淺談小學數學中數形結合的體現與運用

摘 要 數形結合是數學中重要的思想方法之一。對于所要研究的代數問題有時可研究其表示的曲線、圖象等幾何圖形來得以解決，反之，對于圖形問題也可以通過其相應的代數問題加以解決，這樣的兩種相互之間的關系稱為“數形結合”。數和形的概念是有本質聯系的，數可以通過形來表現，形也可以用數來描述。數量關系借助圖形的特點，可以使許多抽象的概念和關系直觀化、形象化，甚至簡單化，而圖形問題。由于運用了數量關系的公式、法則和計算等手段后，又可使較為艱深的問題歸結為比較容易。處理的數量關系來研究。數形結合的思想方法體現了代數和幾何中最精彩的方面：幾何圖形的形象直觀，便于理解；代數方法的一般性、解題過程機械化、可操作性強，便于把握，因此，數形結合的思想方法是學好小學數學的重要思想方法之一，承載了為中學數學打好基礎的任務。

關鍵詞 小學；數形結合；體現；應用

數形結合的基本思路是：根據“數”的結構特征，構造出與之相適應的幾何圖形，并利用圖形的特性和規律，解決“數”的問題；或將圖形信息部分或全部轉換成代數信息，削弱或清除“形”的推理部分，使要解決的“形”的問題轉化為數量關系的討論。

小學數學教學研究的對象，概括起來就是數和形兩個方面。“數”與“形”是貫穿整個中小學數學教材的兩條主線，更是貫穿小學數學教學始終的基本內容。“數”與“形”的相互轉化、結合既是數學的重要思想，更是解決問題的重要方法。由于小學生年齡小，智力發展水平正處于形象思維為主，或由形象思維逐步向抽象思維過渡的階段。他們認識事物，其中包括對數學知識的理解，是從具體到抽象，從簡單到復雜

逐步提高的。因此，在實際教學中，必須揚長避短，充分體現數形結合的思想，并且很好的加以運用，這對于提高數學教學的質量，是很重要的。下面我們就若干例子加以說明。

一、看圖認數，進行數形結合的啟蒙

認識10以內的數，是小學生開始學習數學的最基礎的課題。教學中要求學生能夠結合實物和圖形一一對應地數，懂得數到最后的一個，表示的是一堆物品（或一組圖形）的總數。開始數數時，要學生把每個物品和數一、二、三、四、……，一一對應起來，通過許多種實物，逐步抽象出數的概念。例如，讓學生數3個人，3臺機器，3個圓，3個三角形等等，這就是數形結合的雛形，即圖形和數在表示個數的特性上統一起來了。由此種看圖認數的啟蒙，使學生明確上述每種物品的總數都是用\"3\"表示。然后，逐步撇開事物和圖形的具體內容，抽象出數，理解數的實際意義。

二、用直尺在“數軸”上作出表示數的點，給數形結合以實踐

用“數軸”上的點表示數，是數與形（\"數軸\"上的點）對應的體現。讓學生借助直尺的刻度，在確定了起點的直線上通過實際度量，作出表示數3，0.4和 等等的點，可以使學生明確任何一個數，總可以在此種直線上找到與它對應的點。這不僅使用\"直線上的點表示數\"的知識直觀地得到落實，并且通過如下的圖形（如圖1），

可以看出像8-3=5的算式的幾何形象，還能進一步理解減法的意義。這種實踐的意義，即通過數形結合的運用，使抽象的數直觀化和形象化。

三、數的大小關系，通過數形結合具體化

兩個數的比較，是按照表示數的點在數軸上的順序來理解其大小的。為了加深印象，可以讓學生觀察直尺上的數，特別是觀察用直線上的點新表示的數的左右位置，來確定其大小。對于分數大小的比較，更應運用數形結合來表示。如教分母相同或分子相同的兩個數的大小比較時，可以通過圓形圖或直線上的點表示數 （如圖2）來說明。

前者應使學生明確它們的分數單位相同，也就是每份的大小一樣，只要比較所含的份數的多少；而后者，表示所含的份數一樣，那就要比較哪個分數的每份（也就是分數單位）比較大。例如3/8<3/4。可以看出，借助圖形的特點，使兩數之間的抽象的關系具體化，從而容易為學生所理解。

四、以圖明義，歸納知識系統

正確地運用韋恩圖以滲透集合思想，如\"并集\"、 \"差集\"等在幫助學生理解加法和減法意義中的作用，是大家熟知的。另一方面，利用集合圈也能幫助學生直觀地理解一些數學概念的本質屬性，還能形象具體地揭示概念的內在聯系和區別，從而使學生獲得新的領語。

例如，要學生判別-1.5，-1，0，1，1.2，3，4，5，6，7，8，9中，哪些是整數，哪些是自然數；哪些是質數，哪些是合數時，在學生口答以后，再歸納整理成圖3的情形，學生就能直觀地理解它們之間的從屬關系和并列關系等。明確在整數范圍內，有負整數和自然數兩部分，而在自然數范圍內，則包括0、1，質數和合數三部分。這就是借鑒數形結合的研究方法，它使問題變得直觀易懂。

五、線段圖在析題中顯示作用

解答應用題的關鍵在于分析數量關系，而線段圖在表示數量關系中有重要的作用。它通過幾何圖形的直觀，使問題的內在聯系，即把數量關系形象具體的表示出來。例如，小明和小華同時從兩地出發，相向走來。小明每小時走4公里，小華每小時走5公里，4小時后相遇，兩地相距多少公里？

通過引導，學生就不難從圖4中看出兩種解法：①先算出兩人各行多少公里，再算他們的路程的和； ②先算出兩人每小時行的路程 （速度和），再算他們行的路程的和。

這說明，利用形來解決有關數的問題，不但能比較容易找到解題的途徑，而且使得解決問題的過程也較為簡單明了。

六、求面積和體積計算，是數形結合的綜合體現與運用

面積的概念是指組成這個圖形的封閉折線（或曲線）所圍平面部分的大小；而體積概念則指物體所占有空間的大小。它們是客觀物體的量和狀的綜合體現。通過圖表示物體的外形，用數來表示物體的大小，使數與形有機的聯系起來，并且把它們的特征和性質通過數量關系和公式表達出來，從而對概念的內涵有了更進一步的深入了解。

例如，求長方體的體積，我們總是把注意力集中在相交于一點的三條棱（即長、寬、高）的量數上；求三角形面積時，關心的卻是底與高的量數。并通過各自的計算公式求得體積和面積，把形的問題歸結為數量關系的研究。

七、利用數形結合，解決實際問題

利用數形結合解決實際問題，諸如解應用題、求面積體積等都可以列人其中。但最明確的體現，在小學里就數簡單的統計圖表，它們是數形結合的綜合應用。利用統計圖把事物之間的相互依存關系和數量特性形象、直觀的表現出來，易于看出其中規律性的東西，從而可避免用文字的冗長敘述，并且容易檢查有無錯漏。這是數形結合在解決實際問題時優越性的體現。條形統計圖容易表示各種數量的多少，便于管理人員了解產值增長的情況；折線統計圖使醫生知道病人體溫變化情況，便于對疾病作出診斷；扇形統計圖把作物分布面積告訴生產指揮人員，諸如此類的具體應用，是小學高年級學生能夠理解的。并且折線統計圖又是逐點描跡法的初步運用，為今后學習中學代數中作函數圖象的知識打下初步基礎。

作者簡介：王衛芳（1963-），女，四川人，新疆生產建設兵團農四師六十八團中學教師，研究方向：小學數學教育教學。