求數(shù)列極限的技巧與方法

一、引言

數(shù)列極限是數(shù)學(xué)這門學(xué)科的重要內(nèi)容之一。對(duì)于一些復(fù)雜極限，直接按照極限的定義來求就顯得很困難，不僅計(jì)算量大，而且不一定就能求出結(jié)果。因此，為了解決求極限的問題，我們?cè)谘芯勘容^復(fù)雜的數(shù)列極限問題時(shí)，通常先考查該數(shù)列極限的存在性問題;如果有極限，我們?cè)倏紤]如何計(jì)算此極限(也就是極限值的計(jì)算問題)。這就是極限理論的兩個(gè)基本問題。求數(shù)列極限的方法多種多樣，比如:化簡(jiǎn)通項(xiàng)求極限、單調(diào)有界原理求極限等。現(xiàn)在我通過一些具體的例子，和大家一起探討求數(shù)列極限的常用技巧與方法。

二、求數(shù)列極限的常用技巧與方法

1. 化簡(jiǎn)通項(xiàng)求極限

在求一些比較復(fù)雜的數(shù)列極限，特別是處理通項(xiàng)為n項(xiàng)和式的一類很特殊的極限時(shí)，經(jīng)常先對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)時(shí)往往利用鏈鎖消去法。其工作原理如下:

若an=∞，an≠0，則(-)=(-)+(-)+…+（-）=-。因此（-）=（-）=。

應(yīng)用時(shí)往往需要把通項(xiàng)xk中的xk裂項(xiàng)為xk=-），具體實(shí)施可用待定系數(shù)法。

例1： 求極限。

解: (-1)k+1=(-1)k+1(+)=-[-]，(-1)k+1=-(-=-(-1-→1(n→∞)，所以=1。

2. 利用級(jí)數(shù)求n項(xiàng)和式的極限

通項(xiàng)為和式的數(shù)列極限，可以化為積分或級(jí)數(shù)求和問題，當(dāng)然也是計(jì)算這類數(shù)列極限的一個(gè)重要方法。

設(shè)xn=ak，若級(jí)數(shù)ak收斂，則{xn}收斂且xn=ak。

由此，我們常可求數(shù)列級(jí)數(shù)ak的和，從而求得xn。

例2：求極限。

解: 考慮數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，現(xiàn)求其和，為此考慮冪級(jí)數(shù)。

該冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇-1，1]。設(shè)和函數(shù)為S(x)，則在(-1，1)內(nèi)s''''(x)==(-x2)n=-。

s(x)=s''''(t)dt=-dt=arctgx-x，

所以 ==s(1)=arctg1-1=-1。

3. 利用單調(diào)有界原理求數(shù)列的極限

利用單調(diào)有界原理，解決了一些特殊數(shù)列的極限問題，在用單調(diào)有界原理證明數(shù)列極限的存在問題時(shí)，首先根據(jù)給出數(shù)列的通項(xiàng)公式，列舉該數(shù)列的前幾項(xiàng)，然后根據(jù)觀察，初步判斷已給數(shù)列的單調(diào)性和有界性。最后采用數(shù)學(xué)歸納法來驗(yàn)證觀察所得出的結(jié)論，看看是否可以采用單調(diào)有界原理來證明此數(shù)列的存在問題。

計(jì)算極限除了上面講的方法還有很多，比如討論如何應(yīng)用我們學(xué)過的冪級(jí)數(shù)、定積分、O-Stolz公式、泰勒展式、微分中值定理等方法計(jì)算數(shù)列極限。主要是我們?nèi)绾瓮ㄟ^實(shí)例來闡述求數(shù)列極限中體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)邏輯思維方法，如利用簡(jiǎn)單的初等函數(shù)（特別是高中數(shù)學(xué)中的基本初等函數(shù)）的麥克勞林展開式，往往能求得一些特殊形式的數(shù)列極限。還比如我們可以利用級(jí)數(shù)收斂性判定極限存在性，知道由于級(jí)數(shù)與數(shù)列可以有的時(shí)候相互轉(zhuǎn)化，因此使得級(jí)數(shù)與數(shù)列的性質(zhì)有了必然的聯(lián)系。這樣，數(shù)列極限的存在性及數(shù)列極限的求解，就可以可轉(zhuǎn)化為研究級(jí)數(shù)收斂性問題，我們利用O-Stolz公式計(jì)算數(shù)列極限、應(yīng)用泰勒公式求數(shù)列極限，就可以減少做題的過程，使這個(gè)問題更容易地解決。不過總的來說，像有的方法僅限于求兩個(gè)無窮小量的乘積或除的極限，而對(duì)兩個(gè)無窮小數(shù)列非乘且非除的極限，以上方法不能直接去做，因此用Taylor公式代換是解決這類數(shù)列極限問題的一種很好的方法。還有利用微分中值定理求極限，利用數(shù)列函數(shù)的增減性求數(shù)列函數(shù)的最大值和最小值，還有數(shù)列函數(shù)的圖像等方面都被廣泛應(yīng)用。其實(shí)數(shù)列它是一種特殊的函數(shù)，是一種定義域?yàn)檎麛?shù)集的特殊的函數(shù)，因此它也像一般函數(shù)一樣具有單調(diào)性。

數(shù)列單調(diào)性也是它的重要性質(zhì)，數(shù)列的單調(diào)性應(yīng)用非常廣泛。求解數(shù)列極限的方法還有很多，比如把通項(xiàng)an=f(n)拓展為[1，∞)上的函數(shù)f(x)，然后應(yīng)用洛必達(dá)法則，或利用結(jié)果 =a?圯=a(其中an>0)以及均值定理等都可以求出極限。還有在高中階段求數(shù)列的極限的時(shí)候，可以將比較復(fù)雜數(shù)列極限的問題，通過變形或化簡(jiǎn)。比如用分組求和法、錯(cuò)位求和法求極限，分母有理化、還有分母分子同時(shí)都除以n的最高次冪的方法將它化簡(jiǎn)。這樣我們可以將它轉(zhuǎn)化成為簡(jiǎn)單基本數(shù)列極限的問題，就可以求出所要得到的極限。但是我們解決數(shù)列的極限問題時(shí)應(yīng)該靈活運(yùn)用我們所學(xué)的數(shù)列極限的有關(guān)方法與技巧，注意要認(rèn)真思考，多聯(lián)想所學(xué)的知識(shí)，要學(xué)會(huì)學(xué)以致用。函數(shù)極限只是把數(shù)列極限進(jìn)一步深度話。但是函數(shù)極限與數(shù)列極限有類似的四則運(yùn)算的法則，求函數(shù)極限的基本思想也是運(yùn)用求數(shù)列的各種方法技巧的互相轉(zhuǎn)化問題，尤其在實(shí)施轉(zhuǎn)化時(shí)，可注意方法與技巧的轉(zhuǎn)化，就可以仿照求數(shù)列極限的一些方法與技能。

數(shù)列極限在高中數(shù)學(xué)中起著銜接作用，極限的概念和運(yùn)算法則是學(xué)微積分最重要的基礎(chǔ)，也是學(xué)好導(dǎo)數(shù)和微分的基礎(chǔ)。所以，歷年來數(shù)列極限一直是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，其題型多與分類討論的思想相結(jié)合，或者通過求某數(shù)列的前n項(xiàng)和或積再求極限。數(shù)列極限在數(shù)學(xué)這門學(xué)科中有著非常重要的作用，我們一定要掌握求數(shù)列極限的方法與技巧。

（通渭縣常河職中）