高等數學知識在初等數學中的應用

　　高等數學知識在初等數學問題中的應用具有起點高、落點低、背景新、方法活和能力要求高的特點.但解決的知識是中學所學習的初等數學知識，它對學生的數學語言信息的閱讀、收集、理解、轉化、表述、探究和調控能力要求較高，是考查數學創新能力的有效手段，是模式化訓練“題海戰術”所達不到的.此類問題對培養學生獨立發現問題、提出問題、分析問題和解決問題有很大的幫助.下面，筆者就對此類問題進行歸類、例析，以期廣大專家、同行對此類問題進行更深入的研究.
　　一、知識背景的應用
　　例1：已知函數，當f（x）=tanx，x∈（0，），x，x∈（0，），且x≠x，證明[f（x）+f（x）]>f（）.
　　分析：本題是以高等數學中的函數凹凸性為知識背景，以三角函數為知識載體，通過對正切函數和不等式的引入，使函數的凹凸性的性質得以充分體現.
　　證明：因為x，x∈（0，），x≠x，所以2sin（x+x）>0，cosxcosx>0，
　　且0　　由此得tanx+tanx>，即>tan（），
　　所以[f（x）+f（x）]>（）.
　　例2：設a>0，實數x，y，z滿足x+y+z=a，x+y+z=.求證0≤x，y，z≤.
　　分析：本題的知識背景是高等數學中的空間解析幾何問題，x+y+z=a表示過三點（0，0，a），（0，a，0），（a，0，0）的平面，x+y+z=表示與坐標原點距離為的點（x，y，z）應滿足的條件，即以O為圓心，為半徑的球.如把已知方程中的z視為已知數，將其分別看成平面直角坐標系中的直線和圓，構造一個直線和圓有公共點得圖形，初等方法就可以解決了.
　　證明：將已知兩方程分別化簡為x+y=a-z，x+y=-z.因為此兩式同時成立，所以在平面直角坐標系中，直線x+y=a-z和圓x+y=-z有公共點（即相交或相切），于是圓心（0，0）到直線x+y=a-z的距離不超過半徑即≤，將該式化簡得3z-2az≤0，即z（3z-2a）≤0，解得0≤z≤.
　　同理可證0≤x≤，0≤y≤，所以0≤x，y，z≤.
　　二、語言敘述的應用
　　例3：設絕對值小于1的全體實數的集合為S.在S中定義一種運算*，使得a*b=.
　　（1）證明：若a，b∈S，則a*b∈S；
　　（2）證明：結合律（a*b）*c=a*（b*c）成立.
　　分析：本題是以高等數學語言習慣定義一種新運算，并將集合語言融入，來讓學生證明結合率，使得問題變得新穎，有創意，能力要求較高.
　　解：（1）要證明，若a，b∈S，則a*b∈S，即證明：當-1　　（2）兩次用條件中的公式a*b=分別得：
　　（a*b）*c=*c==
　　a*（b*c）=a*==
　　所以有（a*b）*c=a*（b*c）.
　　三、推理方法的應用
　　例4：在平面幾何里，有勾股定理：“設△ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB+AC=BC.”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側面面積與底面面積間的關系，可以得出的正確結論是：“設三棱錐A-BCD的三個側面ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直，則？搖？搖？搖 ？搖.”
　　分析：此題主要是考查對勾股定理的實質性類比，類比是高等數學中最為基本的推理方法，從類比推理的方法和規律來看，應將由線段長度到三角形面積的升維類比，過渡到由指數的二次向指數的三次轉變，可得結論是S+S+S = S，但恰恰相反，此結果是錯誤的.特別的，直三棱錐A-BCD的三條直棱AB、AC、AD的長度均為1，顯然有S=S=S=，S=，而（）+（）+（）≠（），但（）+（）+（）=（），所以有S+S+S = S.對于得到S+S+S=S這個結果的學生來說，不是因為他們的類比推理能力差，而是其在推理過程中缺少檢驗和修正的環