關于新命題能力培養的探索

　　觀察、類比、歸納、猜想、驗證是學生獲得新知識的重要方法，也是學生應具備的分析問題和解決問題的能力.因此，教學中要注意培養學生的這種能力，創設“問題情境”，激發求知欲，引導學生通過自己實踐而獲得新知識，從而培養能力，發展智力.本文試圖通過例題來談談教學中如何引導學生自覺掌握這種方法.
　　一、利用歸納、猜想、發現新命題
　　例1.點C在線段AB上，△ACM、△CBN都是等邊三角形（如圖1）.
　　求證：AN=BM.
　　若點C移到線段外，則仍有類似的結論.
　　命題1.1：銳角△ABC向外作正三角形ACM和BCN（如圖2），則AN=BM.
　　命題1.2：銳角△ABC向外作正方形ABDE和ACFG，則BG=CE.
　　根據命題1.1，1.2，我們歸納其共性，猜想若由銳角三角形向外作正五邊形，正六邊形，……正n邊形，仍有類似的結論成立.
　　命題1.3：銳角三角形向外作正n邊形ACCC…C，ABBB…B，則BC=CB.
　　二、利用觀察、猜想發現新命題
　　例2.用數學歸納法證明：
　?。?）1+2+3+…+n=n（n+1）；
　　（2）1?2+2?3+3?4+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）；
　?。?）1?2?3+2?3?4+3?4?5+…+n（n+1）（n+2）=n（n+1）（n+2）（n+3）.
　　觀察（1）（2）（3）式的左邊分別是1個，2個和3個連續自然數的積的數列的前n項和，右邊是從n起分別為2個、3個、4個連續自然數之積再分別除以2，3，4，那么，對于4個連續自然數之積的數列，其前n項的和是否也具有這樣類似的結論呢？由此，我們作了如下猜想：
　　命題2.1：設給出數列{a}，a=n（n+1）（n+2）（n+3），則此數列的前n項和為k（k+1）（k+2）（k+3）=n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4），這里我們還可以更一般地猜想：
　　命題2.2：以p+1（p∈N）個連續自然數之積為通項的數列，其前n項和的公式：設數列{a}的通項公式為：a=n（n+1）（n+2）（n+3）…（n+p），其中p∈N，則數列前n項和是k（k+1）（k+2）（k+3）…（k+p）=n（n+1）…（n+p+1）.
　　三、利用類比猜想發現新命題
　　例3.從橢圓+=1的中心作三條每相鄰兩條成120°角的向徑OP，OP，OP，求證：++為定值.
　　這里條件中“三條每相鄰成120°的向徑”與“四條每相鄰兩條成90°的向徑”類比，均為每相鄰兩條成等角向徑，從例3的啟示，“過中心的四條每相鄰成兩條成90°的向徑”是否有類似的性質呢？由此猜想：
　　命題3.1：從橢圓+=1的中心作四條相鄰兩條成90°的向徑OP，OP，OP，OP，則+++為定值.
　　一般地作幾條向徑每相鄰兩條成等角猜想仍有類似的結論.
　　命題3.2：從橢圓+=1的中心作幾條每相鄰兩條成的向徑OP，OP，…OP，則++…+為定值.
　　四、從證法方面進行觀察、類比、驗證
　　我們通過觀察、類比、歸納發現的命題只不過是猜想，是否正確，還需要進行論證.
　　命題1.1很容易從△BCM≌△ACN而證明，命題1.2和命題1.3方法類似.
　　命題2.1和命題2.2的證法，從例2得到啟示，可以用數學歸納法證得.
　　命題3.1的證法可先看例3的證法.
　　證明：設取中心O為極點，Ox軸的正向為極軸，則橢圓+=1的極坐標方程為ρ=
　　P的極坐標為（ρ，θ）
　　則P，P分別為（ρ，θ+120°），（ρ，θ+240°）
　　因而OP=ρ=，OP=ρ=
　　OP=ρ=
　　∴++
　　=［1-ecosθ+1-ecos（θ+120°）+1-ecos（θ+240°）］
　　=［3-ecosθ+ecosθ-e］
　　=（+）=（定值）
　　命題3.1，3.2的證法與例3法相同，現將命題3.2的證法寫出如下：以橢圓+=1的中心為極點Ox軸的正向為極軸的極坐標方程為：
　　ρ=且設P坐標為（ρ，θ）那么P（ρ，θ+），P（ρ，θ+），…，P（ρ，θ+）
　　∴OP=ρ=，OP=ρ=，…，
　　OP=ρ=
　　∴++…+
　　={n-ecosθ-ecos（θ+）…-ecos［θ+］}
　　={n-e-e［cos2θ+cos（2θ+）
　　 +cos（2θ+）+…+cos（2θ+360°］}
　　=［n-e-e×0］=（+）=（定值）
　　對一些習題，通過觀察、類比、歸納、猜想、驗證，可以把問題引向深入，縱橫聯系得到推廣，從而避免陷于“題海之中”，通過這方面的練習，能達到舉一反三、觸類旁通的解題效果，真正達到提高學生分析問題、解決問題能力的目的.