如何有效地溝通數學知識的內在聯系

【摘 要】把數學知識上下溝通，左右逢源，把平時所學的零碎的知識片段，編織成網，使其系統化、整體化，是初中生學好數學必須具備的能力，這種能力，不是自然形成的而是通過教學引導逐步訓練而成，邊學邊總結，將知識逐步系統化、整體化這種習慣一旦養成，學生會在數學領域便會獲得較大的效益。

【關鍵詞】初中生；數學知識；內在聯系

一元二次方程的根的判別式知識在初中數學中占有一定比例，就如何使學生熟練的掌握，巧妙的運用，談談自己以下幾點的教學體會：

一、復習回憶時 加強新舊知識的內在聯系

引入新課的課題之前，利用一點時間對前一段知識進行復習，新課開始請學生回憶思考：用求根公式法解一元二次方程的步驟是什么？為何在代入求根公式之前要先計算一下b2-4ac的值？在把系數代入求根公式前，必須寫出哪兩步?為什么要先寫這兩步?

例 用求根公式法解方程：2x2+10x-7=0。

解：因為a=2，b=10，c=-7，

b2-4ac=102-4×2×(-7)=156＞0……

在解此方程，為什么在把系數代入求根公式前，要先寫出a=2，b=10，c=-7和b2-4ac=102-4×2×(-7)=156＞0兩步?是因為方程的根是由各項系數確定的，所以必須先確認一下a，b，c的取值，對于初學者來說尤其是寫清楚系數的+與-，這一步寫誤，影響題目的解答過程與結果，這就是先確認a，b，c的取值的原因； 又因為一元二次方程不一定有實數解，而有無實數解是由根的判別式決定的，所以必須先了解一下代數式b2-4ac的值，如果b2-4ac的值是負的，則方程無實數解，也就沒有必要繼續解下去了，這就是將一元二次方程各項系數代人根的判別式計算的原因。

這兩步雖然簡單，決定解答的正誤，是今后深入學習的基礎，充分顯示了知識之間的內在聯系，所以在學習新知識之前必須帶領學生走好這兩步。

二、題目分析時 理解概念之間的內在聯系

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中的b2-4ac叫做根的判別式，通常用記號Δ表示，即Δ=b2-4ac。顧名思義，此式能判斷一元二次方程是否有實數根存在，有什么樣的實數根存在，請看下列定理：如果ax2+bx+c=0是一元二次方程，則：

定理1，Δ＞0方程有兩個不等實數根；定理2，Δ=0方程有兩個相等實數根；定理3，Δ＜0方程沒有實數根；定理4，方程有兩個不等實數根Δ＞0；定理5，方程有兩個相等實數根Δ＝0；定理6，方程沒有實數根Δ＜0。

比較看出：概念之間的明顯聯系是：定理1，2，3與定理4，5，6是互逆關系。定理1，2，3的作用是用已知方程的系數，來判斷根的情況。定理4，5，6的作用是已知方程根的情況，來確定系數之間的關系，進而求出系數中某些字母的值。理清關系后再通過題目訓練加以強化：

例1：不解方程，判別方程5(x2+1)-7x=0根的情況。

分析步驟：

原方程變形為：5x2-7x+5=0——系數代入得：Δ=(-7)2-4×5×5=49-100＜0，——結論：原方程沒有實數根。

例2：已知一元二次方程ax2-3x-1=0關于x有實數根，試求a的取值范圍。

師生探討：首先要看清ax2-3x-1=0是一元二次方程，所以有a≠0這一隱含條件，又一元二次方程ax2-3x-1=0有實數根，∴△=b2-4ac=9+4a≥0，解不等式得：a≥-。即a的取值范圍是a≥-。

此題如果不確定該方程為二次方程，就要分兩種情況來討論，學生在討論時不能忘記a=0的情況，所有討論題要把所有問題考慮周到。知識之間是有區別和聯系的，通過比較我們就能弄清問題，加深印象，以至達到靈活運用的程度。

三、綜合訓練時 強化新學知識的內在聯系

知識是在不斷更新的，運用知識解答問題更是千變萬化，教師要引導學生在浩如煙海的問題中，如何以不變應千變。用根的判別式是用來判斷一元二次方程的根的情況，無非那么幾種情況，對準具體題目運用相應的概念去解決，只不過在選擇時，要把問題考慮全面，不要出現遺漏，要始終不能忘記知識之間是有聯系的這一通則。

例3：已知一元二次方程x2-4x+k=0有兩個不相等的實數根。

（1）求k的取值范圍；（2）如果k是符合條件的最大整數，且一元二次方程x2-4x+k=0和x2+mx-1=0有一個相同的根，求此時m的值；（3）是否存在k的值使方程x2-4x+k=0的兩根x1、x2滿足+=6？若存在，求出k的值；不存在，說明理由。

師生探討：（1）根據方程有兩個不相等的實數根可得出△＞0，求出k的取值范圍即可；（2）由（1）中k的取值范圍得出k的最大整數解，代入一元二次方程x2-4x+k=0中求出x的值，再根據兩方程有一個相同的根即可求出m的值；（3）根據根與系數的關系得出x1?x2及x1+x2的值，代入所求代數式得出k的值，再看k的值是否滿足（1）中k的取值范圍就可以了。

綜合題一般都是有兩到三道小題目組合而成的，但每一道小題之間聯系十分緊密，往往上一小題的結果，就是下一小題的的條件，而且小題與小題之間是逐步引深的。

有效的溝通數學知識之間的內在聯系，是初中數學教學的重要任務，我們每個初中數學教師在平時的教學中，不能孤立的講解知識，訓練題目，而要認真的剖析每個問題需要哪些相關的知識來解答，知識點之間，各個章節之間區別與聯系在哪里，通過不斷地探索，使學生掌握的數學知識不斷的完整化、系統化。

（作者單位：江蘇省邳州市岱山中學）