正弦曲線和x軸的圍成面積

高中課程已經初步涉及了微積分的相關知識。下面這個問題對于加深微積分思想的理解和拓展同學的思維很有幫助。

問題的描述非常簡單：計算正弦函數的圖像在[0，π]區間內和x軸圍成的區域的面積S，如下圖所示。

對于學過微積分基本定理的大學學生，這個問題非常簡單，圖像圍成的面積就是一個定積分。考慮到的原函數是，我們有，也就是說，這塊區域的面積是2。

要求高中學生掌握上述解法是不合理的，也完全沒有必要。我們所期望的，是他們根據微積分的思想用初等方法來解決。具體如何計算呢？

微積分的基本想法是“微小局部求近似”，然后“利用極限得精確”，這是要求高中同學有所理解的。具體到這個問題上來，我們把[0，π]等分為n個小區間，，i=1，2，…，n，每個區間的長度是。由于是連續函數，當n比較大的時候，我們期望每個小區間內的函數值變化不大，也就是用一個窄的矩形來近似它，矩形的高度可以選用這個小區間內任意一點的函數值，在這里，我們選用小區間的右端點的函數值。這樣一來，整個區域被近似為n個窄的矩形，它們的面積之和是S的一個近似：

當n趨向于無窮大的時候，我們得到S的精確值：

到此，我們用微積分的套路，把這塊區域的面積表示成了一個極限。這個極限很難直接求出，因為它的一般項是個正弦函數的求和。問題似乎變得更加復雜了。

在這里，我們將再次使用“微小局部求近似”和“利用極限得精確”的思想，用一個很巧妙的方法求出上述極限的值。

考慮一個圓心在原點的單位圓的上半部分，如下圖所示：

設想一只蝸牛以單位勻速率（速度的方向時刻在改變，而且是連續改變）從（-1，0）移動到（1，0）。由于半圓弧長為π，所以蝸牛總共所需要的時候也是π。我們把這段時間也均分成n小段，，i=1，2，…，n，每小段時間的長度是也是。當n比較大的時候，我們可以近似認為蝸牛移動的方向不變，這里，我們選取每小段時間的末尾時刻蝸牛爬行的方向做為整小段時間內蝸牛的方向。對于第i小段時間來說，蝸牛爬行方向和豎直方向的夾角是，蝸牛在水平方向的速率是，因此，蝸牛在這一小段時間內在水平方向爬過的距離就是。由此，蝸牛在整段時間內在水平方向爬過的距離T可以近似為，同樣的，當n趨向于無窮大的時候，我們得到T的精確值

最為關鍵的，在這個問題中，我們知道T的精確值，它就是從（-1，0）到（1，0）的線段的長度，T=2，所以，這意味著S=2。到此，問題解決。

在這個問題里邊，我們兩次使用了微積分的思想：“微小局部求近似”和“利用極限得精確”，為了把正弦曲線和x軸圍成的面積表示為一個極限的形式，我們近似每個小區間內函數值相同；為了求得這個極限的值，我們又近似蝸牛在一小段時間內方向不變。兩種近似，表象不同，卻根出同源，結合起來，不動干戈地解決了開頭提出的問題，這其中的奧妙，值得同學細細體味。