數(shù)學(xué)在金融領(lǐng)域中的適用性和局限性

【摘要】人們現(xiàn)在認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)已經(jīng)成為金融學(xué)研究領(lǐng)域中常見的關(guān)鍵技術(shù)，它給金融學(xué)的發(fā)展帶來了巨大的活力。數(shù)學(xué)在金融領(lǐng)域中的應(yīng)用是可能的、必要的，但是也是有其局限的。金融數(shù)學(xué)自誕生以來經(jīng)過半個(gè)世紀(jì)不斷的擴(kuò)充和修正，現(xiàn)在已經(jīng)發(fā)展成為獨(dú)立的、具有理論研究?jī)r(jià)值和實(shí)踐研究?jī)r(jià)值的交叉學(xué)科。

【關(guān)鍵詞】金融數(shù)學(xué) 適用性 局限性

數(shù)學(xué)是一門古老的科學(xué)，具有悠久的歷史。同時(shí)數(shù)學(xué)還是一門應(yīng)用性的工具學(xué)科，具有很強(qiáng)的適用性，許多的學(xué)科領(lǐng)域都引進(jìn)了數(shù)學(xué)的方法來研究解決本學(xué)科的問題。數(shù)學(xué)的方法概括來說是利用理論模型引導(dǎo)人們的認(rèn)識(shí)由未知走向已知，而金融學(xué)是一門從經(jīng)濟(jì)學(xué)中分化出來的應(yīng)用性學(xué)科，實(shí)用性很強(qiáng)。它是利用理論模型把融通貨幣和貨幣資金從一種期望變成另一種期望，例如股票定價(jià)、期權(quán)定價(jià)模型，這些參數(shù)分別是期望紅利和期望收益變動(dòng)率，具有不確定性。正是這種理論模型的設(shè)計(jì)和對(duì)未來預(yù)期的不確定性，使數(shù)學(xué)和金融學(xué)存在著密不可分的內(nèi)在聯(lián)系。

一、數(shù)學(xué)方法在金融領(lǐng)域中應(yīng)用的可能性和必要性

金融學(xué)是以融通貨幣和貨幣資金的活動(dòng)為研究對(duì)象的，在金融活動(dòng)中存在著一定的數(shù)量關(guān)系，具有確定性、可計(jì)量性。金融活動(dòng)同經(jīng)濟(jì)活動(dòng)一樣既有外在現(xiàn)象的量的規(guī)定性，同時(shí)又有內(nèi)在的質(zhì)的規(guī)定性，這就決定了把數(shù)學(xué)方法應(yīng)用于金融活動(dòng)過程中是完全有可能的和必要的。金融活動(dòng)中存在著大量的數(shù)據(jù)應(yīng)用，比如證券、期貨交易等等存在著大量的數(shù)據(jù)，這就使定量分析、實(shí)證分析成為可能和必要。在金融領(lǐng)域研究中搜集和整理這些數(shù)據(jù)，并運(yùn)用數(shù)學(xué)模型對(duì)融通貨幣和貨幣金融活動(dòng)中的利率、匯率、貨幣供給與需求、收益率、價(jià)格指數(shù)、利率等數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)、分析，才能得出可靠的精確的結(jié)論。

數(shù)學(xué)具有邏輯和直觀、分析和推理、共性和個(gè)性的特征，表現(xiàn)出高度的抽象性、精確性和嚴(yán)密的邏輯性。由于數(shù)學(xué)具有抽象性的特點(diǎn)，所以在金融研究中可以很好地借助數(shù)學(xué)的方法，深入地透過金融的現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)金融問題背后的經(jīng)濟(jì)變量函數(shù)關(guān)系，使復(fù)雜的關(guān)系變得清晰可辨。由于數(shù)學(xué)的精確性，可以準(zhǔn)確地描述金融活動(dòng)過程中的數(shù)量關(guān)系，使人們可以輕易做出多少的判斷。嚴(yán)密的邏輯性使數(shù)學(xué)分析成為科學(xué)推理的主要手段，它可以對(duì)復(fù)雜難辨的邏輯關(guān)系進(jìn)行簡(jiǎn)潔明了的說明。如馬爾柯維茨運(yùn)用了適宜的數(shù)學(xué)方法證明了“不要把雞蛋放在一個(gè)籃子里”的道理，從而使金融投資理念由傳統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)型轉(zhuǎn)變成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)。阿羅與德布魯同樣運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法證明了一般均衡的存在，從而驗(yàn)證了斯密著名的“看不見的手”原理不再是一個(gè)假說，而是一個(gè)經(jīng)過嚴(yán)格論證的定理。

一般金融學(xué)理論研究中應(yīng)用數(shù)學(xué)方法主要有理論模型和實(shí)證分析兩種形式。理論模型是用數(shù)學(xué)語言來表述金融學(xué)中某一理論的基本內(nèi)容，實(shí)證分析是運(yùn)用實(shí)際的定量化的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來驗(yàn)證金融學(xué)中某一理論判斷的正確與否和適用性。這兩種方法是互相補(bǔ)充、相輔相成的。數(shù)量分析是前提，質(zhì)的規(guī)定性是結(jié)果。只有定量分析，沒有定性綜合判斷；只有定性綜合判斷，沒有定量分析都是不可能得出正確科學(xué)的判斷和可靠的結(jié)論的。

二、數(shù)學(xué)方法在金融領(lǐng)域中應(yīng)用的可行性

20世紀(jì)80年代末期和90年代初期，由于金融學(xué)和數(shù)學(xué)的交叉產(chǎn)生了一門邊緣性學(xué)科金融數(shù)學(xué)。金融數(shù)學(xué)就是現(xiàn)代數(shù)學(xué)和計(jì)算技術(shù)在金融領(lǐng)域中的應(yīng)用，運(yùn)用的主要現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論和方法有隨機(jī)分析、最優(yōu)控制、組合分析、非線性分析、多元統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)規(guī)劃等，金融研究對(duì)象主要是針對(duì)投資、債券、基金、股票、期貨、期權(quán)等金融工具和市場(chǎng)的理論和實(shí)踐進(jìn)行數(shù)量的分析研究。其核心理論是不確定條件下的最優(yōu)投資策略的選擇理論和資產(chǎn)的定價(jià)理論。其中套利、最優(yōu)和均衡是三個(gè)主要概念。金融數(shù)學(xué)學(xué)科的建立和發(fā)展，促進(jìn)了金融工具的創(chuàng)新和對(duì)金融市場(chǎng)的有效運(yùn)作，并且在公司的投資決策、開發(fā)項(xiàng)目評(píng)估和金融機(jī)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)管理中也得到了廣泛應(yīng)用。

（一）金融數(shù)學(xué)發(fā)展歷史

金融數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史最早可以追溯到1900年法國數(shù)學(xué)家巴謝利耶（Bachelier L）的博士論文“投機(jī)的理論”，文中首次運(yùn)用了布朗（Brown）運(yùn)動(dòng)來描述股票的價(jià)格變化，標(biāo)志著金融數(shù)學(xué)的誕生。1952年，馬爾柯維茨（H.Markowits）在他的博士論文中提出了資產(chǎn)組合選擇的均值方差理論。其意義是將人們?cè)瓉砥谕麑ふ摇白詈谩惫善钡南敕ㄒ龑?dǎo)到風(fēng)險(xiǎn)和收益的量化和平衡的理解上來。后來，夏普（William F Sharpe）和林特納（Lintner J）進(jìn)一步拓展了馬爾維茨的研究工作，提出了資本資產(chǎn)定價(jià)模型（簡(jiǎn)稱CAPM），緊接著米勒提出公司財(cái)務(wù)理論（MM理論），引發(fā)了第一次“華爾街金融革命”。馬爾柯維茨、夏普和米勒因?yàn)樗麄內(nèi)嗽诮鹑跀?shù)學(xué)中開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)獲得了1990年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。1973年，布萊克（Fisher Black）和斯克爾斯（M.Scholes）用數(shù)學(xué)方法給出了期權(quán)定價(jià)公式，后來，默頓（Merton R）對(duì)該公式進(jìn)行了發(fā)展和深化。這使得金融交易者和銀行家在衍生金融資產(chǎn)的交易中帶來了便利，推動(dòng)了期權(quán)交易的發(fā)展，成為第二次“華爾街金融革命”。斯克爾斯-默頓因此獲得了1997年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。馬爾維茨、夏普理論和布萊克、修斯公式一起構(gòu)成了金融數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，同時(shí)也奠定了研究新型衍生證券設(shè)計(jì)的新學(xué)科金融工程的理論基礎(chǔ)。

（二）金融數(shù)學(xué)主要理論

1.投資組合理論。就是選擇哪些資產(chǎn)進(jìn)行投資以及每項(xiàng)投資所占的比例，使得在一定的風(fēng)險(xiǎn)下預(yù)期收益率最高，或者是在一定預(yù)期收益率的前提下風(fēng)險(xiǎn)最小?；蛘呤怯娠L(fēng)險(xiǎn)與收益率相匹配而形成的效用最大。馬爾柯維茨用正態(tài)分布理論解決了投資組合問題，他用均值表示收益率，方差表示風(fēng)險(xiǎn)，將投資組合問題變?yōu)榫怠讲铌P(guān)系的優(yōu)化問題。

2.CAMP理論。在馬爾柯維茨的均值方差投資組合理論的基礎(chǔ)上，夏普、林特納和默頓研究了均衡競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)中金融資產(chǎn)的價(jià)格形成，提出了資本資產(chǎn)的定價(jià)理論，簡(jiǎn)稱CAMP。該模型意義為，證券投資的回報(bào)率與風(fēng)險(xiǎn)之間存在一定的定量關(guān)系，即因承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)而得到風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬的定量關(guān)系；所有投資者都在證券市場(chǎng)線上選擇證券，所選中的投資組合是投資者的有效函數(shù)與證券市場(chǎng)線的切點(diǎn)。夏普評(píng)價(jià)的關(guān)鍵就是求切點(diǎn)。這個(gè)理論在證券股價(jià)、投資組合的績(jī)效測(cè)定、資本預(yù)算和投資風(fēng)險(xiǎn)分析中得到了廣泛應(yīng)用。

3.Black-Scholcs期權(quán)定價(jià)公式。1973年，布萊克和斯克爾斯在論文“期權(quán)定價(jià)與公司負(fù)債”中提出Black-Scholcs公式（簡(jiǎn)稱B—S公式）。他們證明了期權(quán)的合理價(jià)格不依賴于投資者的偏好，即風(fēng)險(xiǎn)中性原則。由于B—S公式具有較強(qiáng)的實(shí)用性和可操作性，所以被廣泛用來制作各種金融衍生品的價(jià)格，是開發(fā)新金融產(chǎn)品的工具。同時(shí)也為套期保值與風(fēng)險(xiǎn)管理開辟了新的研究空間。

4.鞅理論。當(dāng)金融市場(chǎng)是有效假定的情況下，證券的價(jià)格可以等價(jià)于一個(gè)鞅隨機(jī)過程。由于鞅理論和方法在現(xiàn)代金融理論中的應(yīng)用，使得利用等價(jià)鞅測(cè)度的概念研究衍生證券定價(jià)的理論問題，得到的結(jié)果不僅深刻地揭示了金融市場(chǎng)的運(yùn)行規(guī)律，而且還提供了一套有效求解復(fù)雜金融衍生品的定價(jià)與風(fēng)險(xiǎn)管理的算法。

5.最優(yōu)停時(shí)理論。最優(yōu)停時(shí)理論是概率論中一個(gè)具有很強(qiáng)實(shí)用性的領(lǐng)域。運(yùn)用該理論研究具有固定交易費(fèi)用的證券投資決策問題，能夠給出具有兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)證券投資決策問題的簡(jiǎn)化算法和精確的數(shù)值解。這種在金融領(lǐng)域中的研究已經(jīng)取得了可喜的研究成果。

6.微分對(duì)策理論。微分對(duì)策理論主要是用來研究期權(quán)定價(jià)和投資決策問題。當(dāng)金融市場(chǎng)不滿足穩(wěn)定假定或出現(xiàn)異常波動(dòng)時(shí)，證券價(jià)格往往不符合幾何布朗運(yùn)動(dòng)，這時(shí)用隨機(jī)動(dòng)態(tài)模型研究證券投資決策問題在理論上和實(shí)踐上都存在較大偏差，用微分對(duì)策方法可以放松這一假設(shè)，針對(duì)最差情況進(jìn)行優(yōu)化，可以得到很強(qiáng)的投資策略。運(yùn)用微分對(duì)策理論研究金融領(lǐng)域中投資決策的重復(fù)對(duì)策、隨機(jī)對(duì)策、多人對(duì)策等前景廣闊。

7.智能優(yōu)化。智能優(yōu)化方法有遺傳算法、模擬退火算法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、小波分析等，把這些方法同傳統(tǒng)方法結(jié)合起來，應(yīng)用于風(fēng)險(xiǎn)控制和投資決策領(lǐng)域中具有廣闊的研究前景。國際上在這方面已經(jīng)取得了初步成果，我國也開始注重這方面的研究。

（三）金融數(shù)學(xué)的發(fā)展趨勢(shì)

數(shù)學(xué)在金融領(lǐng)域研究中建立模型是需要許多假設(shè)條件的，可是在金融活動(dòng)實(shí)際發(fā)展過程中，這些提前設(shè)定的假設(shè)條件有些與客觀事實(shí)會(huì)出現(xiàn)差距甚至抵觸，因此對(duì)實(shí)際問題的解決效果就不理想，范圍也十分狹窄，這就需要在數(shù)學(xué)方法上進(jìn)行改進(jìn)和發(fā)展。世界各國社會(huì)發(fā)展、金融背景和管理模式都不相同，要達(dá)到研究的目的，需要建立符合自己國情的金融模型和分析方法。例如CAPM只適合歐式期權(quán)而不適合美式期權(quán)。即使研究中假設(shè)條件比較合理，由于金融環(huán)境和社會(huì)需求不斷發(fā)生變化以及創(chuàng)新運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，也為金融數(shù)學(xué)提出了越來越多的實(shí)際問題，因此我們不斷的進(jìn)行探索和創(chuàng)新是金融活動(dòng)客觀實(shí)際發(fā)展的需要。實(shí)證研究是金融數(shù)學(xué)的一個(gè)主要方向。實(shí)證研究的基本程序是從金融市場(chǎng)現(xiàn)實(shí)中取得數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)并建立數(shù)學(xué)模型，然后揭示數(shù)據(jù)背后隱含的規(guī)律，最后返回?cái)?shù)據(jù)和現(xiàn)實(shí)中檢驗(yàn)結(jié)論的正確與否。如果在實(shí)證研究中離開了實(shí)際數(shù)據(jù)的支持和檢驗(yàn)，單純從概念到概念進(jìn)行定性分析，或者單純從模型到模型進(jìn)行邏輯推理，那就很難深入客觀地揭示金融市場(chǎng)的發(fā)展規(guī)律。

金融系統(tǒng)由于存在著多因素、非線性、不確定性而成為復(fù)雜的系統(tǒng)，尤其是金融市場(chǎng)具有波動(dòng)性、突發(fā)性、不完全性和不對(duì)稱性等特征，一般不可歸結(jié)為隨機(jī)問題，這就為金融數(shù)學(xué)的發(fā)展提出了較高的要求，因此這也成為金融數(shù)學(xué)發(fā)展面臨的重要課題。

三、數(shù)學(xué)方法在金融領(lǐng)域中應(yīng)用的局限性

金融學(xué)所研究的對(duì)象一般具有復(fù)雜性、流動(dòng)性、多變性、不確定性和不易計(jì)量的特點(diǎn)，同時(shí)還有許多非經(jīng)濟(jì)因素對(duì)其產(chǎn)生影響，其中包括政治的、軍事的、文化的、民族的、宗教的、道德的、制度的、心理的、歷史的等多種因素。而數(shù)學(xué)模型的表述意義和對(duì)現(xiàn)實(shí)的把握是相對(duì)的、有條件的，不是絕對(duì)的，一成不變的。建立數(shù)學(xué)模型的理論前提是需要一系列假設(shè)條件的，這些假設(shè)與現(xiàn)實(shí)金融活動(dòng)過程在某些時(shí)候有可能是完全不吻合的、抵觸的。如果出現(xiàn)了這種情況，數(shù)學(xué)模型就失去了它的表述意義和分析能力，對(duì)未來結(jié)果的預(yù)測(cè)也就很難找到最佳值和最佳方案。例如新古典學(xué)派在對(duì)一般均衡理論進(jìn)行數(shù)理分析時(shí)提出的十二個(gè)假設(shè)條件，在現(xiàn)實(shí)中很難完全滿足。再如次貸危機(jī)的產(chǎn)生、五大投資銀行的衰落，也都說明了這一點(diǎn)。

數(shù)學(xué)的方法不同與其他的研究方法，有其自身的獨(dú)特性。數(shù)學(xué)的方法能簡(jiǎn)練準(zhǔn)確地說明和表示一些金融活動(dòng)過程中的現(xiàn)象，但是數(shù)學(xué)的方法也是有其局限性的，不是萬能的，并不是所有的金融問題都可以用數(shù)學(xué)方法來進(jìn)行研究和解決，要根據(jù)具體的情況選擇好實(shí)用的范疇和研究對(duì)象。運(yùn)用數(shù)學(xué)方法研究金融領(lǐng)域中的問題首先要以質(zhì)的分析為前提，數(shù)學(xué)方法的分析是居于次要地位的。所以無論數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用多么嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)、數(shù)量關(guān)系多么完備，數(shù)學(xué)終究只能作為一種輔助工具，任何夸大數(shù)學(xué)方法應(yīng)用的做法都不是明智之舉。例如，20世紀(jì)90年代，一些經(jīng)濟(jì)學(xué)家試圖用隨機(jī)微分和非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法研究金融問題，時(shí)至今日研究效果也不理想，偏差太大，不能用于實(shí)際應(yīng)用。還有金融的高階邏輯問題目前還不能在數(shù)理公理化體系中得到解決。

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作者簡(jiǎn)介：楊曉玄，男，北京大學(xué)光華管理學(xué)院學(xué)生。