遞推數列的通項公式的求法

歷年全國高考數學試卷中，都會有不少數列問題，可見，數列問題是高考的熱點題型，而遞推數列則又是數列的重要組成部分。因此，對這類問題我們有必要進行總結、探究。以下是遞推數列的幾種變換或方法。

一、形如an+1-an=f(n) 方法：累加法

例1：在數列｛an｝中， a1=，an+1=an+，求an 。

解：由已知得， an+1-an==(-) ，

令n=1，2，3，…，代入后（n-1）個等式， 累加，即

(a2-a1)+(a3-a2)+…(an-an-1)=［（1-）+（-）+…+(-)］。

∴ an-a1=（1-）， ∴ an=1-=。

練習：已知數列an滿足a1=3， an+1= an+n，求 an 。

解：由已知得， an-an-1=n-1，an-1-an-2=n-2，……a2-a1=1，累加得

an-a1=(n-1)+(n-2)+……2+1， ∴ an=n2-n+3。

二、形如=f(n) 方法：累積法

例2：在數列｛an｝中，a1=2，an+1=an，求通項公式an 。

解：∵a1=2，an+1=an ，

∴=，=，…=。

以上（n-1）個等式左右兩邊分別相乘得=n，即an=2n且n=1時，a1=2也適合上式。

∴an=2n 。

練習：a1=1， sn=，求通項公式an 。

解：由sn= ①

得2sn=(n+1)an(n≥1)，∴2Sn-1=nan-1 ②

①-②得2an=(n+1)an-nan-1 即=(n≥2) 。

累積法得an=n(n∈N) 。

三、形如an=pan-1+f(n) 方法：構造新數列

例3：已知在數列｛an｝中，a1=，an+1=an+()n+1， 求an 。

解：原式可化為2n+1an+1=(2nan)+1，令bn=2nan ，

則bn+1=bn+1，于是可得bn+1-bn=(bn-bn-1)。

∴bn=3-2()n。∴ an=3()n-2()n。

練習： a1=2，an+1=，求通項公式an 。

解：由an+1= 得an+1an+an+1?2n+1=2n+1an?圳-=，

累加法得an= 。

四、形如an+2=pan+1+qan 方法：特征根法

例4：在數列｛an｝中，a1=1，a2=2，an+2=an+1+an，求an。

分析：構造方程x2=x+，x1=1，x2=-。

解：∵ an+2-an+1=an+1+an- an+1=-(an+1-an)，

∴ an+1-an的公比為-，首項為a2-a1=1的等比數列，

∴ an+1-an=（-）n-1。再用累加法得an-a1=（-）0 +（-）1+…（-）n-2 =，

∴ an=1+1-(-)n-1。

練習：已知數列｛an｝ 滿足an+2=7an+1-12an，a1=1，a2=2，求an （答案an=2?3n-1-4n-1 ）。

分析：構造方程x2=7x-12，∴ x1=3，x2=4。

解：∵an+2-3an+1=4(an+1-3an)，∴數列｛an+1-3an｝ 是以4為公比的等比數列。

∴an+1-3an=-4n-1 ，同理可得an+1-4an=(-2)?3n-1，

由兩式得an=2?3n-1-4n-1 。

五、形如：a1=a，an+1= （其中p，q，r，h 均為常數） 方法：特征根法

例5：在數列｛an｝中， a1=3，an+1=求an 。

分析：構造方程x=，x1=-2，x2=1。

解：∵ ==- ，

∴數列是以=為首項， -5為公比的等比數列。

∴ =（-5）n-1，化簡得an=。

練習：在數列an 中， a1=4，an+1=，求an。

分析：構造方程x=，則 x1=-2，x2=1。

解：∵===，

∴=2()n-1 ，∴an= 。

數列的通項公式的求法類型較多，歷年高考中，凡考查內容涉及遞推關系求通項公式的都相對較難。因此，復習此內容時，應相應放慢速度，并要配以適當的練習，從而讓學生很好地把握。

（沁陽市第一中學）