從一道習題談發散思維能力的培養

著名數學家波利亞指出：“掌握數學就是善于解題。”高考數學命題的指導思想是“在考查基礎知識的同時，注重考查能力”，其本質是考查學生的思想能力。因此，在數學教學中，教師應適時地引導學生從不同的角度、利用不同的方法、思想方式去觀察、聯想、分析，根據問題的特定條件探索出一系列的解題思路，有意識地進行一題多解的訓練，激發學生學習的強烈欲望，不斷優化學生的思想品質，發展學生的創新思維能力，培養學生的發散思維能力。這對學生今后的數學學習和數學知識的應用將產生深遠的影響。

《普通高中課程標準實驗教科書》數學必修4第138頁有這樣一道題：

觀察以下各等式：

sin2300+cos2600+sin300cos600= ①

sin2200+cos2500+sin200cos500= ②

sin2150+cos2450+sin150cos450= ③

分析上述各式的共同點，寫出能反映一般規律的等式，并對等式的正確性作出證明。

教師在引導學生尋找規律之前，需對以上三式的正確性加以解釋，借此可以引導學生從不同的方法、角度進行思考論證。

對于①和③，學生可以將sin300=cos600=，sin150=，cos450=代入進行驗證，對于②，大部分學生可能不知該如何證明，需要在教師的幫助下來完成。此時，教師可以有意識地引導學生，從不同的角度、運用不同的方法進行一題多解的訓練，誘發學生發散思維，以達到培養發散思維能力的目的。

〖分析一〗在進行三角恒等變形時，一般原則是“遇平方降冪，遇積化和（差），遇和（差）化積”。在教師的引導下，不僅教會了學生一種解題思路和方法，同時也激活了學生的思維，培養了學生的思維能力。

解：原式=（1-cos400）+（1+cos1000）+（sin700-sin300）

=1+（cos1000-cos400）+sin700-

=-sin700sin300+sin700

=。

〖分析二〗在三角變形中，教師要特別注意引導學生挖掘角之間的關系，注意到500=200+300，而300的正、余弦是我們所熟知的。這樣，問題便可迎刃而解，學生的思維再次被點燃，思維能力得到了提升。

解：原式=sin2200+cos2（200+300）+sin200cos（200+300）

=sin2200+cos（200+300）［cos（200+300）+sin200］

=sin2200+（cos200-sin200）（cos200+sin200）

=（sin2200+cos2200）

=。

評析：在此解法的基礎上，教師可啟迪學生嘗試將200變為500-300，不僅活躍了學生思維，提高了學生的思維能力，而且使問題順利獲解。

〖分析三〗學生的信息通過遷移便會產生靈感，而遷移的主要手段是聯想與類比。因此，教師要不失時機地啟發學生思維，引導學生聯想，教會學生遷移。通過教師的引導，學生的聯想，聯想到“sin2α+cos2α=1，cos2α-sin2α=cos2α”，就會有如下巧妙的解法。

解：設a=sin2200+cos2500+sin200cos500，b=cos2200+sin2500

+cos200sin500，則a+b=2+sin700，a-b=cos1000-cos400-sin300=

-sin700-，∴2a=2-=，即a=。

〖分析四〗在解決三角問題時，教師要注意引導學生對題設條件給出的數量關系進行觀察、分析。恰當地構想，構造出與題目有關的圖形、方程或對偶式等，可使學生把原有知識和方法迅速遷移，靈活變通，進而使學生的思維從求異、發散向創新推進，對學生發散思維能力的形成產生促進作用。

解：原式 =sin2200+sin2400-2sin200sin400cos1200。

∵200+400+1200=1800，∴可構造一個三角形使其三內角分別為200、400、1200，其外接圓直徑為1，并設這三個角的對邊分別為a、b、c，則由正、余弦定理得a2+b2-2abcos1200=c2，即sin2200+

sin2400-2sin200sin400cos1200=sin21200

∴sin2200+cos2500+sin200cos500=

〖分析五〗變通，是發散思維的顯著標志。教師要嘗試引導學生對問題進行組合、分解，誘導學生離開原有思維軌道，從多方面思考問題，進行思維變通。教師幫助學生接通與已有知識和解題經驗的聯系，使學生作出轉換、假設、化歸、逆反等變通，不僅使學生的思維能力得到訓練，而且產生了解決問題的奇妙設想。

解：設sin200=a+b，cos500=a-b， 則a=（sin200+sin400）=cos100，b=（sin200-sin400）=-sin100，

∴原式=（a+b）2+（a-b）2+（a+b）（a-b）

=3a2+b2=3（cos100）2+（-sin100）2

=（cos2100+sin2100）

=。

評析：完成此解法之后，教師可向學生提問，如果設sin200=a-b，cos400=a+b，問題能否解決？以此為契機，學生的潛能被挖掘，思維被激活，能力被提升。

一般規律的等式：sin2α+cos2（300+α）+sinαcos（300+α）= ④

通過以上講解，學生對④式的證明可以說游刃有余，同時激發了學生的創新意識，發展了學生的創造性思維，培養了學生的發散思維能力。

當然，發散思維能力的培養絕非教師一味講解，學生機械接收，而是重在教師的引導，給學生思維空間，啟發學生思考，充分挖掘學生潛能，讓學生自己探知、類比。倘若教師能經常引導學生進行一題多解的訓練，從不同的角度、層次，順勢開發，逆向深入，采用探索、轉化和變換、遷移和聯想、組合和分解等方法，定能開啟學生心扉，激發學生潛能，活躍學生思維，培養出更多的發散型思維人才。

（拉薩市第二高級中學）