開展數學互動解

　　摘 要： 數學方法論和解題理論的研究很多，并且教師專業化素質逐步得到提高。而教師應當把這些“兵法”授給學生，使他們也真正掌握數學的思想和方法，切實提高解題能力，鍛煉他們的智力。師生互動可提高學習效率，加強學生對問題的建構意識。因此，教師要多形式地適宜地開展數學互動解題。
　　關鍵詞： 數學學習 互動解題 解題能力
　　
　　問題構成數學的心臟，則“解題是數學學習的中心，必須通過解題學解題”。關于怎樣解題，Polya在《怎樣解題》中為我們總結出了一系列的激發元認知活動的小問題，并且在《數學與猜想》中提出了如何進行合情推理的方法，諸如：歸納、類比、觀察、實驗、一般化、特殊化等。Polya的思想在中國傳播后，全國立刻出現了數學方法論的研究熱潮。后來，中國又出現了解題研究理論，比如戴再平的《習題理論》、羅增儒的《數學解題理論》。數學方法論和數學解題研究對數學教師專業化發展及自身成長起到了巨大的推動作用，使教師能高屋建瓴地駕馭數學教學，教出方法、教出發現、教出創新。
　　“授人以魚，只供一飯之需；授人以漁，終生受用無窮”。可見，數學解題教學中方法的教授是如此的重要。顯然，怎么“授”是廣大教師非常關注的問題。教師如何進行解題教學以使各層次的學生在解題活動中去感受、體驗、積累數學經驗和方法呢？解題教學過程中，教師必須在“最佳時機”去幫助學生在“最近發展區”得到發展，以使學生悟到解題的真諦。教學是雙邊的，解題教學更應該是互動的。本文試從多角度討論初中數學互動解題教學。
　　1.互動教學和互動解題教學
　　互動教學是在師生間進行一種生命與生命的交往、溝通，通過調節師生關系及其相互作用，并把教學過程看做是一個動態發展的教與學統一的交互影響和交互活動過程?；咏虒W強調一種師生平等的對話。
　　解題是一項系統的思維工作。一個解題的思維系統是由若干個節點將單個思維單元聯結起來的。解題教學是教師教學生在解題中運用Polya的方法將思維單元組成知識組塊以形成網絡系統的過程。互動解題教學強調師生的平等對話及解題經驗的交流，更講求對話互動的時機、方式等。
　　互動解題教學基于一種師生平等的對話，對教師能力提出了更高要求:首先，教師要走到學生中間，耐心、虛心、誠心去傾聽學生的發言，讓學生想說就說，說就說完。只有這樣，教師才能準確分析學生的學習心態、學習方法，捕捉到學生創新的火花，發現學生自主學習中的問題。其次，教師要毫不吝嗇地給學生鼓勵，并且鼓勵也要講究方法。目前的現狀是很多學生對數學似乎天生有恐懼感，這真是數學老師的悲哀。如果多給學生鼓勵，就可以增強其數學解題的自我效能感。最后，數學教師要具備精準的表達能力和良好的交往溝通能力。
　　2.互動解題教學模式
　　人具有社會性，所以人的發展離不開與社會中各對象的互動交往。在解題學習中，學生可以與老師、同學進行多方互動，達到信息多渠道溝通，從而吸取解題經驗和方法。
　　2.1師生互動解題
　　課堂教學是教師教與學生學的主陣地，所以互動解題教學應以師生課堂互動為主。所謂師生互動解題教學，就是在解題的過程中，教師和學生通過語言、文本或媒體進行信息的交換和溝通，學生在教師的示范或指導下建構解題思維網絡、習得解題經驗的過程。解題能力是在解題學習及解題實踐中得到提高的。解題教學最重要的是新課，因為心理學研究表明，一旦形成了錯誤的觀念就很難糾正過來。例題是教師講課時用于闡明數學概念和數學命題及其應用的題目，它是數學知識轉化為基本技能的附體，體現教材的深度和廣度，揭示解題的思路和方法。教師要善于通過選擇典型例題進行解題示范，通過精選的范例展現自己是如何“想”數學，如何“做”數學的。因此，教師特別要做好解題教學新課的范例教學，防止出現“夾生飯”。
　　另外，師生互動解題教學在課堂中還常以習題課的方式進行，主要是對一階段學習的知識進行鞏固，幫助學生做好數學思想方法和解題經驗的自我總結，使方法能夠遷移、經驗得到積累。
　　2.2生生互動解題
　　解題能力的提高離不開科學的訓練，而課堂教學的實踐是有限的，所以留給學生適當的習題課外去思考，對課堂教學加以延續和補充是十分必要的。學生在做課外作業的時候，一方面對課堂上老師所教的方法活學活用、獨立思考，另一方面可在獨立思考的基礎上，同學間互相指點錯誤所在，交流解題經驗。同學間的親密無間和天然的平等關系是師生關系所不能達到的，而且同學在一起學習的時間遠比和老師在一起的時間多，因此同學間的互動解題交流不受時間、地點的限制，在群體的智慧結晶下，很容易想出優秀的妙解。生生互動解題可以采取“一對一”、“小組合作學習”或“數學興趣小組”等形式。這不正是新課程改革所倡導的“互動合作學習”嗎？但是，這也要防止走向極端，導致學生大面積地抄襲作業，從而失去了互動解題的意義。
　　2.3師師互動解題
　　學生群體會產生智慧的結晶，教師群體何嘗不是呢？隨著教師專業化發展的要求，教師基本功競賽也隨之興起，解題基本功競賽應運而生，從而促進了教師對解題思想和方法的研究。教師自身解題能力提高了，但解題方法如何教授也應該是教師間互相交流的重點問題。針對班級學生不同的認知水平和學情，教師間可以交流教學方法，特別是對課堂上突發的一些問題的處理方法。備課組活動就是很好的教師互動模式。
　　2.4師生與文本互動解題
　　師生的解題互動不僅發生在師生群體之間的平等對話或活動中，還可以充分挖掘與文本對話的潛力。對于學生，特別是數學愛好者來說，教師要教會他們與文本對話的能力，教會他們如何利用教科書和參考資料，提高自學能力。有些學生把解題作為一種樂趣，喜歡沉浸在解題的海洋中。當學生在冥思苦想不得其解而老師又不在身邊時，研讀別人解題的方法和技巧會使他們有種豁然開朗的感覺，文本資料不正好是他們無聲的老師嗎？這種模式適合學習能力強、愛好數學、刻苦鉆研的學生。
　　3.互動解題發生時機
　　在課堂互動解題教學過程中，教師與學生互動發生的時機很關鍵。在學生充分思考的基礎上，教師何時介入，產生怎樣的互動會直接影響學生的學習效果。
　　子曰：“不憤不啟，不悱不發?！卑此未祆涞慕忉專骸皯嵳撸那笸ǘ吹弥猓汇撸谟远茨苤?；啟，謂開其意；發，謂達其辭?！笨梢?，“憤”就是學生對某一問題正在積極思考，急于解決而又尚未搞通時的矛盾心理狀態。這時教師應對學生思考問題的方法適時給予指導，以幫助學生開啟思路，這就是“啟”?！般笔菍W生對某一問題已經有一段時間的思考，但尚未考慮成熟，處于想說又難以表達的另一種矛盾心理狀態。這時教師應幫助學生指導思路，使學生能自主地發現事物的本質屬性，這就“發”。因此，在互動解題教學中，教師介入互動掌握在學生思維過程中的“憤”、“悱”點和學生的認知結構出現失衡狀態時是最理想的。根據學生在解題思維過程中的“憤”、“悱”點和認知結構失衡發生的時機，教師介入互動可分為三個時期：解題前、解題中、解題后。
　　3.1解題前
　　按照Polya的怎樣解題表來說，解題分為四個階段：理解題目、擬訂計劃、執行方案、回顧。而在這四個階段中，理解題目是至關重要的，有人說，70%的時間應花在理解題意和擬訂方案上，30%的時間用于執行方案和反思。所以，教師要教會學生在解題的第一階段如何運用Polya的問題鏈來監控自己的思維過程，加強對題目的理解，建立已知條件與待解決問題的聯系。一般來說，解題前的互動以師生語言交流為主。
　　
　　案例1：2007年蘇州市中考數學試題第29題：設拋物線y=ax+bx-2與x軸交于兩個不同的點A（-1，0）、B（m，0），與y軸交于點C，且∠ACB=90°.
　?。?）求m的值和拋物線的解析式；
　?。?）已知點D（1，n）在拋物線上，過點A的直線y=x+1交拋物線于另一點E.若點P在x軸上，以點P、B、D為頂點的三角形與△AEB相似，求點P的坐標.
　　（3）在（2）的條件下，△BDP的外接圓半徑等于?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖.
　　首先，我給學生5分鐘的時間去讀題，增強對題目的感性認識。然后，我對學生強調自己在遇到問題的時候是如何提問自己和他人的，目的就是讓學生也去模仿這種做法。
　　師：你會把相關的已知條件標注在圖形中嗎？如果會，請你盡可能地標注出來。
　　師：要求m就是要求什么？如何轉化？
　　生：點的坐標與相應線段的長是有聯系的，所以求m轉化為求線段OB的長。
　　師：線段OB應放置于哪個圖形中去求？請討論！
　　有人說放在直角三角形OCB中，也有人說放在直角三角形ACB中，經過試驗卻發現缺少條件。在一番討論后，有一部分人說可以運用射影定理，而另一部分人還尚未清楚。此刻，正好達到了學生思維過程中的“憤”點，是互動交流的最佳時機。
　　師：題目所給條件用完了嗎？是否還有隱含條件？
　　生：C點坐標可求。CO垂直AB。
　　此刻，我在黑板上用彩色粉筆把射影定理的基本圖形用彩色粉筆勾勒出來?！芭叮瓉砣绱恕！焙袈曇黄?，學生恍然大悟。
　　本題第（2）問的解決需具備較高的數學能力和素養，要有較強的數學直覺能力。教師在平時教學中要注重對學生的數學直覺能力及感性認識的培養。
　　師：P點的位置確定嗎？
　　生：不確定！
　　師：抓住條件，能否以靜制動？
　　經過提示，給學生交流討論的時間。有的學生在研究三角形ABE。最后，學生發現∠EAB=45゜。
　　師：相似關系有什么性質？
　　生：對應角相等，對應邊成比例。
　　師：對應關系確定嗎？為什么？
　　通過這一問，加強學生對三角形PBD的研究。這里，正好體現了合理猜想與畫草圖的思想和方法，應該提醒學生大膽猜想點P的位置并在圖中畫出來，以幫助思考。當學生研究出∠EAB=∠PBD=45゜之后，也即確定了相似對應中的一對角，而另外兩對角的對應關系是不確定的，后面需要分類討論，我采用了小組合作學習方式讓學生解決后續問題。
　　3.2解題中
　　學生在掌握一定的解題技能和具備一定的元認知能力后，必須對他們進行適當的訓練，讓他們用老師教的方法去指導自己的思維，慢慢內華為自己的能力。解題的專題訓練往往通過習題課的形式進行。在學生已經有了一定的方法基礎上，師生無謂的互動會浪費課堂時間，影響課堂效率。所以，在這樣的課堂中，教師要善于去找學生的共性問題，在發生過程中去處理。有的教師喜歡把學生容易出的問題在解題前打預防針，也有的老師喜歡在解題后再去亡羊補牢。從心理學角度講，學生有對錯誤的體驗才能更清楚認識錯誤的原因并及時去糾正。
　　案例2：一艘輪船在點A處沿北偏東60度方向航行300km到達B處，然后沿北偏西30度方向航行300km到達C處，（1）求A、C兩點的距離；（2）求點C處在點A什么方位上？
　　我在教學本題的過程中，事先未作任何講解，而是讓學生先嘗試用老師講的一些方法來試著啟發自己去尋求思路。在解題過程中，我發現有一部分同學直接使用勾股定理計算出AC。此刻，我覺得時機已經成熟，“悱”點以到，便提問了幾個同學，問他們為什么可以使用勾股定理。結果是他們講不出理由，覺得憑感覺三角形應該是直角三角形。此時，引導學生討論，將問題轉化到焦點上，即說明∠ABC=90゜，最后引導學生去延長DB至F，用隱含的AE與DF的平行關系得到∠ABF=60゜。
　　在學生已有對問題熟悉或較深刻認識得前提下，師生的互動會給學生有一種“頓悟”的感覺，之后能更深刻地領會和牢記這些解題方法和技巧。
　　3.3解題后
　　按照Polya的解題步驟，對問題的解決一定要進行檢驗、反思和回顧。在解題教學的后期，師生互動更應該集中在數學思想方法的交流上。教師要引導學生發現數學問題千變萬化，具體解法靈活多樣，但其中蘊含的數學思想是不變的、固定的。很多教師對學生說的很多的是：“記住這種方法啊！”而解題后的反思與交流會讓學生知道老師為什么要這樣做，還有什么其他的方法，碰到類似的問題如何處理，形成一定的解題經驗。
　　因此，在教學中要注意引導學生善于開展反思活動，反思是解題活動不可缺少的重要環節。長此以往，學生的反思能力及解題能力將會得到極大的提高。解題回顧對于元認知水平有限的初中學生來說，還沒有形成良好的習慣，也不知道該回顧什么。教師不僅要從學生的角度去分析他們是如何去思維的，而且要讓學生的思維方式“刻意地”朝科學的方向發展。為了知道“學生怎么想”和讓“學生這樣想”，解題后的互動回顧反思是最好的方式，給學生暢所欲言的機會，教師和學生會互相學到許多思維的閃光點。
　　在案例1中，得出∠EAB=45°和∠PBD=45°是難點。這里學生怎么想到要求這兩個角和如何去求是我們很關注的問題，可以說是經驗的問題，或者說有“圖感”和“數學直覺”的因素。因此，教師就要把突破問題的關鍵方法“研究△AEB和△PBD中確定元素和不確定元素，以靜制動”明確地告訴學生，抓住不確定△PBD中的確定元素∠PBD，并把點P的坐標轉化為相關線段的長構造直角三角形求得∠PBD=45°。在做好方法反思和總結后，讓學生繼續去求∠EAB=45°，使學生進一步對求角如何構造直角三角形的方法加以鞏固。
　　4.互動解題指導方式
　　按教師在互動解題教學中介入的時間長短和指導的詳盡程度可分為如下三種指導方式。
　　4.1全面型指導
　　對于新課教學，特別是難度較大而需作為范例教學的，在互動解題過程中，教師與學生通常要保持較長時間的互動。教師往往按照解題四部法按部就班地對學生進行解題指導，讓學生形成思路并做好規范的解題格式。
　　4.2關鍵點指導
　　所謂關鍵點指導，就是在學生的解題過程中，捕捉學生思維網絡中的斷點，和學生共同探討，以達到對問題更深層次的認識。這種指導方式比較適合學習水平和能力較高的學生。
　　4.3提綱型指導
　　提綱型指導方式就是在解題過程師生共同探討出解題的整個計劃和布局，然后由學生分別獨立完成后續工作。這種指導方式比較適合于復習課。
　　5.結語
　　師生互動解題教學方式在師生群體間建立起了平等對話、互相學習、取長補短的建構主義學習模式，增強了學生的元認知能力，提高了學生的解題能力。因此，在平時的課堂教學中，教師要把握好師生互動的方式和切入點。
　　
　　參考文獻
　　［1］張金.師生互動式數學課堂教學的研究與實踐［D］.河北：河北師范大學，2005.
　?。?］張奠宙，李士锜，李俊.數學教育學導論［M］.北京：高等教育出版社，2003.
　?。?］G.Polya.怎樣解題：數學思維的新方法［M］.上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?007.
　　［4］黃興豐，李士锜.數學課堂師生對話的形式與內容［J］.天津：數學教育學報，2007，2：20-23.
　?。?］李煒.在解題中學解題——單墫教授解題思想評介［J］.天津：數學教育學報，2008，2：17-20.