由一類高數題引發的教學思考

摘 要：通過對一類高數題的解題辨析，闡述在我們的高數教學過程中應重視數學思想、方法和解題的教學，從而增加學生的學習興趣，提高學生的解題能力。

關鍵詞：數學問題；數學定義；數學思想；解題教學

數學作為一門學科，其各種理論都是數學問題解決的結果。在數學的組成部分里，既包含了概念、理論和方法，同時也包含了問題和解。解題是數學的中心，對學習數學的學生來說，數學問題在他們面前顯示出自身的價值，學生不僅通過解題掌握和鞏固雙基，而且由于數學解題重在解題的整個思考過程，所以解題能培養和發展學生的數學理解能力、運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力及探索能力。正是基于數學解題在學習過程中的重要地位和作用，重視解題的教學尤為重要。

高等數學中經常遇到用定義解決問題的一類數學題，而實際情況往往是由于我們的學生忽略了一些定理、法則的運用條件，很難將解題方法與定義聯系起來，從而導致一些解題的錯誤。筆者在多年的教學實踐中，通過一些數學題求解的辨析，發現學生學習中存在的不足，從而有針對性地加強數學思想、方法和解題的教學，以達到增強學生的學習興趣，提高學生解決問題能力的目的。

例如：設f(x)=(x-a)（x）， （x）在x=a處連續，求f′(a)。

錯解：∵ f′(x)=（x）+(x-a)′（x）， ∴f′(a)=（a）。

錯誤原因探究：

1. 學生對函數的求導四則運算法則成立的條件不清楚

導數的四則運算法則：

設函數u(x) 與v(x)在點x處可導，則函數u±v，uv，(v≠0)在點x處也可導，并且有

（1） (u±v)''''=u''''±v''''，

（2）(uv)''''=u''''v+uv'''' ，

（3）()''''=(v≠0)。

上述解題過程，學生就忽略了函數u(x) 與v(x)與 在點 x處均可導的條件。

2. 學生忽略了函數可導與連續的關系

我們知道，函數y=f(x) 在點x處可導，則必有函數y=f(x) 在點x處連續；但反過來，函數y=f(x) 在點x處連續，而函數y=f(x) 在點x處不一定可導。本題中，已知 （x）在x=a處連續，但 （x）在x=a處不一定可導。因而就不能運用導數的四則運算法則求導，否則必將導致錯誤。

正確的解法是：

用導數的定義求解如下：

x：a~a+Δx，Δy=f(a+Δx) -f(a)

∵ ===(a+Δx)

因為，(x) 在x=a處連續，所以，(a+Δx)=(a)。

∴f''''(a)=（a）

又如，下面兩道題目與上題屬于同一類型問題。

（1）設f(x)=g(x)sina(x-x0)(a≥0)，其中g(x)在x0處連續，證明：f(x)在x0處的可導。

（2） f(x)=(x2012-1)g(x)，其中g(x)在x=1處連續，且g(1)=1，求f''''(1)。

從此類題目的求解過程中給我們以啟迪，今后，我們在高等數學的課堂教學中，對運算法則、定理、命題的講解，要特別強調法則、定理、命題存在的條件，對定義的形式特點及用定義解題更要加強教學，把它作為一種解題方法要傳授給學生，從而提高學生的解題能力。

（無錫職業技術學院基礎部）