運(yùn)用變式教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

【關(guān)鍵詞】變式教學(xué) 思維能力 一題多解 一題多變 一題多用 多題歸一

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2012）12B-0038-02

習(xí)題用于訓(xùn)練學(xué)生的思維，是教師將自己的思想、方法以及分析問題和解決問題的技能技巧傳授給學(xué)生的載體。在數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中，注重對學(xué)生進(jìn)行變式訓(xùn)練，既可以使學(xué)生避免陷入“題?！敝?，又可以讓學(xué)生鞏固所學(xué)的知識(shí)，還可以使學(xué)生的思維能力得到培養(yǎng)與提高。下面結(jié)合初中數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)例來談?wù)勅绾芜M(jìn)行習(xí)題變式教學(xué)。

一、一題多解，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性

“一題多解”是指對同一道題，從不同的角度出發(fā)，運(yùn)用不同的思維形式，采用不同的方法去分析，從而獲得多種解題途徑。進(jìn)行這種變式教學(xué)，既可以暴露學(xué)生解題的思維過程，又能夠拓寬學(xué)生的解題思路，使學(xué)生能熟練掌握知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性。

例1.一項(xiàng)工程，如果由甲單獨(dú)做，正好在計(jì)劃規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成；如果由乙單獨(dú)做，要超過規(guī)定時(shí)間3天才能完成；如果先由甲乙合作2天后，其余的再由乙單獨(dú)做，正好也在計(jì)劃規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成。完成這項(xiàng)工程計(jì)劃用多少天？

本題如果用算術(shù)方法，可得如下解法：

（解法一）分析題意可知，甲、乙做相同的工作量所用的時(shí)間比是2：3，即乙的工作效率是甲的。

由甲單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要的時(shí)間，即計(jì)劃需要用的時(shí)間為2÷（1-）=6（天）。

如果用列方程的方法做，進(jìn)行不同層次的思考，可得到不同的解法：

（解法二）設(shè)完成這項(xiàng)工程計(jì)劃用x天，（按常規(guī)可得）

++=1。

（解法三）設(shè)完成這項(xiàng)工程計(jì)劃用x天，（考慮到乙自始至終在做，可得）

+=1。

（解法四）設(shè)完成這項(xiàng)工程計(jì)劃用x天，（考慮到甲幫乙做了2天后，乙就不用多做3天才能完成，說明甲2天的工作量與乙3天的工作量相等，可得）

=。

由此可見，思考問題越深刻，解題過程越簡單。數(shù)學(xué)教學(xué)中，“一題多解”是訓(xùn)練、培養(yǎng)學(xué)生思維發(fā)散性、靈活性的一種有效手段。通過“一題多解”能溝通知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能解決實(shí)際問題的能力，使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)舉一反三。

二、一題多變，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性

“一題多變”是指變換題目的條件或結(jié)論，或者變換題目的形式，而問題的實(shí)質(zhì)不變。用這種方式進(jìn)行教學(xué)，可從不同角度、不同層面揭示問題的本質(zhì)，幫助學(xué)生克服思維定勢的影響，促使學(xué)生根據(jù)情況的變化積極探求解決問題的方法。由于它著重引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)問題的本質(zhì)，所以有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，達(dá)到提高學(xué)生綜合能力的目的?！耙活}多變”可以改變條件，保留結(jié)論；也可以保留條件，改變結(jié)論；或者同時(shí)改變條件和結(jié)論；還可以將某項(xiàng)條件與結(jié)論對換等等。

例2.如圖1，△ABC中，∠C=90°。

（1）以此直角三角形的三邊為邊向外作等邊三角形（如圖1甲），探究S2+S3與S1的關(guān)系；

（2）以此直角三角形的三邊為邊向外作正方形（如圖1乙），探究S2+S3與S1的關(guān)系；

（3）以直角三角形的三邊為直徑向外作半圓（如圖1丙），探究S2+S3與S1的關(guān)系

本題由于直角三角形斜邊與兩直角邊的關(guān)系這個(gè)本質(zhì)未變，因而盡管題設(shè)的條件發(fā)生了變化，但問題的結(jié)論未變。

例3.求證：順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形。

為了引導(dǎo)學(xué)生從中點(diǎn)四邊形各邊與原四邊形的對角線的關(guān)系去考慮問題，可作如下變式：

（1）依次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的圖形是 。

（2）依次連接矩形各邊中點(diǎn)得到的圖形是 。

（3）依次連接菱形各邊中點(diǎn)得到的圖形是 。

（4）依次連接正方形各邊中點(diǎn)得到的圖形是 。

（5）依次連接等腰梯形各邊中點(diǎn)得到的圖形是 。

為了讓學(xué)生進(jìn)一步理解中點(diǎn)四邊形與原四邊形的關(guān)系，可作如下變式：

（1）順次連接對角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)得到什么圖形？

（2）順次連接對角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)得到什么圖形？

（3）順次連接對角線互相垂直且相等的四邊形各邊中點(diǎn)得到什么圖形？

（4）順次連接四邊形各邊中點(diǎn)得到矩形，則原四邊形應(yīng)滿足什么條件？

（5）順次連接四邊形各邊中點(diǎn)得到菱形，則原四邊形應(yīng)滿足什么條件？

（6）順次連接四邊形各邊中點(diǎn)得到正方形，則原四邊形應(yīng)滿足什么條件？

為了使學(xué)生真正領(lǐng)會(huì)中點(diǎn)四邊形證明的本質(zhì)，還可作如下變式：

梯形ABCD中AD∥BC，點(diǎn)E、F、G、H分別是AD、BD、BC、AC的中點(diǎn)，若四邊形EFGH是菱形，則梯形ABCD需滿足什么條件？

三、一題多用，培養(yǎng)學(xué)生思維的全面性

“一題多用”是指那種內(nèi)容表面看起來不一致甚至差別很大，但求解思路、解題步驟乃至最后結(jié)果卻非常相似，甚至完全相同的問題。

例4.（人教版七年級數(shù)學(xué)60頁上的一道題）3個(gè)球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽（參加比賽的每一個(gè)隊(duì)都與其他所有的隊(duì)各賽一場），總的比賽場數(shù)是多少？4個(gè)隊(duì)呢？5個(gè)隊(duì)呢？n個(gè)隊(duì)呢？

由于有小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)，這是一個(gè)學(xué)生容易理解的問題。運(yùn)用這個(gè)數(shù)學(xué)模型，可以衍生出很多數(shù)學(xué)問題，如：

1.已知一條直線上有n個(gè)點(diǎn)，則這條直線上共有多少條線段？

2.n邊形共有多少條對角線？

3.某同學(xué)家里來了10個(gè)客人，每兩人互相握手一次，客人共握手多少次？

4.有公共端點(diǎn)的n條射線組成的圖形中，共有多少個(gè)角？

5.2條直線交于一點(diǎn)，有多少對對頂角？3條直線呢？n條直線呢？

這一系列問題，都可以通過建立同一數(shù)學(xué)模型來解決。“一題多用”不僅能培養(yǎng)學(xué)生歸納整理的能力，而且能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想和應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的意識(shí)。

例5.（2011年貴州省貴陽市中考題）

[閱讀]在平面直角坐標(biāo)系中，以任意兩點(diǎn)P（x1，y1）、Q（x2，y2）為端點(diǎn)的線段中點(diǎn)坐標(biāo)為（，）。

[運(yùn)用]

（1）如圖2，矩形ONEF的對角線相交于點(diǎn)M，ON、OF分別在x軸和y軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，3），則點(diǎn)M的坐標(biāo)為 ；

（2）在直角坐標(biāo)系中，有A（-1，2）、B（3，1）、C（1，4）三點(diǎn)，另有一點(diǎn)D與A、B、C構(gòu)成平行四邊形的頂點(diǎn)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)。

與這題可以構(gòu)成“一題多用”的還有一些有關(guān)平行四邊形的中考壓軸題，如：

例6.（2009年遼寧省撫順市中考題）已知：如圖3所示，拋物線y=ax2+x+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（-2，0）、點(diǎn)B（6，0），與y軸交于點(diǎn)C。

（1）求出此拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）在拋物線上有一點(diǎn)D，使四邊形ABDC為等腰梯形，寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求出直線AD的解析式；

（3）在（2）中的直線AD交拋物線的對稱軸于點(diǎn)M，拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，x軸上有一動(dòng)點(diǎn)Q。是否存在以A、M、P、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形？如果存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由。

提示：第（3）題中，A、M是定點(diǎn)，Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，首先將以A、M、P、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形進(jìn)行分類：①A、M相對，P、Q相對。由于A、M是定點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可求對角線交點(diǎn)坐標(biāo)，又由于Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，根據(jù)對角線交點(diǎn)是PQ的中點(diǎn)，可求P的縱坐標(biāo)，又P在拋物線上，從而可求P的橫坐標(biāo)，結(jié)合對角線交點(diǎn)橫坐標(biāo)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求Q的橫坐標(biāo)。②A、P相對，M、Q相對。③A、Q相對，M、P相對。后兩種情況可參照①的解法。

四、多題歸一，培養(yǎng)學(xué)生思維的收斂性

“多題歸一”是指許多表面上看似不同的題目，但實(shí)質(zhì)上解題時(shí)用到的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、思路基本相同或完全相同。在中考壓軸題中，經(jīng)常出現(xiàn)由特殊圖形變式到一般圖形的試題，解決這類問題常用“類比”的數(shù)學(xué)思想，解題思路不變，解題方法基本相同，也就是平時(shí)所說的“變中有不變”“形散而神聚”。

例7.如圖4，在△ABC中，∠A=90°，點(diǎn)D在線段BC上，∠EDB=∠C，BE⊥DE，垂足為E，DE與AB相交于點(diǎn)F。

（1）當(dāng)AB=AC（如圖4甲）時(shí)，

①∠EBF= °；

②探究線段BE與FD的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

（2）當(dāng)AB=kAC（如圖4乙）時(shí)，求的值（用含k的式子表示）。

分析：第（1）小題考慮到有“∠EDB=∠C”這一條件，所以過D作AC的平行線DM交AB于M，交BE的延長線于N，易證BE=BN，再證△BMN≌△DMF，可得BN=DF，進(jìn)而可得BE=DF。

第（2）小題是第（1）小題的變式，題目條件由特殊的等腰直角三角形變?yōu)橐话愕闹苯侨切?，按照“解題思路不變，解題方法基本相同”的策略，還是如圖4甲那樣作輔助線，易證BE=BN，再證△BMN∽△DMF，可得=，易證=，進(jìn)而可得=。

本題中由第（1）小題到第（2）小題，求證過程中僅把證明△BMN和△DMF這兩個(gè)三角形全等變?yōu)樽C明它們相似。

如果說“一題多解”是拓寬學(xué)生思路，培養(yǎng)學(xué)生分析、變通能力的有效手段，那么“多題歸一”就是使學(xué)生的知識(shí)系統(tǒng)化，提高學(xué)生歸納、綜合能力的有效途徑。所以我們在教學(xué)中同樣要重視“多題歸一”，以培養(yǎng)學(xué)生思維的收斂性。

變式教學(xué)從多個(gè)方面提高了學(xué)生的思維品質(zhì)，所以能有效地提高學(xué)生的思維能力。

（責(zé)編 王學(xué)軍）