關于常微分方程教學內容的幾點思考

【摘 要】文章闡述了高校本科基礎課“常微分方程”教學內容選擇上的一些思考，建議該課程在教學時，應與數學建模、數學史以及數學軟件相結合，并且在內容的選擇上要結合專業特色。

【關鍵詞】常微分方程 數學建模 數學軟件 教改

【中圖分類號】O175 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2012）23-0025-02

目前有關非線性科學的研究方興未艾，這極大地促進了力學、物理、生物、地學、機械工程、通訊工程、電力工程和航空航天技術的發展。為了培養這方面的人才，這對非線性科學起奠基性作用的“常微分方程”的教學提出了新的要求。而另一方面，“常微分方程”更是后續課程“泛函”“偏微”“微分幾何”等的基礎。如何做到二者兼顧，新知識、新方法怎樣注入教學之中，如何用新的思路去改進教學方法，怎樣才能把時代的新要求貫穿于教學始終，這成了現代“常微分方程”課程教學面臨的新課題。由此，結合所在學校關于常微分方程的教學特點及自身經驗，本文對“常微分方程”課程教學的內容選擇上進行了一些思考。

一 結合數學建模

當前，大學生數學建模競賽越來越普及，研究生數學建模競賽也已開展，數學建模已成為高等院校提高素質教育及教學改革的重要手段。常微分方程模型是數學建模的重要方法之一。因此，這門課程的地位和作用將越來越重要。在教學中，通過大量、富有趣味性的實際例子突出數學的應用，讓學生學會運用“常微分方程”建模并分析實際問題是我們的目標。因此，在教學過程中應有目的地將社會經濟生活和現代科學技術的熱點問題引進來，體現用常微分方程知識求解實際問題的全過程，即“實際問題—數學模型—模型解答—結果分析—模型改進—實際應用”。在教學過程中可采用以下幾個典型的微分方程模型（如人口增長模型；傳染病SIS模型；捕食-被捕食模型等）和現實熱點問題（如碳定年法；核廢料的處理問題等）。將常微分方程的理論、方法與解決實際問題有機地結合起來。其原則是既注重理論性強、方法多樣及技巧性強等特點，又要體現利用常微分方程進行數學建模思想等特點，力爭實現理論嚴密性、方法多樣性和應用廣泛性相結合。

二 結合歷史背景

數學理論大都是從現實具體問題中抽象出來的。如果直接將抽象理論灌輸給學生，容易使學生不知所云，很難激發學習熱情，很難營造一個良好的教學氛圍。本人在教學過程中，往往結合數學史，從而引出每個階段的授課內容，即為什么研究這個問題，在這個過程中有什么有趣的故事可以介紹給同學，從而提高學生的學習興趣。弄清楚每個理論的來龍去脈及發展的經歷，對學生數學素養的提高及科學探索精神的培養都是非常有益的，如在“平面定性理論”的授課過程中可以結合數學史。1841年，劉維爾證明黎卡提方程不存在初等函數積分表示的解，而法國數學家們研究的三體問題就不能用已知函數解出，從而運動的穩定性問題就不可能通過考察解的性態而得到。因而要求數學家們開始從方程本身（不求解）直接討論解的性質。龐加萊最終給出了從方程本身找出答案的訣竅。從1881年起，龐加萊獨創出常微分方程的定性理論，創造了一套只通過考察微分方程本身就可以回答關于穩定性等問題的方法，并且在個別章節的講解中還可以結合科研前沿，從而讓學生對常微分方程的面貌有一個概略的印象。通過上述事例，就可以讓學生感受科學研究的一般思維、過程及原理，這對于培養學生的數學邏輯能力很有幫助。

三 結合數學軟件

目前已進入信息時代，計算機已普及應用。正是因為計算機技術的發展，才引發了混沌、孤立子及分形等新現象的發現，使用計算機數學軟件可大大促進數學包括常微分方程的教學、學習和研究。我國的常微分教程多偏重理論，求解析解，而忽視定性分析、數值模擬等實際應用。事實上，多數微分方程是很難或不能得到其解析解的，而我們通過數學軟件（Mathematica、Matlab和Maple），利用已有數據進行數值模擬，能很好地模擬模型的發展變化情況及長時間的動力行為，以便我們進行預測和評估。

四 結合專業特色

不難發現，學生在興趣愛好、就業和考研意向等方面存在著不同的差異，表現在數學知識需求和接受能力等方面不盡一致。結合到筆者所在學院具有三個本科專業的特點，在授課內容上也是結合專業特色因材施教。例如，對數學與應用數學專業的學生在教學過程中應加大研究性教學的力度，在課堂教學中采取“啟發式”和“討論式”的教學方法，使學生掌握數學科學的基本理論與基本方法，注重學生邏輯思維能力、創新能力的培養。對信息與計算科學專業學生注重介紹問題的背景，影響問題的主要因素及根據這些主要因素做出簡化假設，建立方程，并利用所得的數學結果解釋問題的現象，培養的學生具有良好的數學基礎，能熟練地使用計算機，初步具備在信息與計算科學領域的某個方向上從事科學研究，解決實際問題，設計開發有關軟件的能力。對金融數學專業在教學過程中，可以多列舉與金融相關的建模實例，從而使學生具有良好的數學素養，掌握金融數學的基本原理、方法熟練的計算機使用技能，能熟練運用數學知識和數據挖掘分析方法解決實際問題。

最后，在今后一段時期內，作者認為在常微分方程的教學改革中，應該把改革的重心放在課程內容選擇上。因為對于不同專業的學生，他們的需求和需要掌握的知識體系是不一樣的，因而從教學大綱、教學計劃到最后的授課內容，都應該積極地進行教研，并及時與社會需求相結合，更準確地了解社會對于學生的需求狀況及對學生知識掌握程度的需求。只有更充分的調研，才能讓學生有更好的發展。教改之路漫長且艱辛，需吾輩加倍努力。

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