蘇科版初中數學求二次函數最值問題商榷

　　二次函數教學是初中數學教學的難點，尤其是近年來以二次函數為背景的實際運用型問題，更是中考的熱點之一，而其中難度較大的，當屬于有“條件約束”下的最值問題。
　　蘇科版九年級（下）教材中6.4《二次函數的應用》中，有兩個利用二次函數求最值的實際運用問題：
　　問題一：某種糧大戶去年種植優質水稻360畝，今年計劃多承租100—150畝稻田，預計原360畝稻田今年每畝可收益440元，新增稻田x畝，今年每畝的收益為（440—2x）元。試問：該種糧大戶今年要承租多少畝稻田，才能使總收益最大？最大收益是多少？
　　書本解答（分析過程略去）：
　　因為y=—2（x2—220x）+158400
　　=—2（x2—220x+1102—1102）+158400
　　=—2（x—110）2+182600
　　所以，當x=110時，y有最大值182600。
　　該種糧大戶要多種110畝水稻，才能使今年的總收益最大，最大收益為182600元。
　　該問題的解答，沒有考慮自變量取值范圍對最值的影響，故應先判斷函數最值是否出現在自變量范圍內，原解答過程在配方后應加上：
　　因為x=110在自變量取值范圍100≤x≤150內，所以當x=110時，y有最大值182600。
　　問題二：室內通風和采光主要取決于門窗的個數和每個門窗的透光面積，如果計劃用一段長12m的鋁合金型材，制作一個上半部是半圓，下半部是矩形的窗框，那么當矩形的長、寬分別為多少時，才能使該窗戶的透光面積最大（精確到0.1m且不計鋁合金型材的寬度）？
　　書本解答：設矩形窗框的寬度為2xm，則半圓形窗框的半徑為xm，半圓周長為πxm，矩形窗框的高為（12—2×2x—πx）m即（6—2x—πx）m。
　　設窗戶的透光面積為Sm2，則
　　S=πx2+2x（6—2x—πx）=—（π+4）x2+12x
　　當x=—=≈1.1時，S的值最大，即當矩形窗框寬約為2.2m、高約為2.1m時，該窗戶的透光面積最大。
　　同樣，該題的解法中也忽視了自變量的取值范圍，不過此問題中自變量的取值范圍沒有直接給出，需要我們根據題目實際意義求得，即：
　　4x+πx<12，解得x<≈1.68，所以自變量x的取值范圍為0　　故該題在配方后仍要加上自變量的取值范圍，判斷x的取值在自變量的取值范圍內，然后才能判斷當x≈1.1時，S取得最大值。
　　實際問題中求二次函數的最值，屬于有“條件約束”最值問題，此類問題對于學生來說有一定的思維難度。蘇科版教材在介紹二次函數最值求法時，并沒有涉及到該類問題，所以，當涉及到在實際問題中求二次函數的最值問題時，教材采取了回避求函數自變量取值范圍的做法，默認了實際問題中自變量的取值都在其取值范圍內。
　　從數學嚴謹性的角度，筆者提出商榷意見，是否可在前面學習求二次函數最值的基礎上，滲透有“條件約束”最值問題的基本求法，或結合函數圖像滲透有“條件約束”的二次函數圖像畫法，那么學生在接觸到實際問題時，不會因為思維跳躍過大而難以理解，這樣也可以讓學生從根本上理解二次函數，大大提升他們對函數整體性和連貫性的認識。
　　（責任編輯 楊