函數(shù)周期性與對稱性的探究與應用

隨著新課改的推進，新教材知識面的擴充和實際應用能力要求的提高，學生嚴重感到學習數(shù)學的困難，尤其是初中升入高中的學生尤其不適應高中數(shù)學，特別是在函數(shù)章節(jié)，因為它蘊涵著數(shù)學的數(shù)形結合思想，化歸思想，換元思想等.因此我認為新舊教材適當結合，仍有利于學生充分掌握函數(shù)的知識體系.在必修1中，函數(shù)的奇偶性重現(xiàn)教材，就是一個很好的例證.必修4中，從三角函數(shù)引出函數(shù)的周期性，是能讓學生充分理解有關知識的優(yōu)勢，仍是教材中必備的亮點.事實上，適當?shù)亟Y合函數(shù)的周期性和函數(shù)的奇偶性、對稱性，更能讓學生把握函數(shù)中數(shù)形結合的魅力.它不僅在高考中起著一定的解題作用，在競賽中也是常用的手法.本文針對函數(shù)的周期性和對稱性，略談自己的一些認識。

先讓我們了解下函數(shù)圖象的對稱性以及周期性的相關性質和常見結論.

一、 函數(shù)圖象關于直線對稱的一些性質：

1. 定義在上的函數(shù)，若，則函數(shù)的圖象關于直線對稱，反之，若函數(shù)的圖象關于直線對稱，則必有.

證明：若，設點為函數(shù)圖象上任意一點，

而點關于直線的對稱點為，，

點也在的圖象上，即函數(shù)的圖象關于直線對稱。

反之，若函數(shù)的圖象關于直線對稱，設點為函數(shù)的圖象上任一點，而點關于直線的對稱點也在的圖象上，

，令，則，。

2.定義在上的函數(shù)，若，則函數(shù)的圖象關于直線對稱，反之，若函數(shù)的圖象關于直線對稱，則必有：成立。特別地，當時，函數(shù)的圖象關于

對稱。當時，函數(shù)的圖象關于對稱，是偶函數(shù)。

3.函數(shù)圖象關于點對稱的性質：定義在上的函數(shù)，若恒成立，則函數(shù)的圖象關于點對稱，反之，若函數(shù)的圖象關于點對稱，則必有：

證明：若，設點為函數(shù)圖象上任意一點，

而點A關于點的對稱點為，

令，則，故

所以點B也在的圖像上。即的圖象關于點對稱

反之也成立。

特殊結論：當時，的圖象關于對稱，

當時，的圖象關于對稱，是奇函數(shù)。

二、 函數(shù)周期的一些性質

1. 函數(shù)周期的定義：一般地，對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當取定義域內(nèi)的每一個值時，都有，那么函數(shù)就叫周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫這個函數(shù)的周期。

2. 幾個常見結論：

（1） 若函數(shù)滿足對定義域內(nèi)的任意恒成立，則是以為一個周期的周期函數(shù)。

（2）若函數(shù)滿足對定義域內(nèi)的任意恒成立，則是以為一個周期的周期函數(shù)。

（3）若函數(shù)滿足對定義域內(nèi)的任意恒成立，則是以為一個周期的周期函數(shù)。

（4）若函數(shù)滿足對定義域內(nèi)的任意恒成立，則是以為一個周期的周期函數(shù)。

（5）若函數(shù)滿足對定義域內(nèi)的任意恒成立，則是以為一個周期的周期函數(shù)。

（6），則的周期T=3a；

（7）若函數(shù)滿足對定義域內(nèi)的任意恒成立，則是以為一個周期的周期函數(shù)。

3.函數(shù)的對稱性與周期性的常見聯(lián)系

（1）若定義在的函數(shù)的圖象關于直線和直線對稱，則函數(shù)必為周期函數(shù)，是它的一個周期。

（2）若函數(shù)關于點和點對稱，則函數(shù)必為周期函數(shù)，是它的一個周期。

（3）若函數(shù)關于點和直線對稱，則函數(shù)必為周期函數(shù)，是它的一個周期。

（4）由前文可知，若定義在的函數(shù)，滿足且，則函數(shù)必為周期函數(shù)，是它的一個周期。

三、探究應用

探究一.已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)，若對任意的，有，且，，求的值

簡析：由已知對恒成立，得，6為函數(shù)的一個周期。

探究二.已知函數(shù)的圖象關于點對稱，則點的坐標是（）

簡析一：設，任意給點，則點關于點的對稱點為，由，，聯(lián)立可解得，，故選.

簡析二：

由上文可知：定義在上的函數(shù)，若恒成立，則函數(shù)的圖象關于點對稱。則對稱點坐標為.

探究三：設函數(shù)上滿足，，且在閉區(qū)間上只有.試求方程在閉區(qū)間上根的個數(shù).

簡析：由且得，函數(shù)的圖象關于直線和直線對稱，所以10為函數(shù)的一個周期.又，故對任意滿足或的整數(shù)，都有.滿足以上兩個不等式的各有403個，

在閉區(qū)間上根有806個.

探究四.已知函數(shù)對任意都有，若的圖象關于直線對稱，且，則的值。

簡析：若的圖象關于直線對稱，函數(shù)的圖象關于直線對稱，函數(shù)對任意都有，令得，..10為函數(shù)的一個周期..