主成分分析在綜合評價中的應用

摘 要：應用主成分分析原理，以較小的綜合變量取代原有的多維變量，并且能客觀的確定權數，避免主觀隨意性。把原指標綜合成幾個主成分，再以這幾個主成分的貢獻率為權數構成加權平均，構造出一個綜合評價函數。給出了多指標復雜系統的排序方法，它排除了各指標間的相關性和量綱的不一致性，使系統信息不重疊，得到的排序結果合理可信。

關鍵詞：主成分分析；綜合評價；排序

中圖分類號：F22 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2012）19-0219-05

引言

排序問題在我們日常生活中經常碰到，對單指標系統中的各樣本點進行排序，可按指標值的大小排序就可以了，而對多指標系統中的各樣本點要進行排序就不能按各指標值的大小這一簡單原則進行了，一個常用方法是對各指標進行總和平均后，按平均值的大小進行排序。但有時由于各指標間的量綱不一樣，就不能進行加法運算了。再者，即使各指標間的量綱一致，可以作加法運算，而各指標反映系統側面不同，對系統的作用不一樣，作加法運算時，存在一個權系數的處理問題，而權系數的取定沒有一個統一的標準，這樣就不能得到統一的排序結果，同時，在很多情況下各指標間有一定的相關性，甚至是嚴重相關，從而使得這些指標所提供的信息在一定的程度上有所重疊，求和時系統信息會重疊計算，也不能得到令人信服的排序結果，本文利用主成分分析原理，對多維空間實行降維處理，在系統變異信息損失最小的情況下，得到線性無關的幾個主成分，利用主成分得分，對系統中各樣本點進行綜合評價，這樣就排除了各指標間由于量綱不同和信息重疊所造成的影響，不用人為規定權系數，排除主觀因素的干擾，使得計算結果更加科學、真實可靠。

一、主成分分析法原理[1]

設系統中各指標向量的均值為，協方差陣為，考慮線性組合：

y1=l′1X=l11x1+l21x2+…+lp1xpy2=l′2x=l12x1+l22x2+…+lp2xp………………………………yp=l′pX=l1px1+l2px2+…+lppxp （1）

由隨機向量變換的性質，顯然有：

var（yi）=l′i∑li （i=1，2，…，p）

cov（yi，yj）=l′i∑lj （i，j=1，2，…，p）

在式（1）中的y1，y2，…，yp分別稱為X=（x1，…，xp）′的第一主成分，第二主成分，…，第P主成分，如果它們滿足：（1）yi與yj（i≠j）不相關；（2）y1是X的一切線性組合中方差達到最大的；y2是與y1不相關的一切X的線性組合中方差達到最大的，…，yi是與y1，…，yi-1（i=1，2，…，p）都不相關的一切X的線性組合中方差達到最大的。（3）yi=l′ix的系數滿足l′ili=

1（i=1，2，…，p）。

下面主要是導出li及如何選擇K（K

設X=（x1，…，xp）′的協方差陣為∑，λ1≥λ2≥…≥λp≥0為其特征值，?詛1，?詛2，…?詛p為對應的單位化正交特征向量，則第i個主成分為:

yi=?詛′iX=?詛1ix1+?詛2ix2+…+?詛pixp （2）

且有var（yi）=?詛′i∑?詛i=λi （i=1，2，…，p） cov（yi，yj）=?詛′i∑?詛i=0 （i≠j）

上述結論表明X的主成分是以∑的單位化正交特征向量為系數的線性組合，第i個主成分的系數是對應于第i個特征值λi的單位化特征向量，其方差為λi。

利用主成分的主要目的是降維，所以一般情況下要選取K（K

為了說明各主成分yi概括原變量信息的大小，我們通常用ai=來表示，并稱它為主成分yi的方差貢獻率，而稱ai為前K主成分的累計方差貢獻率。因此主成分個數K的大小就由累計貢獻率來確定，一般情況下取K使得累計貢獻率達到80%以上，即（ai）100%≥80%。

二、應用實例

我們對23家家電類上市公司2008年的1月的財務指標作主成分分析，設定綜合評價指數對23家公司進行排序，并用聚類分析驗證了排序的正確性，這6個財務指標分別為:每股盈利x1（元），每股凈資產x2（元），主營利潤率x3（%），凈資產收益率x4（%），負債率x5（%），每股公積金x6（億元）。數據來源于武漢證券公司，數據（見表1）：

首先，將數據標準化處理，然后將處理后的數據，利用SAS軟件，可得指標x1，x2，…，x6的相關系數矩陣為:

R= 1.0000 0.3793 1.0000-0.0627 0.1673 1.0000 0.9287 0.2122 -0.1150 1.0000-0.2134 -0.4582 0.1852 -0.1637 1.0000 0.3316 0.8670 0.0329 0.2176 -0.3358 1.0000

從相關系數矩陣可看出，x1與x4，x2與x6之間強相關，系統信息有重疊，計算出相關系數矩陣的特征值、特征向量及其貢獻率（見表2）：

表2 貢獻率及累計貢獻率

由上表可知，當主成分個數為3時，累計貢獻率已經有了87.01%，所以主成分個數取三個即可，與上述特征值對應的特征向量（見下頁表3）：

則其對應的主成分為:

y1=0.484429x1+0.496377x2-0.025010x3+0.426082x4-0.335658x5+

0.473393x6

y2=0.453670x1-0.432727x2-0.321221x3-0.209738x4+0.188846x5-

0.396159x6

y3=0.196254x1+0.057543x2+0.804400x3+0.171089x4+0.530876x5+

0.003727x6

從主成分的得分可看出，第一主成分y1主要是x1，x2，x4，x6的系數決定的，并且權重值相差不大，由各指標的實際意義，可知第一個主成分主要反映了企業的收益水平和資產的增利水平;第二主成分y2中，x1系數最大，x2系數最小，可知第二個主成分主要經營策劃能力，即以少的資產獲得較大的利潤，第三主成分y2中x3的系數最大，x5的系數次之，其他系數較小，可知第三個主成分則集中反映了企業經營能力和負債償還能力。

對三個主成分按貢獻率加權的評價系數W為:

W=y1+y2+y3

利用上頁表2中的數據，可計算出y1，y2，y3，那同時就能計算出W，從而得出綜合評價結果，并排名（見表4）：

從表中我們可以看出，排在第一位的是春蘭股份。春蘭公司是中國白色家電的龍頭企業，也是中國最早生產家用空調的企業之一，它現已成為中國家喻戶曉的品牌，空調產品國內市場占有率始終名列前茅，洗衣機、摩托車等產品也具有較高的知名度和市場占有率，核心競爭力非常突出。近年來，公司通過新建空調生產線和收購集團公司空調資產方式，空調產能持續放大，在年產空調器200萬臺的基礎上，又新建了8條掛壁空調生產線，該項目竣工后，將新增產能300萬臺，使春蘭空調的生產能力達到500萬臺。這8條新生產線集自動化精密機械、自動化檢測與控制以及計算機管理等多項技術于一身，其空調產品在節能、環保、靜音以及整機性能等方面擁有更突出優勢，春蘭電子商務公司依托集團已有的光纖網絡信息系統及春蘭星威連鎖店營銷、配送體系，使公司擁有了獨立、完整的銷售網絡體系，為公司產品建立了強大的電子商務平臺，增強公司的核心競爭力。

排在第二位的是浙江陽光，浙江陽光股份主營業務是節能電光源、照明電器、儀器設備的開發、制造和銷售；照明電器、技術以及生產所需原材料和設備的銷售及進出口國際業務、國際貿易等，主要產品為一體化電子節能燈、大功率節能熒光燈管及配套燈具、各類特種光源及燈具。該公司強抓管理，降低成本，使產品的市場占有率進一步提高，經濟效益穩步增長。

排在最后一位的是ST博訊。目前，公司主營業務為：偏轉線圈、金屬漆包線、會聚磁組件等電子元器件的研究、開發、生產、銷售；計算機軟硬件研究、開發、銷售，信息服務與計算機系統集成、通信設備與元器件生產、經營。由于上市當年就出現巨額虧損，引起股市嘩然，被中國證監會查實有虛假上市行為，受到國務院的通報批評，并成為中國第一家被刑事起訴的上市公司。在近日的報道中，雖然實現凈利潤254.42萬元，同比增長54.82%，但該公司主導產品偏轉線圈（DY）的毛利率下降約19%，是由于該市場競爭日愈激烈而造成的。

為了驗證上述分析的正確性，下面我們用AVE法對上述23個公司進行聚類分析。從分類圖和偽t2及偽F統計量可知，23家上市公司可分為4類，分類情況（見表5）：

從聚類進程圖中我們可以明顯的看出，公司可以分為四類（見上表）：春蘭股份、浙江陽光、美的電器、康佳電器、海信電器、青島海爾為一類，是綜合實力最強的公司，它們的評價系數排名也在前列。而ST華發、ST湖山、萬家樂、ST博訊成一類，它們的評價系數排名排在后面。為實力較差的一類公司。

結束語

主成分分析法是一種多指標分析方法，目前已有不少研究者將它應用于社會中的很多方面。本文利用主成分分析法以及聚類分析對公司效益進行綜合評價中的結果是合理的，利用主成分分析法進行綜合評價有很多優點，可以消除評價指標之間的相關性；另外，在綜合評價函數中，各主成分的權數為其貢獻率，它反映了該主成分包含原始數據的信息量占全部信息量的比重，這樣確定權數是客觀、合理的，它克服了某些評價方法中人為確定權數的缺陷；這種方法的計算比較規范，便于在計算機上實現。

參考文獻：

[1] 范金城，梅長林.數據分析[M].北京:科學出版社，2002.

[2] 何曉群.現代統計分析方法與應用[M].北京:中國人民大學出版社，1998:281-315.

[3] 王學仁，王松桂.實用多元統計分析[M].上海:上海科學技術出版社，1990.

[4] 吳翎.應用數理統計[M].北京:國防科學技術大學出版社，1995:285-303.

The Main Composition is Analysed Application One in Comprehensive Appraisal is Firm

WANG Li-fang

（The Guangzhou Engineering Vocational College，Guangzhou 510726，China）

Abstract:The principle of main composition analysis is applied to provide comparing taxis of multi-index complicated system.The taxis eliminates relativity among indexes and non-coherence of dimension.Therefore the taxis results without overlapping are convincing in system information.

Key words:principle component analysis;comprehensive assessment;judge the value[責任編輯 王曉燕]