一道數學例題的教學與反思

【關鍵詞】線性規劃 數學例題 教學反思

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2012）12B-0046-02

新課程改革要求教師在教學中，充分發揮學生的主體作用，調動學生的學習積極性、主動性，引導學生通過合作與交流、探索與發現，提高學生的數學素養。如何才能達到這個要求？我們在教學實際中常發現，學生思考問題時由于知識理解片面、方法欠妥、邏輯不嚴密，難免出現這樣或那樣的錯誤。教師的作用就是引導學生自己去發現、認識錯誤，自己找到解決問題的方法。

筆者在高二學習線性規劃時曾設計這樣的一道例題：設1≤x+y≤2，-1≤x-y≤3，求2x+3y的取值范圍。做題時，先讓學生思考兩分鐘，再進行師生互動。

教師：請做完此題的A同學把解題過程寫在黑板上。

學生A在黑板上寫下如下解題過程：

教師：其他同學有誰與他的做法一樣，請舉手。（發現有三分之一的學生舉起了手）

教師：哪位同學還有其他的解法？（接著請示意有另外解法的學生B把解題過程寫在黑板上）

學生B寫下：

同一道題，通過兩種解答過程得出不同的答案，于是學生討論起來。有的學生說A的解法中看不出任何錯誤，有的學生說B的解法過程是嚴謹的、正確的。（討論進行了幾分鐘）

教師：上面兩位同學做的哪個是對的，哪個是錯的呢？

學生C：其實這里的x、y不是獨立的兩個量，而是有聯系的兩個量，同學A的錯誤是把x、y分離開，割斷了它們的內在聯系。

教師：分析得很有道理，基本上說出了錯誤的原因。（這時學生似乎還是知其然，不知其所以然）數學追求的是嚴謹的推理，如果沒有理論依據來說明問題的本質，那么就是空口無憑。請大家想想如何從理論上說明A的解法中出現的錯誤呢？（時間約過了幾分鐘，學生仍然激烈地討論著，這時有學生站起來）

學生D：老師，我想到了一種解法，可以說明B的解法是正確的。

教師：請你說說。

學生D：這個問題屬于二元一次不等式問題，可以用線性規劃的方法做。

教師：這位同學的想法很好，現在請同學們用線性規劃的方法做。（請學生E在黑板上做）

學生E的板演如下：

顯然，當目標函數的圖象經過點A（，）時取得最大值，經過點B（2，-1）時取得最小值1，所以2x+3y的取值范圍是[1，]。

學生F：老師，從上面的解法中，我想到A的解法錯誤的原因了。

教師：談談你的想法。

學生F：我認為A同學在做題時把本來有聯系的兩個量分離開后，再用不等式性質求解，從而擴大了其取值范圍。錯誤原因也可以用線性規劃的方法來解析。

教師請學生F在黑板上邊寫邊解說論證的過程：

由A的解法可知約束條件：

當目標函數的圖象經過點A（，）時取得最大值，經過點B（0，-1）時取得最小值-3，所以2x+3y的取值范圍是[-3，]。

事實上，如圖3所示在同一坐標系中，我們會發現[1≤x+y≤2

學生G：我們在學習《不等式》這章時，見過利用不等式性質來求取值范圍的題型，比如：已知1≤x≤2， 2≤y≤3，求x+y，x-y的取值范圍。我們就受其影響，容易出現A的解法這樣的錯誤。

教師：還有哪位同學有不同的感受？

學生H：我們通過分析、解決問題，發現了可以利用線性規劃的方法求二元式子的取值范圍。

課后反思：學生A的解題錯誤原因主要是沒有注意不等式性質的條件不是充要條件。實際上備課時筆者預料會有這種情況，所以在教學中，教師要認真鉆研教材，根據學生的學習規律和習慣，估計學生學習某些數學知識時可能發生哪些錯誤，從而有針對性地引導學生從自己的認識角度，根據自己掌握的數學知識去找錯、識錯和改錯。學生往往因缺乏對問題的全面考慮而造成解題不完整和解題錯誤的情況較為普遍，為幫助學生學會全面、周密地思考問題，在教學中我們應注意選擇一些合適的內容和習題對學生進行訓練。從學生D、學生E、學生F的解題思路可以看到，在數學課堂教學中，教師與學生的交流大部分是通過逐個發現和逐個解決問題來實現的。學生解決問題的過程往往不是一帆風順的，思維出現磕磕碰碰甚至被卡殼是常事，這時就需要教師認真分析學生遇到的困難，適時點撥學生，幫助學生突破障礙，讓學生體會成功的喜悅，獲得寶貴的解題經驗和教訓。這樣，學生就能提高分析、解決問題的能力，提高數學素養。另外，本課還有一個成功之處，就是讓學生通過獨立思考、討論、回答問題和進行板演等形式積極投入學習，充當課堂教學中的主角，體現學生的主體地位。