數學在金融領域中的適用性和局限性

2012-12-31 00:00:00楊曉玄

時代金融 2012年35期

【摘要】人們現在認識到數學已經成為金融學研究領域中常見的關鍵技術，它給金融學的發展帶來了巨大的活力。數學在金融領域中的應用是可能的、必要的，但是也是有其局限的。金融數學自誕生以來經過半個世紀不斷的擴充和修正，現在已經發展成為獨立的、具有理論研究價值和實踐研究價值的交叉學科。

【關鍵詞】金融數學適用性局限性

數學是一門古老的科學，具有悠久的歷史。同時數學還是一門應用性的工具學科，具有很強的適用性，許多的學科領域都引進了數學的方法來研究解決本學科的問題。數學的方法概括來說是利用理論模型引導人們的認識由未知走向已知，而金融學是一門從經濟學中分化出來的應用性學科，實用性很強。它是利用理論模型把融通貨幣和貨幣資金從一種期望變成另一種期望，例如股票定價、期權定價模型，這些參數分別是期望紅利和期望收益變動率，具有不確定性。正是這種理論模型的設計和對未來預期的不確定性，使數學和金融學存在著密不可分的內在聯系。

一、數學方法在金融領域中應用的可能性和必要性

金融學是以融通貨幣和貨幣資金的活動為研究對象的，在金融活動中存在著一定的數量關系，具有確定性、可計量性。金融活動同經濟活動一樣既有外在現象的量的規定性，同時又有內在的質的規定性，這就決定了把數學方法應用于金融活動過程中是完全有可能的和必要的。金融活動中存在著大量的數據應用，比如證券、期貨交易等等存在著大量的數據，這就使定量分析、實證分析成為可能和必要。在金融領域研究中搜集和整理這些數據，并運用數學模型對融通貨幣和貨幣金融活動中的利率、匯率、貨幣供給與需求、收益率、價格指數、利率等數據進行統計、分析，才能得出可靠的精確的結論。

數學具有邏輯和直觀、分析和推理、共性和個性的特征，表現出高度的抽象性、精確性和嚴密的邏輯性。由于數學具有抽象性的特點，所以在金融研究中可以很好地借助數學的方法，深入地透過金融的現象發現金融問題背后的經濟變量函數關系，使復雜的關系變得清晰可辨。由于數學的精確性，可以準確地描述金融活動過程中的數量關系，使人們可以輕易做出多少的判斷。嚴密的邏輯性使數學分析成為科學推理的主要手段，它可以對復雜難辨的邏輯關系進行簡潔明了的說明。如馬爾柯維茨運用了適宜的數學方法證明了“不要把雞蛋放在一個籃子里”的道理，從而使金融投資理念由傳統的經驗型轉變成嚴謹的科學。阿羅與德布魯同樣運用數學的方法證明了一般均衡的存在，從而驗證了斯密著名的“看不見的手”原理不再是一個假說，而是一個經過嚴格論證的定理。

一般金融學理論研究中應用數學方法主要有理論模型和實證分析兩種形式。理論模型是用數學語言來表述金融學中某一理論的基本內容，實證分析是運用實際的定量化的統計數據來驗證金融學中某一理論判斷的正確與否和適用性。這兩種方法是互相補充、相輔相成的。數量分析是前提，質的規定性是結果。只有定量分析，沒有定性綜合判斷；只有定性綜合判斷，沒有定量分析都是不可能得出正確科學的判斷和可靠的結論的。

二、數學方法在金融領域中應用的可行性

20世紀80年代末期和90年代初期，由于金融學和數學的交叉產生了一門邊緣性學科金融數學。金融數學就是現代數學和計算技術在金融領域中的應用，運用的主要現代數學理論和方法有隨機分析、最優控制、組合分析、非線性分析、多元統計、數學規劃等，金融研究對象主要是針對投資、債券、基金、股票、期貨、期權等金融工具和市場的理論和實踐進行數量的分析研究。其核心理論是不確定條件下的最優投資策略的選擇理論和資產的定價理論。其中套利、最優和均衡是三個主要概念。金融數學學科的建立和發展，促進了金融工具的創新和對金融市場的有效運作，并且在公司的投資決策、開發項目評估和金融機構風險管理中也得到了廣泛應用。

（一）金融數學發展歷史

金融數學發展的歷史最早可以追溯到1900年法國數學家巴謝利耶（Bachelier L）的博士論文“投機的理論”，文中首次運用了布朗（Brown）運動來描述股票的價格變化，標志著金融數學的誕生。1952年，馬爾柯維茨（H.Markowits）在他的博士論文中提出了資產組合選擇的均值方差理論。其意義是將人們原來期望尋找“最好”股票的想法引導到風險和收益的量化和平衡的理解上來。后來，夏普（William F Sharpe）和林特納（Lintner J）進一步拓展了馬爾維茨的研究工作，提出了資本資產定價模型（簡稱CAPM），緊接著米勒提出公司財務理論（MM理論），引發了第一次“華爾街金融革命”。馬爾柯維茨、夏普和米勒因為他們三人在金融數學中開創性的貢獻獲得了1990年諾貝爾經濟學獎。1973年，布萊克（Fisher Black）和斯克爾斯（M.Scholes）用數學方法給出了期權定價公式，后來，默頓（Merton R）對該公式進行了發展和深化。這使得金融交易者和銀行家在衍生金融資產的交易中帶來了便利，推動了期權交易的發展，成為第二次“華爾街金融革命”。斯克爾斯-默頓因此獲得了1997年諾貝爾經濟學獎。馬爾維茨、夏普理論和布萊克、修斯公式一起構成了金融數學的主要內容，同時也奠定了研究新型衍生證券設計的新學科金融工程的理論基礎。

（二）金融數學主要理論

1.投資組合理論。就是選擇哪些資產進行投資以及每項投資所占的比例，使得在一定的風險下預期收益率最高，或者是在一定預期收益率的前提下風險最小。或者是由風險與收益率相匹配而形成的效用最大。馬爾柯維茨用正態分布理論解決了投資組合問題，他用均值表示收益率，方差表示風險，將投資組合問題變為均值——方差關系的優化問題。

2.CAMP理論。在馬爾柯維茨的均值方差投資組合理論的基礎上，夏普、林特納和默頓研究了均衡競爭市場中金融資產的價格形成，提出了資本資產的定價理論，簡稱CAMP。該模型意義為，證券投資的回報率與風險之間存在一定的定量關系，即因承擔風險而得到風險報酬的定量關系；所有投資者都在證券市場線上選擇證券，所選中的投資組合是投資者的有效函數與證券市場線的切點。夏普評價的關鍵就是求切點。這個理論在證券股價、投資組合的績效測定、資本預算和投資風險分析中得到了廣泛應用。

3.Black-Scholcs期權定價公式。1973年，布萊克和斯克爾斯在論文“期權定價與公司負債”中提出Black-Scholcs公式（簡稱B—S公式）。他們證明了期權的合理價格不依賴于投資者的偏好，即風險中性原則。由于B—S公式具有較強的實用性和可操作性，所以被廣泛用來制作各種金融衍生品的價格，是開發新金融產品的工具。同時也為套期保值與風險管理開辟了新的研究空間。

4.鞅理論。當金融市場是有效假定的情況下，證券的價格可以等價于一個鞅隨機過程。由于鞅理論和方法在現代金融理論中的應用，使得利用等價鞅測度的概念研究衍生證券定價的理論問題，得到的結果不僅深刻地揭示了金融市場的運行規律，而且還提供了一套有效求解復雜金融衍生品的定價與風險管理的算法。

5.最優停時理論。最優停時理論是概率論中一個具有很強實用性的領域。運用該理論研究具有固定交易費用的證券投資決策問題，能夠給出具有兩個風險證券投資決策問題的簡化算法和精確的數值解。這種在金融領域中的研究已經取得了可喜的研究成果。

6.微分對策理論。微分對策理論主要是用來研究期權定價和投資決策問題。當金融市場不滿足穩定假定或出現異常波動時，證券價格往往不符合幾何布朗運動，這時用隨機動態模型研究證券投資決策問題在理論上和實踐上都存在較大偏差，用微分對策方法可以放松這一假設，針對最差情況進行優化，可以得到很強的投資策略。運用微分對策理論研究金融領域中投資決策的重復對策、隨機對策、多人對策等前景廣闊。

7.智能優化。智能優化方法有遺傳算法、模擬退火算法、人工神經網絡、小波分析等，把這些方法同傳統方法結合起來，應用于風險控制和投資決策領域中具有廣闊的研究前景。國際上在這方面已經取得了初步成果，我國也開始注重這方面的研究。

（三）金融數學的發展趨勢

數學在金融領域研究中建立模型是需要許多假設條件的，可是在金融活動實際發展過程中，這些提前設定的假設條件有些與客觀事實會出現差距甚至抵觸，因此對實際問題的解決效果就不理想，范圍也十分狹窄，這就需要在數學方法上進行改進和發展。世界各國社會發展、金融背景和管理模式都不相同，要達到研究的目的，需要建立符合自己國情的金融模型和分析方法。例如CAPM只適合歐式期權而不適合美式期權。即使研究中假設條件比較合理，由于金融環境和社會需求不斷發生變化以及創新運動的發展，也為金融數學提出了越來越多的實際問題，因此我們不斷的進行探索和創新是金融活動客觀實際發展的需要。實證研究是金融數學的一個主要方向。實證研究的基本程序是從金融市場現實中取得數據、分析數據并建立數學模型，然后揭示數據背后隱含的規律，最后返回數據和現實中檢驗結論的正確與否。如果在實證研究中離開了實際數據的支持和檢驗，單純從概念到概念進行定性分析，或者單純從模型到模型進行邏輯推理，那就很難深入客觀地揭示金融市場的發展規律。

金融系統由于存在著多因素、非線性、不確定性而成為復雜的系統，尤其是金融市場具有波動性、突發性、不完全性和不對稱性等特征，一般不可歸結為隨機問題，這就為金融數學的發展提出了較高的要求，因此這也成為金融數學發展面臨的重要課題。

三、數學方法在金融領域中應用的局限性

金融學所研究的對象一般具有復雜性、流動性、多變性、不確定性和不易計量的特點，同時還有許多非經濟因素對其產生影響，其中包括政治的、軍事的、文化的、民族的、宗教的、道德的、制度的、心理的、歷史的等多種因素。而數學模型的表述意義和對現實的把握是相對的、有條件的，不是絕對的，一成不變的。建立數學模型的理論前提是需要一系列假設條件的，這些假設與現實金融活動過程在某些時候有可能是完全不吻合的、抵觸的。如果出現了這種情況，數學模型就失去了它的表述意義和分析能力，對未來結果的預測也就很難找到最佳值和最佳方案。例如新古典學派在對一般均衡理論進行數理分析時提出的十二個假設條件，在現實中很難完全滿足。再如次貸危機的產生、五大投資銀行的衰落，也都說明了這一點。

數學的方法不同與其他的研究方法，有其自身的獨特性。數學的方法能簡練準確地說明和表示一些金融活動過程中的現象，但是數學的方法也是有其局限性的，不是萬能的，并不是所有的金融問題都可以用數學方法來進行研究和解決，要根據具體的情況選擇好實用的范疇和研究對象。運用數學方法研究金融領域中的問題首先要以質的分析為前提，數學方法的分析是居于次要地位的。所以無論數學方法的應用多么嚴謹科學、數量關系多么完備，數學終究只能作為一種輔助工具，任何夸大數學方法應用的做法都不是明智之舉。例如，20世紀90年代，一些經濟學家試圖用隨機微分和非參數統計方法研究金融問題，時至今日研究效果也不理想，偏差太大，不能用于實際應用。還有金融的高階邏輯問題目前還不能在數理公理化體系中得到解決。

參考文獻

[1]袁軍.金融數學研究綜述與展望.《商業時代》，2008.13.

[2]賈根良，徐尚.經濟學怎樣成了一門“數學科學”——經濟思想史的一種簡要考察.《南開學報》，2005.05.

[3]韓兆洲，鄧勇.從諾貝爾經濟學獎看經濟學研究的數學化趨勢，《南方經濟》，2004.02.

[4]林云彤.淺析數學方法在金融領域的應用，《財經界》，2010.05.

[5]孫宗歧，劉宣會.金融數學概述及其展望.《重慶文理學院學報》，2010.12.

[6]張明軍.淺談數學在金融領域的發展及應用.《甘肅科技》，2009.2.

[7]韋敏.對經濟學數學化的思考.《財經科學》，2003.03.

[8]楊民.反思經濟學的數學化.《經濟學家》，2005.05.

[9]張瑞蘭.經濟學數學化的理性思考.《生產力研究》，2006.04.

[10]曉欣，王朝科.經濟學運用數學的條件.《經濟經緯》，2008.02.

[11]薛佳佳，喬路芳.金融數學的現狀與發展.《大慶師范學院學報》，2011.5.