分離參數求參數范圍的高考壓軸題

　　摘 要： 近年來，關于函數的高考壓軸題越來越難，而且含有參數，很多人發現，高考題給出來的標準答案都看不懂，連答案都看不懂的題目，怎么會做呢？不過高考給出的標準答案基本沒有采用分離參數的方法，參數討論的分類標準自然不好把握，但是很多題目是可以分離參數的，只是分離后新的函數并不太好處理，有的需要用到零點定理，有的需要多次求導，有的需要用羅必塔法則，等等.作者認為只要題目能分離參數，就可以解出，只是道路可能比較坎坷，就這些問題作者做了研究，與大家分享.
　　關鍵詞： 分離參數 參數范圍 高考壓軸題
　　
　　例1.已知a＞0，函數f（x）=x-2ax-2alnx，方程f（x）=0在（0，+∞）上有唯一解，求a的值.
　　解：分離參數求解：2a=（x＞0）有唯一解，下面只需畫出g（x）=（x＞0）的草圖即可.
　　錯解：g′（x）=（x＞0），x∈（0，1）時g′（x）＜0，則g（x）在（0，1）單調遞減，x∈（1，+∞）時g′（x）＞0，則g（x）在（1，+∞）單調遞增，∴g（x）=g（1）=1，∴2a=1∴a=.
　　仔細分析，發現g（x）=0，但是g（1）=1，那么g（x）在（0，1）內怎么可能單調遞減呢？
　　正解：g（x）=（x＞0）的分母h（x）=x+lnx（x＞0）在（0，1）內有零點（這可以通過零點定理驗證，也可以通過作出兩個函數y=lnx及y=-x的圖像發現）.設這個零點為x，x∈（0，x）時g′（x）＜0，則g（x）在（0，x）單調遞減；x∈（x，1）時g′（x）＜0，則g（x）在（x，1）單調遞減.又g（x）=-∞，g（x）=+∞，即x=x為函數g（x）=（x＞0）的漸近線，x∈（1，+∞）時g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）單調遞增，因此，可以作出g（x）=（x＞0）的草圖，又g（1）=1，∴2a=1，a=.
　　例2.（2011新課標全國卷最后一題）已知函數f（x）=+，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+2y-3=0.（1）求a，b的值；（2）證明：當x＞0，且x≠1時，f（x）＞+，求k的取值范圍．
　　分析：對于第（1）問，易得a=b=1，而對于第（2）問，分離參數后所得函數需要多次求導，最終使用羅必塔法則解決.
　　解：（2）∵x＞0∴分離參數得k＜+1對?坌x∈（0，1）∪（1，+∞）恒成立，
　　令g（x）=+1（x＞0且x≠1），∴g′（x）=（x＞0且x≠1）.
　　令h（x）=xlnx+lnx-x+1（x＞0且x≠1），∴h′（x）=（x＞0且x≠1）.
　　令q（x）=2xlnx-x+1（x＞0且x≠1），∴q′（x）=4xlnx（x＞0且x≠1）.
　　∵x∈（0，1）時，q′（x）＜0，∴q（x）在（0，1）單調遞減；x∈（1，+∞）時，q′（x）＞0，∴q（x）在（1，+∞）單調遞增，∴q（x）＞q（1）=0，即h′（x）＞0，∴h（x）在（0，1）與（1，+∞）均單調遞增，∴x∈（0，1）時，h（x）＜h（1）=0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1）單調遞減；x∈（1，+∞）時，h（x）＞h（1）=0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）單調遞增，∴g（x）＞g（x）而g（x）=+1=+1=-1+1=0（這由羅必塔法則得到），∴g（x）值域為（0，+∞），∴k≤0.
　　附：羅必塔法則：當x→a（或x→∞）時，如果兩個函數f（x）與F（x）都趨于零或趨于無窮大，那么，它們的比的極限可能存在，也可能不存在．通常把這種極限叫做未定式，并分別簡記為或．如果極限為“”型或“”型未定式的極限，并且存在或為∞，則=.
　　例3.已知函數f（x）=，?坌x∈［0，+∞），f（x）≤ax，求實數a的取值范圍.
　　解：分離參數求解：x=0時，顯然成立.
　　?坌x∈（0，+∞）時，a≥恒成立，令g（x）=（x＞0），
　　下面求g（x）的上界，g′（x）=（x＞0），
　　令h（x）=2xcosx+x-2sinx-sinxcosx（x＞0），
　　h′（x）=2sinx（sinx-x）（x＞0），易證x＞0時，sinx＜x，∴sinx-x＜0
　　∴sinx＞0即x∈（2kπ，2kπ+π）（k∈N）時，h′（x）＜0，h（x）單調遞減；
　　sinx＜0即x∈（2kπ+π，2kπ+2π）（k∈N）時，h′（x）＞0，h（x）單調遞增，
　　又h（2kπ）=6kπ＞0，h（2kπ+π）=-2kπ-π＜0，∴h（x）在每個區間（2kπ，2kπ+π）（k∈N）內必有零點，這些零點從小到大記為x，x，x，…，且它們都是極大值點，所以g（x）的上界要么在x=0處取，要么在極大值點x（i=1，2，3，…）處取.
　　而g（x）===，
　　令g′（x）=0，∴2xcosx+x-2sinx-sinxcosx=0，∴sinx=代入g（x）===，i=1，2，3，…
　　易求y=（2kπ＜x＜2kπ+π，k∈N）值域為（-1，），所以g（x）＜.
　　對于分離參數求解，既有利又有弊，利在于思路清晰，弊在于有些問題分離過參數后很復雜，但是很多問題如果不分離參數，則連答案都看不懂，還不如分離參數試試，希望本文對幾個問題的研究，能對讀者以后遇到類似問題有所幫助.