遞推數(shù)列通項求法的幾種常用類型

【摘 要】求數(shù)列的通項公式在高考中是最為常見的題型之一，根據(jù)遞推數(shù)列求出數(shù)列通項既可考查等價轉(zhuǎn)化與化歸這一數(shù)學思想，又能反映考生對等差與等比數(shù)列理解的深度，本文試著對幾類遞推數(shù)列求通項問題作一些具體的探求。

【關(guān)鍵詞】遞推數(shù)列通項；等價轉(zhuǎn)化；等差；等比數(shù)列

類型1：由an與Sn給出的數(shù)列遞推關(guān)系，可利用an與Sn的關(guān)系求通項。

已知Sn求an的問題在高考中屢屢出現(xiàn)，此類題一般題中不直接給出數(shù)列{an}中an+1與an的遞推式，而是把其本質(zhì)特征加以隱藏，給出Sn與Sn-1的遞推式或Sn與an的遞推式，這時首先需運用恒等式an+1= Sn+1-Sn(n∈N※)，通過代入或作差，轉(zhuǎn)化為an+1與an的遞推式，使問題得以解決。

例1 設(shè)數(shù)列{an}的首項a1=1，前n項和Sn滿足關(guān)系式：3tS-(2t+3)S=3t(t＞0，n=2，3，4...)：

(1)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列，并求出an；

(2)設(shè)數(shù)列{an}的公比為f(t)，作數(shù)列{bn}，使b=1，b=f(n=2，3，4...)，求b;

(3)求和：b1b2-b2b3+b3b4-…+b2n-1b2n-b2nb2n+1。

解析：(1)先把題中給出的Sn與Sn-1的遞推式轉(zhuǎn)化為an與an+1的遞推式。

由3tSn-(2t+3)Sn-1=3t(t＞0，n=2，3，4…)，得3tSn+1-(2t+3)Sn=3t(t＞0，n=1，2，3，4…)，

后式減去前式得3tan+1-(2t+3)an=0，

∴=(n=2，3，4...)

把a1=1即S1=1代入條件得S2=，而a=。

∴= ∴=(n=1，2，3，4...)，

由定義知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，公比為，

∴a=

(2)f(t)=，

b=f==b+(n=2，3，4...)，

∴b-b=(n=2，3，4...)，由定義知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，公差為，∴b=b+(n-1)d=。

(3)由b=可知{b2n-1}和{b2n}是首項分別為1和，公差均為的等差數(shù)列，于是：b=，∴b1b2-b2b3+b3b4-…+b2n-1b2n-b2nb2n+1=b2(b1-b3)+b4(b3-b5)+…+b2n(b2n-1-b2n+1)=-(b+b...+b)=-?n?+=-(2n+3n)。

說明：解題時要特別注意正確運用等差或等比數(shù)列的定義，注重思維的嚴密性。如(1)中在導出=(n=2，3，4...)后，還不能判斷數(shù)列{an}是等比數(shù)列。

類型2：求形如“an=an-1+f(n)，其中{f(n)}的前有限項可求和”的通項。

此類題型一般可利用疊加法求其通項公式，即可通過作恒等變形“an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1”，疊加求和得通項。

例2 已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an=3n-1+an-1(n≥2)。（1）求a2、a3；（2）證明：a=。

(1)解：∵a1=1，∴a2=3+1=4，a3=32+4=13.

(2)證明：由已知an-an-1=3n-1，故an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=3n-1+3n-2+…+3+1=。

類型3 求形如“=f(n)，其中{f(n)}的前n項的乘積容易化簡”的通項。

此類題型一般可利用疊乘法求其通項公式，即可通過作恒等變形“a=?...?a”，疊乘求積得通項。

例3 設(shè)an是首項為1的正項數(shù)列，且(n+1)an+12-nan2+an+1an=0（n=1，2，3...），則它的通項公式是an= 。

解：對已知條件分解因式得(a+a)?(n+1)a-na=0

∵{an}是首項為1的正項數(shù)列，

∴an+1+an≠0，(n+1)an+1-nan=0，

=(n取1，2，3...)

則a=?...?a=?...?1=.

類型4 求形如“an+1=pan+q(p、q為常數(shù)，pq≠0，p≠1)”的通項。

這種題型一般有三種解法：

解法1：兩邊同除以pn+1得=+，數(shù)列{}即為類型2；

解法2：an+1-an=pan+q-(pan-1+q)=p(an-an-1)，數(shù)列{an+1-an}即為等比數(shù)列；

解法3：引入待定參數(shù)k，使an+1-k=p(an-k)，數(shù)列{an-k}即為等比數(shù)列。要求出k，只需把所構(gòu)造遞推式與原遞推式比較得(1-p)k=q，故k=.可求得其通項公式為a=+ap。

遞推數(shù)列通項公式求法具有一定的技巧性，學生不易掌握，但常用的方法是利用待定系數(shù)、換元將遞推數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題來解決。希望廣大學生在解答這類題型時不斷總結(jié)提高。

【參考文獻】

[1]許永忠、董則榮，由數(shù)列的遞推公式求通項的常用方法［J］中學數(shù)學，1990年09期

[2]葛萬春，遞推公式an+1=Aan+B巧解［J］高中數(shù)學教與學，2003年01期

[3]王峰，求遞推數(shù)列通項常用策略［J］高中數(shù)學教與學，2006年04期

（作者單位：廣西河池市鳳山縣高級中學）