回顧江蘇高考自主命題的五年不難發現,占試卷大半江山的六大解答題,其模式穩定,在每一年12月的考試說明中也可以窺見一斑。筆者在此根據這五年的考題再對其作剖析。
一、向量搭橋解三角,巧用公式得全分
平面向量中的夾角和向量的坐標表示是引起向量與三角函數交匯的主要因素,它把向量與三角函數有機地綜合在一起,使三角問題得到充實與加強,能有效考查學生解決綜合問題的能力。此類題目要求考生在熟練掌握平面向量和三角函數圖像的基礎上,對平面向量和三角函數的性質能夠靈活運用,會利用數形結合的思想來解題。
二、位置關系識圖形,線面互化題必成
立體幾何是空間想象的主要載體,但由于江蘇文理選修內容的區別,其考查內容以“點、線、面的位置關系”為主,難度系數也只有0.8。從上表可知,解題策略無非是通過“線線、線面、面面平行與垂直的相互轉化”而已,同時由于“空間向量”的引入,空間圖形的位置關系代數化,要把復雜、抽象的立體幾何問題轉化為計算問題必須具備一定的運算能力,因此理科考生解答求空間角與距離題顯得輕而易舉。
當然,在2010年的試題中出現了點面距離的計算,當年遭到了文科師生的共同質疑,但情有可原,此類問題在求錐體的體積時應該有所涉及,只不過超過了學生和老師的預期。
三、實際應用建模型,最值問題用不等
數學應用題是江蘇歷年高考命題的主要題型之一,也是區別于其他省市的特色之一:他們大多通過統計、概率題來考查學生對信息的獲取、處理、提煉能力,以及圖形、圖表的轉換能力,而江蘇由于在理科附加題中有涉及,故在必做部分以函數、不等式、三角、幾何問題為背景考查學生的這些能力。細細2lEQzeNzdNKzFOGXg5Advw==分析這五年的這類試題有一個共同的特征,那就是建模,不同模型下,選擇不同方法,單元問題可以用函數(包含三角函數)、導數來解決,雙元問題可以基本不等式來解決。這類應用題往往按照以下步驟解答:
首先將一個實際問題轉化為一個數學問題,進行數學化設計;
其次將一個數學問題轉化為一個常規問題,進行標準化設計;
最后求解常規數學問題或是解方程,或是證明(求解)不等式,或是函數求極值,或是幾何求值、幾何論證,或是解三角形,等等。
四、直線與圓暨橢圓,數形結合將值定
解析幾何是綜合幾何的一個跨越,它把圖形移到坐標下,把原來的圖形定性分析延伸到用定量數形結合研究。由于二次式系數不同,分別對應著不同的圓錐曲線,其圖形也各異,數與形的對應得到充分體現,它們有著完美的結合。具有江蘇特色的“解析幾何”試題,對于“直線與圓”進行了重點考查,而對圓錐曲線部分,僅對“橢圓”提出了B級要求,使得以往為壓軸題的圓錐曲線變為“明日黃花”。于是出現了2008年和2009年連續兩年只考查了“直線與圓”,引起了高中數學教學很大的變化,為了照顧橢圓這一不同于圓但又與圓有著緊密聯系的知識點,近三年均將橢圓作為幾何模型的代表研究其中點、線、圓的位置關系問題,并以其為載體考查運算能力和方程思想的運用。這五年的這類試題的考查重點是“定點、定值、最值”問題,解決此類問題主要有下列方法。
一是先通過特殊位置得出定點或定值,然后證明在一般情況下也成立;
二是把所要證明為定點或定值的量表示為另外幾個變量的函數或方程,然后通過化簡變形,證明結果與變量無關;
三是解決最值、范圍問題主要通過尋找所求量的不等式或不等式組并加以求解,或通過構造所求量的函數,然后研究此函數的值域即可。
五、函數性質為主線,導數意義是核心
20世紀初,著名數學家菲利克斯·克萊因認為:函數是數學的“靈魂”,應該成為中學數學的“基石”,應該把算術、代數和幾何方面的內容,通過幾何的形式用以函數為中心的觀念綜合起來;強調要用近代數學的觀點來改造傳統的中學數學內容,主張加強對數學思想的教學,改革和充實代數的內容,倡導“高觀點下的初等數學”意識。江蘇高考對函數的考查特別重視,近幾年尤其對數形結合的思想和分類討論思想的考查尤為重視,而與導數相結合,可以使得對更為復雜函數的性質得到進一步深入的研究,這就使得函數問題成為考查各種能力和各種思想最好的載體,也是甄別優秀學生的“試金石”。
六、等差等比成雙珠,探究構造與反證
數列是函數大家庭中的一員,其特殊性在于其定義域是正整數,它是按一定次序排列的一列數。數列在中學數學中既具有相對的獨立性,又具有較強的綜合性,它是初等數學與高等數學的一個重要銜接點。江蘇高考試題中,數列問題總在最后一兩題,是一個綜合性很強的問題,大多以數列為考查平臺,綜合運用函數、方程、不等式、簡單數論等知識,通過運用遞推、函數與方程、歸納與猜想、等價轉化、分類整合等各種數學思想方法,考查學生運用數學知識分析問題、解決問題的能力和數學探索創新的能力。
七、回眸五年高考題,江蘇模式已成形
綜上所述,五年來的實踐證明,江蘇高考嚴格按照《考試說明》進行命題,將“兩角和(差)的正弦、余弦及正切,平面向量的數量積,等差數列,等比數列,基本不等式,一元二次不等式,直線方程,圓的標準方程與一般方程”等8個C級(掌握)層次的知識點作為命題的主線,輔以“函數,導數,點、線、面之間的位置關系”等B級(理解)層次的知識點,通過科學設計,合理安排,命制解答題,從而體現它的科學性、嚴謹性,更體現“高考應具有較高的信度、效度,必要的區分度和適當的難度”這一考試性