高中數(shù)學(xué)解題中的人生智慧解析

日本教育家米山國藏指出：“學(xué)生在中學(xué)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識在進(jìn)入社會后，幾乎沒什么機(jī)會應(yīng)用，因而這種作為知識的數(shù)學(xué)通常在出校門后不到一兩年就忘了，然而不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，那種銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)思想方法，卻長期在他們的生活與工作中發(fā)揮著作用。”[1]筆者不禁追問：我們每天都在進(jìn)行的高中數(shù)學(xué)解題是怎樣在學(xué)生今后生活和工作中發(fā)揮作用的？數(shù)學(xué)解題形式演繹的背后又蘊(yùn)含著怎樣的理性之美、閃爍著哪些智慧之光？正如張奠宙、柴俊在《欣賞數(shù)學(xué)的真善美》中所說的，“數(shù)學(xué)的真善美往往被淹沒在形式演繹的海洋里，需要大力挖掘、用心體察才能發(fā)現(xiàn)、感受、體驗和欣賞”[2]。

一、欣賞高中數(shù)學(xué)解題思想方法的辯證之美——啟迪哲理人生

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求：“通過高中數(shù)學(xué)教學(xué)，努力向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法及辯證唯物主義觀點(diǎn)，使學(xué)生養(yǎng)成用運(yùn)動、發(fā)展、變化的觀點(diǎn)認(rèn)識世界的思維習(xí)慣，并能用普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)辯證地看問題，培養(yǎng)他們分析問題的意識。”高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)也是實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的有效途徑。

1.轉(zhuǎn)化化歸——因勢利導(dǎo)、促進(jìn)矛盾對立面相互轉(zhuǎn)化

高中數(shù)學(xué)解題中處處體現(xiàn)著轉(zhuǎn)化化歸思想：化繁為簡、化難為易、化高次為低次、化多元為一元、化未知為已知……“轉(zhuǎn)化化歸”是數(shù)學(xué)解題中最具有代表性、普遍性的思想方法，是數(shù)學(xué)解題的靈魂。

例1：如何計算不規(guī)則土地的面積？

求解方案：計算不規(guī)則土地面積→計算不規(guī)則曲邊圖形的面積→計算曲邊梯形的面積→無限分割→累加求和→近似取極限，問題得解。

在這一問題的解決過程中，曲與直、一與多、分與合、動與靜、精確與近似、有限與無限、質(zhì)變與量變、離散與連續(xù)、具體與抽象、特殊與一般……這一對對貌似非此即彼、水火不容的矛盾對立面借助“轉(zhuǎn)化化歸”這一思想方法和諧統(tǒng)一在一個數(shù)學(xué)問題解決過程中。事實(shí)上，數(shù)學(xué)題中的矛盾普遍存在，卻又對立統(tǒng)一：目標(biāo)與條件，已知與未知，常值與變量，確定與隨機(jī)，分析與綜合，歸納與演繹，猜想與證明……面對矛盾雙方，找準(zhǔn)化歸的“橋梁”，矛盾自然不攻自破，迎刃而解。

人類社會又何嘗不是這樣？黑夜與白晝、真理與謬誤，正義與邪惡、丑惡與善良……面對普遍存在的矛盾，我們無需憂慮也不要驚慌，要勇于探求不同對立面的最佳契合點(diǎn)，因勢利導(dǎo)，促使事物向良性方向發(fā)展。我們有理由相信，在一個有組織、有秩序的社會里，各種矛盾對立面可以各得其所、和而不同，正如溫總理在哈佛大學(xué)的演講中所說的，“和諧以共生共長，不同則相輔相成”。

2.數(shù)形結(jié)合——辯證地分析問題，學(xué)會靈活變通、雙管齊下

華羅庚曾指出：“數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事非。”在高中數(shù)學(xué)解題中，除了化歸思想以外，學(xué)生使用頻率較高的就是數(shù)形結(jié)合思想，這方面的題例不勝枚舉。尤其在解決函數(shù)問題、向量問題、復(fù)數(shù)問題時，如果只從代數(shù)角度摳定義、定理，套公式、模式，往往事倍功半，但若從數(shù)形結(jié)合角度入手，有意識地聯(lián)系圖像，“看圖說話”，解法就很簡單。類似的，我們在生活中處理問題也要避免僵化、單一，遇事要嘗試變換角度，辯證看待一個問題的兩個方面，在解決困難時，才能靈活變通、雙管齊下。

3.分類討論——遇事不能搞一刀切，而要區(qū)別對待、各個擊破

例2：（1）解不等式3ax2+(2a-3)x-2＞0；

（2）已知函數(shù)f(x)=x3-3ax-1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間。

求解這兩個問題，共同點(diǎn)就在于含有參數(shù)，所以答案的形式也要依賴于給定參數(shù)的值，因此必須分類討論，各個擊破。通常初學(xué)者面對這類問題，總是難以理解：數(shù)學(xué)不是應(yīng)當(dāng)答案確定的嗎？為什么還有多種情況？各種情況又是怎么分類呢？其實(shí)關(guān)鍵就在于分類標(biāo)準(zhǔn)的確定要滿足“不重不漏”。通過這類題目的訓(xùn)練，可以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)并不都是像初中學(xué)習(xí)的那樣只有一個確定的解。分類討論能力強(qiáng)的人，就能明白：遇事不能搞一刀切，生搬硬套、一竿子打死都是要不得的。數(shù)學(xué)中不存在解決所有題目的“萬能法寶”，所謂“萬能公式”也只能解決一類問題而已，同樣，生活中也不存在解決所有難題的“金鑰匙”，只能像解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題一樣，學(xué)會隨機(jī)應(yīng)變、各個擊破。

二、欣賞高中數(shù)學(xué)解題過程的意境之美——感悟智性人生

1.磨刀不誤砍柴工

例3：

（1）設(shè)f(θ)=，求f()；f(θ）最大值。

（2）求值：（1＋tan1°）（1＋tan2°）（1＋tan3°）…（1＋tan45°）＝ 。

面對型（1）的給值求值題，若直接代入求值，繁瑣且易錯，即使算對了，到求最值時也會因為目標(biāo)太大，以失敗告終。通常參考答案的解法是“先化簡，然后再求值”。面對型（2）的求值題，若直接死算，也是繁瑣且通常算不出答案的。此類題的通法是“先嘗試找規(guī)律并證明，再利用結(jié)論解題”。此題，就必須先證明結(jié)論：若α+β=45°，則（tanα+1）（tanβ+1）=2，再代入原式得結(jié)果。

此兩例雖然所用知識不同，但解題策略異曲同工，都是“特殊→一般→特殊”。先準(zhǔn)備好解題的“利器”，再動手計算，省時省力又高效，正所謂“磨刀不誤砍柴工”。

2.退一步海闊天空

例4：（1）求值：cos20°cos40°cos80°

（2）求函數(shù)值域：y=

解：（1）

原式＝＝

（2）原式＝=1+。即化為反比例型，再由圖像得解。

這兩個例子原表達(dá)式工整、簡潔，可解題中，我們卻不得不打破這種“美”，從方便解題的全局考慮化簡為繁，退還為原式本來的面目。以退為進(jìn)，反守為攻，出其不意。

3.只有強(qiáng)者才能通關(guān)

每次問學(xué)生哪部分較難拿分，大部分學(xué)生會說“圓錐曲線”，似乎這已成為他們心中永遠(yuǎn)的痛，事實(shí)上，這部分內(nèi)容命題趨勢是：“入口淺，重計算”，而學(xué)生實(shí)際得分率不高的主要原因是：一部分學(xué)生不自信，拿到圓錐曲線題，讀一遍，心里沒底就不假思索，胡亂答題，有人甚至干脆放棄。另有一部分學(xué)生，有思路沒底氣，更重要的是化簡技能不到位，以至于越化越繁，走進(jìn)死胡同。只有一部分“強(qiáng)者”憑借自信、勇氣、毅力和扎實(shí)的基本功，最終披荊斬棘，順利通關(guān)。

三、欣賞高中數(shù)學(xué)解題概念與符號的寓意之美——品味數(shù)學(xué)人生

習(xí)題講評課中活用數(shù)學(xué)解題中的名詞，往往會收到意想不到的效果。

在判斷函數(shù)f（x）=x+單調(diào)性時，常常會有部分學(xué)生不指明單調(diào)區(qū)間。講評時我們一方面向?qū)W生強(qiáng)調(diào)單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，一方面乘勢鼓勵部分后進(jìn)生：“以時間為橫軸，以成績?yōu)榭v軸，繪制的f（x）圖像有升有降是正常現(xiàn)象，老師希望你不要?dú)怵H，爭取在日后學(xué)習(xí)、生活中繪制出屬于你自己的單調(diào)遞增函數(shù)。”

“已知f（x）=x3-3ax-a，a≠0，x∈［-3，1］，若f（x）在x=-1處取得極值，直線y=m與y=f（x）的圖像有三個不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍。”在求最值時，有學(xué)生不管三七二十一，拿過來就求導(dǎo)，分析出極值，不比較與端點(diǎn)函數(shù)值的大小關(guān)系就直接當(dāng)最值來用。在錯題講評時，一方面給學(xué)生強(qiáng)調(diào)極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系，一方面鼓勵學(xué)生學(xué)習(xí)要踏踏實(shí)實(shí)，不斷積累，數(shù)學(xué)薄弱的要爭取做某一層次的“極大值”，成績優(yōu)秀的不要滿足于班級的極大值，力爭成為真正的“最大值”。

人生困境如難題，問題棘手不能“一步到位”，那就不妨像解題一樣：轉(zhuǎn)化“條件”，變換“目標(biāo)”，尋找“橋梁”，辯證分析，普遍聯(lián)系，靈活變通，問題自然解決。人生如題，遇事三思，向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)解題中的人生智慧，并使其學(xué)以致用，才無愧為真正的智慧數(shù)學(xué)教育！

參考文獻(xiàn)：

[1][日]米山國藏.數(shù)學(xué)的精神、思想和方法[M].毛正中，吳素華，譯.成都：四川教育出版社，1986.

[2]張奠宙，柴俊.欣賞數(shù)學(xué)的真善美[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2010（1-2）.

（皇甫立同，江蘇省淮陰中學(xué)，223002）