運用變式教學培養學生的思維能力

【關鍵詞】變式教學 思維能力 一題多解 一題多變 一題多用 多題歸一

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2012）12B-0038-02

習題用于訓練學生的思維，是教師將自己的思想、方法以及分析問題和解決問題的技能技巧傳授給學生的載體。在數學習題教學中，注重對學生進行變式訓練，既可以使學生避免陷入“題海”之中，又可以讓學生鞏固所學的知識，還可以使學生的思維能力得到培養與提高。下面結合初中數學的教學實例來談談如何進行習題變式教學。

一、一題多解，培養學生思維的發散性

“一題多解”是指對同一道題，從不同的角度出發，運用不同的思維形式，采用不同的方法去分析，從而獲得多種解題途徑。進行這種變式教學，既可以暴露學生解題的思維過程，又能夠拓寬學生的解題思路，使學生能熟練掌握知識的內在聯系，有利于培養學生思維的發散性。

例1.一項工程，如果由甲單獨做，正好在計劃規定的時間內完成；如果由乙單獨做，要超過規定時間3天才能完成；如果先由甲乙合作2天后，其余的再由乙單獨做，正好也在計劃規定的時間內完成。完成這項工程計劃用多少天？

本題如果用算術方法，可得如下解法：

（解法一）分析題意可知，甲、乙做相同的工作量所用的時間比是2：3，即乙的工作效率是甲的。

由甲單獨完成這項工程需要的時間，即計劃需要用的時間為2÷（1-）=6（天）。

如果用列方程的方法做，進行不同層次的思考，可得到不同的解法：

（解法二）設完成這項工程計劃用x天，（按常規可得）

++=1。

（解法三）設完成這項工程計劃用x天，（考慮到乙自始至終在做，可得）

+=1。

（解法四）設完成這項工程計劃用x天，（考慮到甲幫乙做了2天后，乙就不用多做3天才能完成，說明甲2天的工作量與乙3天的工作量相等，可得）

=。

由此可見，思考問題越深刻，解題過程越簡單。數學教學中，“一題多解”是訓練、培養學生思維發散性、靈活性的一種有效手段。通過“一題多解”能溝通知識之間的內在聯系，提高學生運用所學的基礎知識與基本技能解決實際問題的能力，使學生逐步學會舉一反三。

二、一題多變，培養學生思維的深刻性

“一題多變”是指變換題目的條件或結論，或者變換題目的形式，而問題的實質不變。用這種方式進行教學，可從不同角度、不同層面揭示問題的本質，幫助學生克服思維定勢的影響，促使學生根據情況的變化積極探求解決問題的方法。由于它著重引導學生認識問題的本質，所以有利于培養學生思維的深刻性，達到提高學生綜合能力的目的。“一題多變”可以改變條件，保留結論；也可以保留條件，改變結論；或者同時改變條件和結論；還可以將某項條件與結論對換等等。

例2.如圖1，△ABC中，∠C=90°。

（1）以此直角三角形的三邊為邊向外作等邊三角形（如圖1甲），探究S2+S3與S1的關系；

（2）以此直角三角形的三邊為邊向外作正方形（如圖1乙），探究S2+S3與S1的關系；

（3）以直角三角形的三邊為直徑向外作半圓（如圖1丙），探究S2+S3與S1的關系

本題由于直角三角形斜邊與兩直角邊的關系這個本質未變，因而盡管題設的條件發生了變化，但問題的結論未變。

例3.求證：順次連接四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形。

為了引導學生從中點四邊形各邊與原四邊形的對角線的關系去考慮問題，可作如下變式：

（1）依次連接平行四邊形各邊中點得到的圖形是 。

（2）依次連接矩形各邊中點得到的圖形是 。

（3）依次連接菱形各邊中點得到的圖形是 。

（4）依次連接正方形各邊中點得到的圖形是 。

（5）依次連接等腰梯形各邊中點得到的圖形是 。

為了讓學生進一步理解中點四邊形與原四邊形的關系，可作如下變式：

（1）順次連接對角線相等的四邊形各邊中點得到什么圖形？

（2）順次連接對角線互相垂直的四邊形各邊中點得到什么圖形？

（3）順次連接對角線互相垂直且相等的四邊形各邊中點得到什么圖形？

（4）順次連接四邊形各邊中點得到矩形，則原四邊形應滿足什么條件？

（5）順次連接四邊形各邊中點得到菱形，則原四邊形應滿足什么條件？

（6）順次連接四邊形各邊中點得到正方形，則原四邊形應滿足什么條件？

為了使學生真正領會中點四邊形證明的本質，還可作如下變式：

梯形ABCD中AD∥BC，點E、F、G、H分別是AD、BD、BC、AC的中點，若四邊形EFGH是菱形，則梯形ABCD需滿足什么條件？

三、一題多用，培養學生思維的全面性

“一題多用”是指那種內容表面看起來不一致甚至差別很大，但求解思路、解題步驟乃至最后結果卻非常相似，甚至完全相同的問題。

例4.（人教版七年級數學60頁上的一道題）3個球隊進行單循環比賽（參加比賽的每一個隊都與其他所有的隊各賽一場），總的比賽場數是多少？4個隊呢？5個隊呢？n個隊呢？

由于有小學數學知識基礎，這是一個學生容易理解的問題。運用這個數學模型，可以衍生出很多數學問題，如：

1.已知一條直線上有n個點，則這條直線上共有多少條線段？

2.n邊形共有多少條對角線？

3.某同學家里來了10個客人，每兩人互相握手一次，客人共握手多少次？

4.有公共端點的n條射線組成的圖形中，共有多少個角？

5.2條直線交于一點，有多少對對頂角？3條直線呢？n條直線呢？

這一系列問題，都可以通過建立同一數學模型來解決。“一題多用”不僅能培養學生歸納整理的能力，而且能培養學生數學建模思想和應用數學模型的意識。

例5.（2011年貴州省貴陽市中考題）

[閱讀]在平面直角坐標系中，以任意兩點P（x1，y1）、Q（x2，y2）為端點的線段中點坐標為（，）。

[運用]

（1）如圖2，矩形ONEF的對角線相交于點M，ON、OF分別在x軸和y軸上，O為坐標原點，點E的坐標為（4，3），則點M的坐標為 ；

（2）在直角坐標系中，有A（-1，2）、B（3，1）、C（1，4）三點，另有一點D與A、B、C構成平行四邊形的頂點，求點D的坐標。

與這題可以構成“一題多用”的還有一些有關平行四邊形的中考壓軸題，如：

例6.（2009年遼寧省撫順市中考題）已知：如圖3所示，拋物線y=ax2+x+c（a≠0）與x軸交于點A（-2，0）、點B（6，0），與y軸交于點C。

（1）求出此拋物線的解析式，并寫出頂點坐標；

（2）在拋物線上有一點D，使四邊形ABDC為等腰梯形，寫出點D的坐標，并求出直線AD的解析式；

（3）在（2）中的直線AD交拋物線的對稱軸于點M，拋物線上有一動點P，x軸上有一動點Q。是否存在以A、M、P、Q為頂點的平行四邊形？如果存在，請直接寫出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由。

提示：第（3）題中，A、M是定點，Q點的縱坐標為0，首先將以A、M、P、Q為頂點的平行四邊形進行分類：①A、M相對，P、Q相對。由于A、M是定點，根據中點坐標公式，可求對角線交點坐標，又由于Q點的縱坐標為0，根據對角線交點是PQ的中點，可求P的縱坐標，又P在拋物線上，從而可求P的橫坐標，結合對角線交點橫坐標和中點坐標公式可求Q的橫坐標。②A、P相對，M、Q相對。③A、Q相對，M、P相對。后兩種情況可參照①的解法。

四、多題歸一，培養學生思維的收斂性

“多題歸一”是指許多表面上看似不同的題目，但實質上解題時用到的數學知識、方法、思路基本相同或完全相同。在中考壓軸題中，經常出現由特殊圖形變式到一般圖形的試題，解決這類問題常用“類比”的數學思想，解題思路不變，解題方法基本相同，也就是平時所說的“變中有不變”“形散而神聚”。

例7.如圖4，在△ABC中，∠A=90°，點D在線段BC上，∠EDB=∠C，BE⊥DE，垂足為E，DE與AB相交于點F。

（1）當AB=AC（如圖4甲）時，

①∠EBF= °；

②探究線段BE與FD的數量關系，并加以證明；

（2）當AB=kAC（如圖4乙）時，求的值（用含k的式子表示）。

分析：第（1）小題考慮到有“∠EDB=∠C”這一條件，所以過D作AC的平行線DM交AB于M，交BE的延長線于N，易證BE=BN，再證△BMN≌△DMF，可得BN=DF，進而可得BE=DF。

第（2）小題是第（1）小題的變式，題目條件由特殊的等腰直角三角形變為一般的直角三角形，按照“解題思路不變，解題方法基本相同”的策略，還是如圖4甲那樣作輔助線，易證BE=BN，再證△BMN∽△DMF，可得=，易證=，進而可得=。

本題中由第（1）小題到第（2）小題，求證過程中僅把證明△BMN和△DMF這兩個三角形全等變為證明它們相似。

如果說“一題多解”是拓寬學生思路，培養學生分析、變通能力的有效手段，那么“多題歸一”就是使學生的知識系統化，提高學生歸納、綜合能力的有效途徑。所以我們在教學中同樣要重視“多題歸一”，以培養學生思維的收斂性。

變式教學從多個方面提高了學生的思維品質，所以能有效地提高學生的思維能力。

（責編 王學軍）