初談反例在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

【摘 要】數(shù)學(xué)家蓋爾鮑姆說(shuō)過(guò)：“一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題如果用一個(gè)反例予以解決，給人的刺激猶如一出好戲劇?！痹诮虒W(xué)中利用反例可以有效地激發(fā)學(xué)生的求知欲，通過(guò)反例能使學(xué)生加深對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解。反例不但是糾正錯(cuò)誤的常用方法，而且是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的重要途徑，通過(guò)反例的構(gòu)造可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和創(chuàng)造思維。綜合運(yùn)用反例，不僅可以達(dá)到以反輔正、殊途同歸的目的，而且能很好地培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生的反向思維能力。

【關(guān)鍵詞】反例；構(gòu)造；思維邏輯；推導(dǎo)

在數(shù)學(xué)發(fā)展史中，有很多著名的命題從正面百思不得其解，而舉反例使問(wèn)題得到了解決，反例與證明具有同等重要的地位。當(dāng)我們要證明某一命題成立時(shí)，必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的邏輯推導(dǎo)，而否定這個(gè)命題，通過(guò)列舉出與這個(gè)命題結(jié)論相矛盾的例子，即舉反例就可以了。舉反例往往會(huì)收到事半功倍的效果。

一、數(shù)學(xué)反例及其應(yīng)用

所謂數(shù)學(xué)中的反例，是指符合某個(gè)命題條件，而又不符合該命題結(jié)論的例子。簡(jiǎn)單的說(shuō)，反例是一種指出某命題不成立的例子。數(shù)學(xué)講究邏輯，證明要言必有據(jù)。但是世上所謂“證明”，其目的是為了說(shuō)服別人相信某個(gè)真理，而說(shuō)服人的方法有許多種，其中就有舉反例。若舉不出反例，則該事不能不真，相反，若舉出了反例，則該事必為假。

例：在一個(gè)三角形中，內(nèi)切圓的半徑為r，外切圓的半徑為R，最長(zhǎng)的高為H，則r +R≤H。

分析：要證明此問(wèn)題，從正面不容易下手，但是我們可以畫出圖像加以分析然后構(gòu)造反例。舉特殊化的例子：若這個(gè)三角形為等邊三角形，則r=H／3，R=2H／3，于是上述結(jié)論正確。

二、反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的功能

1.反例是使學(xué)生加深理解概念的重要工具

數(shù)學(xué)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，是思維的細(xì)胞。學(xué)好數(shù)學(xué)概念是學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，提高數(shù)學(xué)思維能力的基礎(chǔ)。所以，加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)。事實(shí)上，現(xiàn)實(shí)中的中學(xué)教學(xué)的概念教學(xué)不盡人意。學(xué)生往往對(duì)數(shù)學(xué)概念缺少深刻的理解。就數(shù)學(xué)教學(xué)而言，素質(zhì)教育提倡的是為理解而教。教學(xué)上需要用不同的策略處理，用不同的理論指導(dǎo)。就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容而言，常規(guī)訓(xùn)練是否對(duì)概念形成有作用，是否有利于理解領(lǐng)會(huì)，還需要從內(nèi)容方面剖析概念形成的過(guò)程，要構(gòu)造自己理解的概念，從而達(dá)到學(xué)習(xí)目的。

在初二學(xué)習(xí)函數(shù)定義時(shí)：在某一變化過(guò)程中，存在兩個(gè)變量x，y。當(dāng)變量x在某一允許變化范圍內(nèi)任取一個(gè)值。通過(guò)某種對(duì)應(yīng)法則，使得都有唯一的y值與之對(duì)應(yīng)，則稱y是x 的函數(shù)，記作y=f(x)。其中x叫做自變量，y叫因變量。

表面上，同學(xué)們都認(rèn)為這個(gè)定義不需要解釋也能明白、理解。仔細(xì)分析下來(lái)，很多學(xué)生對(duì)上述定義中“任取”和“唯一”這兩個(gè)詞語(yǔ)理解不透。于是教師就在此處引用幾個(gè)反例來(lái)說(shuō)明所謂“任取”和“唯一”所指的具體含義。

2.反例是否定命題的重要方法

由于反例在否定一個(gè)命題時(shí)具有特殊的重要意義。因此在教學(xué)中充分利用反例的這一特點(diǎn)適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用反例，可以收到事半功倍的效果。

例如：要說(shuō)明“兩個(gè)無(wú)理數(shù)的積仍是無(wú)理數(shù)”的結(jié)論成立，只要舉出一個(gè)相反的例子駁斥它就可以了。如:因?yàn)?×=6，而6不是無(wú)理數(shù)，故這個(gè)結(jié)論不成立。

3.反例是數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)的重要手段

利用反例，可使學(xué)生克服思維定勢(shì)，有利于培養(yǎng)思維的靈活性。在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生在教師習(xí)慣性程序的影響下容易形成固定的思維模式，即定勢(shì)。思維定勢(shì)對(duì)解決相同類型的問(wèn)題有積極的作用，而對(duì)解決變形的問(wèn)題則會(huì)起到消極作用。思維定勢(shì)是客觀的存在，學(xué)生的認(rèn)識(shí)過(guò)程是在現(xiàn)有的定勢(shì)上發(fā)生的。舉反例就是一種解決問(wèn)題有效的數(shù)學(xué)思維方法。利用反例，克服思維定勢(shì)，抑制產(chǎn)生負(fù)遷移，有助于培養(yǎng)思維的靈活性。

例：一元二次方程ax2+bx+c=0有實(shí)根的充要條件是△≥0。

分析：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)這是對(duì)的，但在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)這是錯(cuò)誤的。由此，可舉反例：

①ix2+i=0?圯x=+i或-i，其判別式△=02-4i2＞0。

②ix2-i=0?圯x=±1，其判別式△＜02+4i2<0。

所以對(duì)復(fù)系數(shù)一元二次方程，△≥0既不是方程有實(shí)根的充分條件，也不是方程有實(shí)根的必要條件。由此可見，囿于定勢(shì)會(huì)產(chǎn)生墨守成規(guī)、機(jī)械記憶等負(fù)面效應(yīng)，此時(shí)舉反例恰恰是解決這一弊端的有力方法。

三、歷史上偉大的反例構(gòu)造

在數(shù)學(xué)的發(fā)展史中，數(shù)學(xué)家一直猜想：“連續(xù)函數(shù)在其定義區(qū)間中，不可導(dǎo)點(diǎn)是有限的?！痹S多年來(lái)數(shù)學(xué)家們一直認(rèn)為這是個(gè)正確的結(jié)論，但是一直未能給出相應(yīng)的證明！直到后來(lái)我們偉大的數(shù)學(xué)家Weierstrass在1872年構(gòu)造出了一個(gè)處處連續(xù)又處處不可導(dǎo)的函數(shù)，為上述猜想做了一個(gè)否定的終結(jié)：

f(x)=ancos(bnx) 01

反例的構(gòu)造是一種非常重要的數(shù)學(xué)技能，由于數(shù)學(xué)本身的抽象性，使得反例的構(gòu)造不是一件輕而易舉的事情，所以我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中應(yīng)重在展示反例構(gòu)造的思維過(guò)程，經(jīng)常進(jìn)行訓(xùn)練！當(dāng)然這不是一件簡(jiǎn)單容易的事情，需要長(zhǎng)期不斷地努力和探索！

四、結(jié)束語(yǔ)

本文闡述了數(shù)學(xué)中反例及其應(yīng)用，同時(shí)也收集了一些與教材相關(guān)的重要反例，它使我們體會(huì)到用反例來(lái)解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題帶給人的愉悅感，也讓我們意識(shí)到反例在教學(xué)中具有不可忽視的作用。適當(dāng)?shù)膽?yīng)用反例可提高教學(xué)質(zhì)量，同時(shí)也能促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展。

【參考文獻(xiàn)】

[1]方初寶：數(shù)學(xué)分析選講[M]，南寧：廣西人民出版社，1986-86-152

[2]席振偉：數(shù)學(xué)思維方式[M]，南京，江蘇教育出版社，1995

[3]羅增儒：數(shù)學(xué)解題學(xué)引證[M]，西安，陜西師范大學(xué)出版社，1997

[4]沈山劍：教育實(shí)踐研究2002（1）-46-47

（作者單位：四川省廣安市五福初級(jí)中學(xué)）