應用勾股定理， 把握數學思想

　　摘 要： 勾股定理在幾何學中具有非常重要的地位，是整個平面幾何的重要基礎，在現實生活中也具有普遍應用性。初中生正處于由具體思維向形式化思維轉變的時期，勾股定理教學也處于學生數學思維轉折階段，因此它是教學中的一個難點。
　　關鍵詞： 勾股定理 初中數學教學 數形結合
　　勾股定理是學生在已經掌握了直角三角形的有關性質的基礎上進行學習的，它是直角三角形中非常重要的性質。它揭示了三角形三條邊之間的數量關系，是解決直角三角形問題的主要根據之一，它在實際生活中用途廣泛。新課改強調培養學生的動手能力和探究能力，通過實際操作與探究活動，使學生獲得較為直觀的印象，從而掌握勾股定理，以利于正確地運用。
　　一、通過引趣設疑，引發學生探究勾股定理
　　在教學中教師可通過導入課外有趣的內容，作為課堂教學的切入點。例如：在地球之外的浩瀚宇宙中，到底有沒有外星人？如果有，我們如何與他們聯系？著名的數學家華羅庚就曾建議，讓宇宙飛船帶著幾個數學圖形飛到宇宙空間，其中一個就是邊長為3∶4∶5的直角三角形，你知道華羅庚為什么會提出這樣的建議？等等。通過一系列的問題，激發學生的興趣，抓住他們的注意力。原來古老的勾股定理，竟然成為了地球與外星人的聯絡密碼。這樣學生就會在感嘆人類古老文明的同時，更加體會到學習勾股定理的重要性。也可以通過一系列生活中隨處可見的直角三角形的實例，引起學生的關注。如給學生講一個故事：相傳在2500年前，數學家畢達格拉斯在他的朋友家做客時，發現朋友家的地面磚能反映直角三角形三邊的某種數量關系。這個小故事讓學生懂得，科學家的偉大發明都是在看似平淡的現象中發現的。數學知識來源于現實生活，只要我們學會觀察與思考，就能激發學生的學習興趣。
　　二、學習勾股定理，體會數形結合的思想
　　新課改強調，數學教學要看學生能否在活動中積極思考與探究，能否探索出解決問題的辦法，能否進行積極的聯想，以及學生能否有條理地表達探究過程與獲得的結論等。也可以鼓勵學生用拼得的正方形來驗證勾股定理，引導學生體會數形結合的思想方法，培養數學應用意識。勾股定理描述的是直角三角形的三邊之間的關系，應用勾股定理的前提是這個三角形必須是直角三角形。要強調通過圖形找出直角三角形三邊之間的關系，要從代數表示聯想到幾何圖形，由幾何圖形聯想到代數表示。勾股定理是人們在實踐中通過圖形的分割，并探討圖形之間面積的關系過程中總結出的規律。教學中要引導并鼓勵學生多動手探索，體驗數學活動充滿著探索與創造。按課本中的方法證明這個定理，例如：用四個全等的直角三角形拼成正方形，大正方形面積可以表示為（a+b）2，四個全等的直角三角形的面積+小正方形的面積=c2+2ab，得出（a+b）2=c2+2ab，化簡可得a2+b2=c2。我們還可以把公式變形為：a2=c2-b2或b2=c2-a2，于是可知在直角三角形中已知兩邊可求出第三邊。
　　三、拓寬學生視野，但弱化對定理的發現
　　對于勾股定理的發現，我們認為應該做弱化處理，沒有必要讓學生在此太花精力引導學生探究怎樣發現勾股定理的。如果處理得不當，很容易導致學生盲目地探究。在實際教學中，教師雖有探究式教學的理念，但在設計上存在著困惑：通過度量直角三角形三條邊的長，計算它們的平方，再歸納出a2+b2=c2，由于得到的數據不總是整數，學生很難猜想出它們的平方關系。所以，教師常常把勾股定理作為一個事實告訴學生。如何處理這一困惑，一條途徑就是教科書直接把勾股定理呈現在學生面前，而更多地把空間留給介紹與勾股定理相關的數學史料上，借此拓寬學生的視野。第二條途徑是參考顧泠沅、王潔等人的結論：運用“腳手架”理論，通過“工作單”進行鋪墊，為學生的學習提供一種教學協助，幫助學生完成在現有能力下對高認知學習任務的難度的跨越。這樣的處理也具有一定的可行性。不過大多數人更傾向于第一條途徑，弱化發現，而強化證明，重視應用，把重點放到定理的證明與應用上，這樣也許對學生的思維更有利。
　　四、注重數形結合，實現教學方式的轉變
　　學了數學卻不會解決實際問題，造成了知識學習和知識應用的脫節，感受不到數學與生活的聯系，這是當前初中數學教學的現狀，教學中到處充斥著過量的、重復的題目訓練。真正的教學應該關注學生學習的過程。首先要關注學生是否積極參加探索勾股定理的活動，關注學生能否在活動中積極思考，能否探索出解決問題的方法，能否進行積極的聯想（數形結合），以及能否有條理地表達活動過程和所獲得的結論等。其次要關注學生學習的知識性及其實際應用。教學主要目的是掌握勾股定理，體會數形結合的思想。現在的情況是學生知道了勾股定理而不知道在實際生活中如何運用勾股定理。因此在學生了解勾股定理以后，不妨出一個類似于《九章算術》中的應用題，例如：在平靜的水面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一陣風吹來，水草被吹到一邊，草尖與水面平齊，已知水草移動的水平距離為6分米，問這里的水深是多少？教學方式的轉變在關注知識形成的同時，更加關注知識的應用，特別是所學知識在生活中的應用，真正起到學為所用的作用。
　　參考文獻：
　　［1］鮑建生.課堂教學視頻案例的研究與制作［M］.上海：上海教育出版，2009.180.
　　［2］［美］邁克爾·塞拉.發現幾何：一種歸納的方法［M］.李翼忠，劉仁蘇，蔡上鶴，等.北京：人民教育出版社，2000：352.
　　［3］朱哲.從趙爽弦圖證明談數學史教學［J］.中學數學月刊，2010，（10