例談多解問題的教學誤區

在數學課堂教學實踐中，選用多解的題目為許多老師所喜愛。這樣的問題自然有它的諸多優點：解法上具有發散性，學生會從各自不同的角度思考出不同的解法；解法上具有梯度性，學生會從各自的思維水平上思考出一種或多種解法；解法上具有賞析性，便于相互交流，激發學生的熱忱。然而，由于對此類問題的認知、理解不同，在實際教學中存在著不同的處理方式，其結果也迥然不同。

不久前，筆者聽到一節初二年級的數學課《反比例函數復習》。聽課過程中，執教老師扎實的基本功、嚴謹的教學設計和精心的題目篩選給人留下了深刻的印象，然而在一道多解題目的講析上，筆者以為卻有一些商榷和思考之處：

【案例實錄】

題目：如圖1，已知直線y=x與雙曲線y=（k>0)在第一象限內相交于點A，且點A的橫坐標為4。

（1）求k的值；

（2）若雙曲線y=(k>0)上有一點B的縱坐標為8，求△AOB的面積.

本題是以兩種基本函數——反比例函數和正比例函數為基本素材，有機結合了平面直角坐標系中的點坐標的特征，考查了點坐標、函數解析式、圖形面積的求法等諸多知識點，具有一定的綜合性和代表性，并且在分析解題過程中能夠較好地滲透數形結合、轉化、方程等數學思想方法。值得一提的是，該題的第（2）個小問題具有多種解決思路，可以讓學生從多個角度來思考解決，充分展現出學生的思維能力。這位老師是這樣展開教學的：

師：（待學生充分思考后）誰來說說自己的解題過程呢？

生1：（教師板書過程）當x=4時，y=×4=2，所以點A（4，2），將點A代入y=中，解得k=8。所以反比例函數關系式是：y=。將y=8代入雙曲線中，解得x=1，所以點B（1，8）.

師：很好，那么△AOB的面積你是如何求的呢？

生1：過點B做HM∥x軸，交y軸于點H；過點A做MN∥y軸，交x軸于點N，交HM于點M（如圖2），則得到矩形ONMH.

師：然后再用矩形ONMH的面積減去其它的三個三角形的面積就得到了△AOB的面積，是嗎？

生1：是的，結果等于15。

師：這種方法我們可以稱之為補矩形法。還有其它的求解△AOB的面積的方法嗎？

生2：先求得直線AB的解析式為y=-2x+10（如圖3），然后求出它與x軸的交點M坐標（5，0）。

師：然后用△OMB的面積減去△OMA的面積，即得到△AOB的面積。這與剛才同學的解題思路是類似的。不過這里所補的是一個三角形，這種方法我們可以稱之為補三角形法。

“補三角形”、“補矩形”都是“補形法”表現形式，是解決此類求面積問題一種常用而且有效的方法。然而執教老師卻越俎代庖，將其簡單帶過，既沒有板書過程，也沒有給其他學生以充分的時間來理解和消化，感覺有些操之過急。

師：還有沒有其它方法求△AOB的面積呢？

（學生沒有反應，教師組織學生進行交流討論，并進行點撥指導。）

生3：過點B作CD⊥x軸，交直線OA于點C，過點A做AH⊥BD（如圖4）。這樣將△AOB分割成△BCO和△BCA。

師：非常好！該同學所講的方法我們稱之為分割法。大家聽明白他的意思了嗎？

（學生反應寥寥，教師對此又進行了詳細的過程講解。）

“分割法”是求圖形面積是一種常用的方法。然而對于此問題來講，采用“分割法”的思路明顯比“補形法”提高了思考要求，它要求學生能夠看出分割后的兩個三角形的聯系，并能正確地找出、計算出底邊和高。在較短的思考時間里，對于一般的學生來講期望過高。

師：其實這道題還有一種解法。

（“啊？還有啊！”多數學生不禁驚訝起來，同時也有少數學生悄悄地抱怨：“要那么多的解法有什么用呢？！”）

師：我們可以求得線段OA=，AB=，OB=（如圖5），由此可判定△AOB為直角三角形，∠OAB=90°，則S△AOB=××=30。我們看，這是方法可以直接求出△AOB的面積，但它需要先確定△AOB的形狀，因此我們稱之為“定型法”。

師：現在我們再看求△AOB面積的四種解法，我們發現他們都各具特色。補形的兩種解法，思路清晰、計算簡單，今后解決此類問題時，這種解法應當作為首選。分割法變化較多，計算上容易出問題，而定型法雖然直接可求，但是具有局限性，而且要求事先能夠做好準確判斷，因此比較來看后兩種方法應該少用、慎用。

這種“定型法”的講授，事實上是完全在執教老師的主觀意愿之下，強加給學生的，非學生之所想。另外，教師直接對這四種解題方法進行比較評析，完全取代了學生的理解判斷，而且有些評析言之過重。

【案例評析】

從以上的案例教學過程可以看出，執教老師所精心選擇的多解問題的效能并未得到有效的發揮，相反卻抑制了學生的思考、壓抑了課堂氣氛。這反映出在多解問題教學處理上存在著一定的認識誤區，在數學中應盡量避開。

1.多解問題應該服務于教學方向，不應孤立存在。數學課堂教學的主要目的是幫助學生學習數學知識，提高分析水平和思維能力，而并非在于解答題目時技巧的訓練。因此我們在選用多解問題時，要明確問題的教學方向，分析解答思路時數學知識的鞏固、數學方法的運用和數學思想的滲透等著重方面，適度地淡化技能技巧，一味追求解法的“多”、“巧”和“新”則是不足取的。在這個課例中，這道題目分析講授時間長達近30分鐘，占了整堂課的近四分之三，事實上成為了課堂教學的重點。而應該清楚認識的是，本堂課的教學目的是反比例函數復習，這個題目耗時過長，使得反比例函數其它很多相關知識沒有得到很好的復習，影響了整個課堂教學目標的達成。

2.多解問題應該產生于學生思考，不應強加包辦。數學題目的設計可以是千變萬化的，學生的思維也是豐富多彩的，而學生思維豐富性的養成與老師所給予的空間往往息息相關。教師應該多一些激勵，讓學生用自己的思維方式去辨析思考，自發得出問題的答案；少一些評判和包辦，因為它無異于給學生的思維上了一道枷鎖，使得學生今后遇到此類問題就會不再進行思考，而傾向于模式化的操作。事實上，對于學生個體而言，解題方法的優劣是因人而異的，只要是學生自己思考出來并能正確解答的，對他而言就是最好的方法。盡管在別人看來，他的解法或許很繁瑣、可笑，但這種解法是自己得出的，是最適合自己的。

3.多解問題應該側重于通解通法，不應一概而論。多解問題的解法時常具有梯度，有的解法容易想到，有的解法很難想到，這事實上為不同層次的學生提供了思維的空間。但是，我們在教學時應該面對的是全體學生，講授的時候應該照顧不同層次學生的理解水平，因此方法的講授應該有所側重，重點講授大多數學生容易理解的，而且具有普適性的解法，對于一些技巧性較高的解法，則可以略作點撥，供學有余力的學生再做進一步的思考。案例中， “補形法”和“分割法”確實是解決此類問題的通用解法，尤其是“補形”的兩種方法，學生容易理解和接受，執教老師應該面向全體著重講授；“分割法”雖然是通法，但是真正理解接受，并能正確運用的學生并不多，可以點撥引導后，讓學生課后思考。至于“定型法”，則可有可無，若有學生想到，可略作分析，供學生開拓眼界。由此看來，多解問題，解法雖多，但需要正確把握好側重點，而不能本末倒置。

（蘇興震、陸鈞，張家港市合興初級中學，215626）