基于觀測器的時滯系統故障診斷及動態故障可診斷性研究

　　摘 要： 針對系統發生執行器故障和/或傳感器故障的情況，作者研究了含有狀態時滯的線性系統的故障診斷方法和故障的可診斷性問題，提出了一種新穎的基于降維觀測器的故障診斷方法，并給出了故障可診斷性的判據。首先通過引入一種特殊的線性變換，將系統轉換成無時滯系統。然后將故障診斷問題轉化為狀態觀測問題，并證明了故障可診斷性的充分條件。最后通過構造一種新的不利用殘差體現故障的故障診斷器，實現了故障的實時診斷。仿真實例驗證了該方法的可行性和有效性。
　　關鍵詞： 時滯系統 故障診斷 狀態觀測器 無時滯變換
　　1.引言
　　在現代實際的工業生產過程中，由于受信息傳輸技術和測量技術的影響，時滯現象普遍存在。時滯通常會導致系統不穩定、性能惡化，甚至可能造成整個系統的癱瘓。因此，對于時滯系統的研究已引起人們的廣泛關注。同時，隨著科學技術的快速發展，工程設備變得越來越復雜，這樣使得故障診斷問題的研究顯得尤為重要。所以，研究時滯系統的故障診斷問題，提高系統的可靠性及穩定性，具有十分重要的理論和現實意義。近些年來，有關時滯系統的故障診斷問題的研究已成為控制領域的研究熱點，并取得了一定的成果［１－８］，但相對于無時滯系統［９－１0］來說還是較少。文獻［3］針對狀態時滯系統，設計了一種故障檢測的未知輸入觀測器，依據Razumikhin定理，給出了該觀測器的存在條件及穩定性和收斂性的證明；文獻［7］針對狀態時滯線性系統提出了一種基于觀測器的故障診斷器以及自修復容錯控制律的設計方法；文獻［8］研究了同時含有狀態時滯和測量時滯的線性時滯系統的故障診斷器的設計問題。以上文獻大都利用殘差診斷時滯系統的故障，殘差的存在會導致由于閾值選擇不當而產生的漏報和誤報的情況。為了避免此類不利情況的發生，本文綜合考慮了系統發生執行器故障和/或傳感器故障的情況，針對含有狀態時滯的線性系統，研究了其基于觀測器而不利用殘差體現故障的故障診斷方法及其基于觀測器的故障診斷方法的故障可診斷性問題，從而避免了故障誤報和漏報情況的發生，同時具有響應速度快的優點。
　　2.系統描述和無時滯轉換
　　2.1系統描述
　　考慮如下帶有故障的線性時滯控制系統：
　?。╰）=Ax（t）+Ax（t-d）+Bu（t）+Df（t），t＞0，
　　x（t）=x（t），t∈［-d，0］，（1）
　　y（t）=Cx（t）+Df（t）.
　　其中，x（t）∈R，u（t）∈R，y（t）∈R分別為系統的狀態向量，控制輸入向量和輸出向量；f（t）∈R為故障信號向量且可以是不可測量的。A，A，B，C，D和D是具有適當維數的常量矩陣。d＞0為狀態滯后時間常數。
　　假定故障f（t）的動態特性是已知的且可由下列外系統來描述：
　?。╰）=Gφ（t），t≥t=min{t，t}，
　　φ（t）=φ，（2）
　　φ（t）=0，t∈［0，t），
　　f（t）=Fφ（t）.
　　其中，
　　φ（t）=φ（t）φ（t），f（t）=f（t）f（t），
　　G=G 0　0 G，F=F 0　0 F.
　　φ∈R（m≤r）為外系統（2）的狀態向量，故障的初始時刻t和初始狀態φ是未知的。G∈R和F∈R為常量矩陣。φ∈R和f∈R分別代表執行器故障狀態向量和執行器故障向量，執行器故障的初始時刻為t；φ∈R和f∈R分別代表傳感器故障狀態向量和傳感器故障向量，傳感器故障的初始時刻為t。當t＜t時有φ（t）=0，當t＜t時有φ（t）=0。G，G，F和F是適當維數的常量矩陣。
　　注1：外系統（2）是階躍故障、周期故障、衰減故障、發散故障等常見的連續變化故障的通用表達式。
　　2.2無時滯轉換
　　時滯項的存在使系統的故障診斷和容錯控制律的設計變得較為困難，為此，我們引入線性變換把時滯系統轉化成無時滯系統。考慮依賴于矩陣A的線性變換:
　　z（t）=x（t）+?蘩eAx（θ）dθ（3）
　　A∈R是一個待定義矩陣，對（3）式微分并結合（1）可得
　?。╰）=Az（t）+Bu（t）-（A-A-eA）x（t）+Df（t）.（4）
　　令
　　A=A+eA，（5）
　　則（4）式變為
　?。╰）=Az（t）+Bu（t）+Df（t）.（6）
　　故可將時滯系統（1）轉化為如下無時滯等價系統：
　　（t）=Az（t）+Bu（t）+Df（t），t＞0，
　　z（0）=z，（7）
　　η（t）=Cz（t）+Df（t）.
　　其中z（t）∈R為轉化后無時滯系統的狀態變量。
　　假設1（C，A）能觀測，且式（5）有解。
　　系統（1）和系統（7）的變量關系為：
　　x（t）=z（t）-?蘩eAx（θ）dθ，y（t）=η（t）-C?蘩eAx（θ）dθ.（8）
　　3.故障的可診斷性
　　為了能利用成熟的觀測器理論進行故障診斷，我們把原系統和故障構成一個不顯含故障的增廣系統。令
　　ψ（t）=z（t）φ（t），
　　結合（2）和（7），則有
　?。╰）=Aψ（t）+Bu（t），η（t）=Cψ（t）.（9）
　　其中
　　A=A DF0 G，B=B0，C=［C DF］.（10）
　　如果能觀測出故障的狀態，也就診斷出了故障，故對故障的診斷就轉化為對系統中故障狀態進行觀測。
　　至此，我們已將含狀態時滯系統的故障診斷問題轉變為無時滯系統（9）的可觀測性問題，只要觀測出系統（9）的狀態即可診斷出系統中的故障。
　　記S（*）為*的特征值集合，λ∈S（A）為A的任意的特征值；λ∈S（A）為A的任意的特征值；λ∈S（G）為G的任意的特征值。
　　定理1：（C，A）完全能觀測，即故障可診斷的充分條件是：（（C（λI-A）DF+DF），G）、（DF，G）和（C，A）都是完全能觀測的。其中D=［D D］，λ∈（S（G）-S（A）∩S（G））為S（G）-S（A）∩S（G）的任意特征值。
　　證明:由于
　　|λI-A|=λI-A -DF 0 　 λI-G=|λI-A||λI-G|=0
　　故有
　　λ=λ∈S（A）或者λ=λ∈S（G），
　　S（A）=S（A）∪S（G）
　　令
　　v=vv，v∈R，v∈R，（11）
　　并令
　　Av=λv，Cv=0，（12）
　　將（10）和（11）代入（12）式，得
　　Av+DFv=λv，（13）
　　Gv=λv，（14）
　　Cv+DFv=0.（15）
　　下面我們根據特征值的不同，分三種情況討論。
　　（Ⅰ）λ=λ∈（S（A）-S（A）∩S（G）），即λ=λ≠λ時，
　　因為λ=λ≠λ，所以（14）式成立時必有
　　v=0.（16）
　　將（16）代入（13）和（15）式得
　　Av=λv，Cv=0.（17）
　　若（C，A）是能觀的，由能觀性的PBH特征向量判據知（17）成立時必有
　　v=0.
　　即（12）式成立時必有
　　v=0.
　　由能觀性的PBH特征向量判據知，（C，A）是能觀的。即當λ=λ≠λ時，若（C，A）是完全能觀測的，則（C，A）是完全能觀測的。
　?。á颍│?λ∈（S（G）-S（A）∩S（G）），即λ=λ≠λ時，
　　因為λ=λ≠λ，故有rank［λI-A］=n，則由（13）式得
　　v=（λI-A）DFv. （18）
　　將（18）代入（15）式得
　?。–（λI-A）DF+DF）v=0.（19）
　?。?9）結合（14）式有
　　Gv=λv（C（λI-A）DF+DF）v=0（20）
　　若（（C（λI-A）DF+DF），G）是能觀的，由能觀性的PBH特征向量判據知（20）成立時必有
　　v=0.（21）
　　將（21）式代入（13）和（15）式得
　　Av=λvCv=0（22）
　　因為rank［λI-A］=n，則（22）成立時必有
　　v=0
　　即（12）式成立時必有
　　v=0
　　由能觀性的PBH特征向量判據知（C，A）是能觀的。即當λ=λ≠λ時，若（（C（λI-A）DF+DF），G）是完全能觀測的，則（C，A）是完全能觀測的。
　?。á螅│恕剩⊿（A）∩S（G）），即λ=λ=λ時，
　　若（C，A）是能觀的，又有λ=λ，由能觀性的PBH特征向量判據知必有v=0使
　　Av=λvCv=0
　　同時成立。
　　將v=0代入（13）和（15）式，并結合（14）式得
　　DFv=0Gv=λvDFv=0（23）
　　令
　　D=DD
　　則（23）式變為
　　Gv=λvDFv=0（24）
　　由于λ=λ，若（DF，G）是能觀的，由能觀性的PBH特征向量判據知（24）成立時必有
　　v=0
　　即（12）式成立時必有
　　v=0
　　由能觀性的PBH特征向量判據知（C，A）是能觀測的。即當λ=λ=λ時，若（C，A）和（DF，G）都是完全能觀測的，則（C，A）是完全能觀測的。
　　證畢。
　　注2：當A和G沒有相同的特征值時，（C，A）完全能觀的充分條件就簡化為：（C，A）和（（C（λI-A）DF+DF），G），λ∈S（G）都是完全能觀測的。
　　4.故障診斷
　　構造一個非奇異矩陣
　　T=TC∈R，
　　并令
　　T=［H H］，H=HH，H=HH，
　　其中，H∈R，H∈R；H，H，H和H都是適當維數的矩陣，則關于由（1）和（2）描述的線性時滯系統的故障診斷器的設計，我們給出如下定理：
　　定理2：考慮由（1）和（2）描述的線性時滯系統，在滿足定理2的條件下，其故障診斷器可由下式描述：
　?。╰）=（T-LC）［AHx（t）+Bu（t）+A（H×L+H）y（t）+A（HL+H）CM（t）］，
　　（t）=Hx（t）+（HL+H）y（t）+（HL+H）CM（t），（25）
　?。╰）=［I┆0］（t），
　　（t）=［0┆I］（t）.
　　其中：M（t）=?蘩eA（θ）dθ，0和I為適當維數的零陣和單位陣。（t）為診斷出的故障狀態，（t）為診斷出的執行器故障，（t）為診斷出的傳感器故障，L為觀測器的反饋增益矩陣。
　　證明：令
　　（t）=Tψ（t）=ω（t）η（t），（26）
　　由（8）式求出η（t）代入（26）式，得
　?。╰）= 　　 ω（t）y（t）+C?蘩eAx（θ）dθ.（27）
　　令
　　Q（t）=?蘩eAx（θ）dθ，（28）
　　則
　　ψ（t）=Hω（t）+H（y（t）-CQ（t））.
　　結合（9）式、（26）式和（27）式，則有
　?。╰）=TC（Aψ（t）+Bu（t））
　　= 　　　　　　　　　　　　 （t）（t）+CAQ（t）+CeAx（t）-CAx（t-d），
　　即
　?。╰）=TAHω（t）+TBu（t）+TAH（y（t）+CQ（t）），
　　（t）=CAHω（t）+CBu（t）+CAH（y（t）+CQ（t））
　　-CAQ（t）-CeAx（t）+CAx（t-d）.（29）
　　由于（C，A）是完全可觀測的，則可證明（CAH，TAH）是完全可觀測的。故可構造Luenberger觀測器如下：
　　（t）=（T-LC）［AH（t）+AH（y（t）+CQ（t））+Bu（t）］+L［（t）+CAQ（t）+CeAx（t）-CAx（t-d）］.
　　其中：是狀態ω的估計值．
　　為了消除微分項（t），引入變量代換
　　x（t）=（t）-L（y（t）+CQ（t）），（30）
　　則有
　?。╰）=（T-LC）［AH（t）+Bu（t）+AH（y（t）+CQ（t））］，（31）
　　（t）=Hx（t）+（HL+H）（y（t）+CQ（t））.
　　將H=［H H］，H=［H H］代入（31）式，并結合（8）式則有
　?。╰）=（T-LC）［AH（t）+Bu（t）+AH（y（t）+CQ（t））］，（32）
　?。╰）=Hx（t）+（HL+H）（y（t）+CQ（t）），
　?。╰）=Hx（t）+（HL+H）（y（t）+CQ（t））.
　　由（30）式求出（t）代入（32）式，結合（28）式，并令M（t）=?蘩eA（θ）dθ，則得（25）式。
　　注3：上述診斷器的優點是響應速度快，如果響應速度要求不是太高，則可以構造下列簡單的基于全維觀測器的故障診斷器，因此關于故障的可診斷性的討論具有普遍性。
　?。╰）=（A-LC）（t）+Ly（t）+u（t），
　?。╰）=［I┆0］（t），
　　（t）=［0┆I］（t）.
　　5.仿真例子
　　考慮由（1）式描述的系統，其中
　　A= 0 1-1 -2，A= -1 1-0.6 0.5，B=１１
　　C=［１ 0］，D=2 02 0，D=［0 1］
　　x（0）=［0.3 0.1］，d=0.3
　　考慮（2）由描述的故障，其中
　　G= 0 1 0 0-1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -9 0，F=1 0 0 00 0 0 1
　　φ（0）=［1 0 0 1］
　　其中傳感器故障發生在t=20s，執行器故障發生在t=30s，所以t=20s。
　　取故障診斷器的極點為-3、-3±j1、-1±j1。依照Ackermann公式，可得到故障診斷器的反饋增益矩陣L如下
　　L=［4.6452 -0.6767 1.8587 -0.0861 -1.1237］
　　采用式（33）所設計的故障診斷器，用MATLAB進行仿真。圖1為系統的實際輸出，圖2為故障診斷器輸出的執行器故障的診斷值和真實值的對比曲線圖，圖3為故障診斷器輸出的傳感器故障的診斷值和真實值的對比曲線圖。
　　由圖1可看出，在t=20s和t=30s時，系統中分別有故障發生。由圖2和圖3可看出，該故障診斷器診斷出的執行器故障值和傳感器故障值均漸近趨近于它們各自的真實值，說明本文所提出的故障診斷方法及故障可診斷性判據是有效的和可靠的。
　　6.結語
　　本文針對含狀態時滯的線性系統，研究了其故障診斷方法，給出并證明了基于觀測器的故障可診斷性的充分條件，進而設計了無需殘差體現故障即可實時診斷故障的故障診斷器。仿真結果證實了本文提出的故障診斷方法及故障可診斷性判據的可行性和有效性。
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