一階線性動態電路的分析方法

　　摘 要： 本文針對一階動態電路具有的特殊規律和特征，運用四種方法介紹對一階動態RC電路的求解，以區別于穩態電路的求解方法。并對比各種解法，在不同類型的動態電路分析中進行合理選擇，以期更方便地求解問題。
　　關鍵詞： 一階線性 動態電路 求解方法
　　一階線性動態電路指的是電路中只含有一種儲能元件（電容或電感），當電路的結構或元件參數發生改變時，電路的工件狀態將由原來的穩態轉變成另一個穩態，這種轉變是需要一個過程的。一階線性動態電路其動態過程的數學模型是一階常系數微分方程。此類電路以RC電容充放電電路、RL電感儲能和釋能電路最為常見，其動態過程中的電流和電壓都是變化的。這與通常描述的直流電路和周期性交流電路中，電壓及電流恒穩不變，或按周期性規律變動的穩態電路不同。在分析方法上也完全不同。下面以RC動態電路為例，運用四種方法求解動態過程中的電流和電壓的變化規律。
　　如圖1，RC電路開關S合上前電容已充過電，電容上的電壓U（0_）=U，求開關合上后電路中的電流i和電壓u。
　　解法一：微分方程法
　　由i=C，得回路電壓方程
　　u+CR=U
　　得：u=U+Ae
　　由換路定律知：t=0時，u（0_）=u（0）=U代入上式確定常數A值
　　得：A=U-U
　　所以u=U+（U-U）e
　　i=C=e
　　可見當開關S閉合后，電容充電電容電壓由U逐漸增大為U，電路電流由按指數規律逐漸衰減為0。
　　解法二：三要素法
　　一階線性動態電路的三要素公式為：
　　f（t）=f（∞）+［f（0）-f（∞）］e（t≥0）
　　其中三要素為：穩態值f（∞）為t=∞時所求響應的穩定值
　　初始值f（0）為t=0時所求響應的起始值
　　時間常數τ=CR
　　由此得：u=U+（U-U）e
　　i=0+-0e=e
　　解法三：拉氏變換法
　　由回路電壓方程u+CR=U?蘚（t）
　　其中?蘚（t）為階躍函數?蘚（t）=1（t≥0）?蘚（t）=0（t<0）
　　對此方程作拉氏變換得：U（S）+CR［SU（S）-U（0_）］=
　　得：U（S）=+=-+
　　由拉氏逆變換得：u=U-Ue+Ue=U+（U-U）e
　　i==e
　　解法四：R、C元件的復頻域模型法
　　i=C
　　運用拉氏變換得：I（S）=CSU（S）-CU（0_）
　　得：U（S）=+
　　根據圖2所示的RC電路復頻域等效模型，由基爾霍夫定律的復頻域方程得：
　　++I（S）R=
　　得：I（S）=×=（U-U）
　　由拉氏逆變換得：i=e
　　u=U-i（t）R=U-（U-U）e=U+（U-U）e
　　文中用四種方法求解了一階線性動態電路的響應，對比此四種方法，對一階動態電路，三要素法只需根據換路后的等效電路，確定出三要素后就能直接按表達式寫出響應。微分方程法要運用初始條件求常數A，且求解過程也相對復雜些，但微分方程是依據回路的電壓方程列出的，物理意義很明確，是三要素法、拉氏變換法的基礎。在二階RLC動態電路分析中，所列出的方程是二階微分方程，求解難度較大，此種情況下用拉氏變換把微分方程轉化為代數方程，運用動態電路復頻域分析法求解會較為方便。因此在分析動態電路時，選擇合適的求解方法，會達到事半功倍的效果。
　　參考文獻：
　　［１］王慧玲.電路基礎.高等教育出版社，2007：11.
　　［2］王翠萍.應用數學.中國紡織出版社，2009：