，所得到的圖形之間具有互補性。在中學數學中，運用補整策略時，主要是觀察各個圖形能否拼組成常見的規則圖形。例如，三角形、平行四邊形、矩形、正方形、扇形、半圓、圓。
　　例3.⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外離，它們的半徑都是1，順次連結五個圓心得到五邊形ABCDE，試求陰影部分（圖3）的面積。
　　分析：陰影圖形是由五個分散的扇形組成，而且每個扇形的圓心角的大小不確定，因而無法直接計算面積。然而，五個圓心角恰恰是五邊形的五個內角。根據這一特征，我們可運用補整策略，將陰影圖形組合成一個半圓和一個整圓（其圓心角之和540°），則S陰影=1.5S圓。
　　3.轉換策略
　　所謂轉換策略是指根據具體需要，運用平移變換、對稱變換、旋轉變換、等面積變換等方法改變圖形的位置和形狀，使其滿足轉化條件或要求的策略。在運用轉換策略解決“陰影面積問題”時，必須注意一個前提條件，即所有的轉換必須不改變圖形的面積大小，而且，轉換策略一般是與補整策略結合使用的。
　　例4.矩形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，過點O的直線EF分別交AD、BC于點E、F，AB=2，AD=3，求陰影部分（圖4）的面積。
　　分析：陰影圖形包括三個分離的三角形，但由于E、F點的位置都不確定，所以不能直接求三角形的面積。此時，我們就要考慮用補整策略。那么，三個三角形之間有什么關系呢？可以發現，矩形ABCD及其中的六個三角形構成以點O為中心的中心對稱圖形，所以可以運用對稱變換，將三個三角形組合為ΔABC，
　　則S陰影=SΔABC=S矩形ABCD
　　總之，在解答陰影面積問題時，應熟練掌握以上三種策略，并根據題目條件和圖形本身的特點進行靈活應用。一般情況下，需要綜合應用以上三種策略。在一些復雜的問題中，還可能需要多次使用一種策略，才能順利地解決問題，對此需要有充分的心理準備。
　　三、解答“陰影面積問題”的四種主要方法
　　數學方法是指從數學角度提出問題、解決問題（包括數學內部問題和實際問題）的過程中所采取的各種方式、手段、途徑中所包含的可操作的規則或模式。人們解決數學問題過程中，歸納、總結出了一些具有一般性的操作規則和程序。當遇到類似的問題時就可以依照這些程序或模式快捷地解決問題。于是，這些可操作的模式或程序就成了解決某類數學問題的數學方法。因此，數學方法具有高度的抽象性、概括性、程序性、可操作性和針對性。在解答“陰影面積問題”過程中，常用的數學方法主要有四種：面積公式法、圖形割補法、尋找規律法、特殊化方法。
　　1.面積公式法
　　大部分簡單的“陰影面積問題”可以應用所掌握的規則圖形的面積計算公式直接計算陰影面積。應用面積公式方法時主要注意以下問題：（1）全面、準確地記憶和掌握規則圖形的面積計算公式；（2）根據已知條件恰當地選擇公式；（3）明確和統一公式中相關變量的單位；（4）進行準確、快速的計算。
　　2.圖形割補法
　　大部分中等難度的“陰影面積問題”可以應用圖形割補法，將圖形轉化為規則圖形的面積問題，再應用面積公式方法。圖形割補法是分割策略和補整策略的具體運用，一般包括“割”和“補”兩個方面。“割”就是把一個復雜圖形的面積分割成若干個簡單圖形；“補”就是將若干個不易求出面積的圖形，拼接為較易計算的規則圖形。
　　例5.正方形ABCD中，AB=2，分別以AB、BC為直徑作半圓，交于點O，求陰影部分（圖5）的面積。
　　分析：陰影圖形是由正方形和半圓相交而成，兩部分陰影面積無法直接求解。根據已知條件中“正方形”和“半圓”的特點，可以發現交點O為正方形的中心，考慮作輔助線AC，BD對圖形進行分割。不難發現，運用旋轉變換可將陰影圖形補為ΔACD，因此，S陰影=SΔACD=2。
　　3.尋找規律法
　　一些圖形的大小、位置或形狀不確定的“陰影面積問題”是解答難度比較大的問題，需要應用幾何性質或定理尋找圖形變化的規律，再想法計算圖形的面積。所謂尋找規律法是指通過觀察、分析已知條件，發現圖形之間的變化規律或數量關系，抓住特征條件，將不確定圖形的面積問題轉化為確定圖形的面積問題的方法。常用的尋找規律的方法有相似法、三角形法、方程法等。
　　例6.如圖6所示，n+1個上底、兩腰、下底分別為1、5、7的等腰梯形依次擺在同一直線上，設四邊形P1M1N1N2的面積為S1，四邊形P2M2N2N3的面積為S2，…，求四邊形PnMnNnNn+1的面積Sn。
　　分析：四邊形PnMnNnNn+1是變化的，無法直接求解。為此，觀察圖6（1）中？荀P1M1N1N2的面積，可以發現陰影部分面積S1=S梯形P1EN1N2—S？茗EP1M。而梯形的面積是已知的，？荀EP1M的底是相同的，因而只需要求出三角形的高。由EP1∥AN2易知？荀AN1M1∽？荀EP1M1，所以？荀EP1M高為梯形高P1F的。由以上分析，可發現一般規律
　　Sn=S—S=16—。
　　4.特殊化方法
　　特殊化方法是指通過選擇特殊的位置或數值來解決選擇題或陰影變化的面積問題的方法。特殊化方法是轉化策略的具體運用，目的是根據面積相等原則將圖形固定在特殊位置或轉換為方便計算的規則圖形。常用的特殊化方法有特殊數值法、特殊位置法（比如中點、三等分點）、極端情形法、極限法等。
　　例7.如圖7所示，AB是⊙O的直徑，C、D是弧AB的三等分點。如果⊙O的半徑為1，P是線段AB上的任意一點，則圖中陰影部分的面積為（ ）：
　　分析：所求陰影面積是不確定的，也不是規則圖形，直接計算比較困難。如果注意到“三等分點”及圓的對稱性，可考慮作輔助線CD，易知CD//AB，所以點P的變化不影響陰影面積的大小。因而運用特殊化方法，將任意點P固定在圓心O上，如圖7（1）所示。
　　則S陰影=S圓=。故選A。
　　四、解答“陰影面積問題”的若干技巧
　　技巧是對基本方法的靈活運用，是針對特殊問題情境下選擇的特殊方法，它給人一種“巧妙”之感，其計算方法之恰當，計算程序之簡潔，計算結果之出人意料，往往令人驚嘆。數學技巧是在數學解題過程中，根據問題的一些特殊性質或條件所選擇的具有發現性質的特殊的方法，它往往不被一般人所發現。在解題過程中，當感覺問題的圖形、條件有某些特殊性時，可考慮超越一般方法，嘗試發現更巧妙的解法，從而達到事半功倍的效果。常用的技巧有等積轉換、圖形拼湊、旋轉變換、對稱變換、平移變換等。如果應用得當，這些圖形變換就會成為技巧，收到意想不到的解題效果。
　　例8.求以，，（a，b均為正數）為三邊長的三角形的面積。
　　分析：這是已知三邊長求三角形面積的傳統“老題”，然而邊長不是數值，而用字母表示的無理式。如果用海倫公式或一般的計算公式直接計算，形式復雜而且麻煩，很容易出錯。如果能夠注意到無理式、與的特殊結構，把它們看作三個直角三角形的斜邊長（圖8），考慮由三個直角三角形斜邊組成的陰影面積。如果能夠綜合運算補整策略和轉換策略，則可將它們組合成如圖8（1）中的形式，再用割補法，就可以求得面積S=4ab—ab—ab—ab。此法根據無理式的特殊結構，為了避免復雜的代數運算，綜合運用基本策略和方法巧妙地將所求三角形置于矩形之中，輕松求得結果，方法之巧妙令人驚嘆。
　　數學思想方法具有層次性，層次越高包含的內涵越豐富，層次越低，可操作性越強?；瘹w、轉化思想是普遍的指導思想；分割、補整、轉化等策略是解決“陰影面積問題”的總的指導原則；面積公式法、圖形割補法、尋找規律法、特殊化方法等是針對不同類型的“陰影面積問題”的具體方法；等積代換、拼湊、旋轉、對稱、平移等則是根據問題具體條件可以靈活選擇的解題策略或技巧。俗話說：“授之以魚，不如授之以漁；授之以漁不如授之以漁場?！蔽覀兘o學生講授解題過程，不如給他們講授解題方法；給學生講解方法不如教他們如何發現解題方法；而要讓學生發現方法，首先要讓學生知道有哪些方法可供選擇，可供發現。因此，在教學中，教師應讓學生對某類問題的解題方法有總體把握，應教會學生如何根據問題靈活地選擇解題方法。只有讓學生養成舉一反三、觸類旁通的思維習慣和方法探究態度，才能使學生在數學思想的指導下，學會觀察、聯想、分析，正確、靈活地運用方法，提高解決復雜問題的能力。
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