一道數(shù)學(xué)例題的教學(xué)與反思

【關(guān)鍵詞】線性規(guī)劃 數(shù)學(xué)例題 教學(xué)反思

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2012）12B-0046-02

新課程改革要求教師在教學(xué)中，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性、主動(dòng)性，引導(dǎo)學(xué)生通過合作與交流、探索與發(fā)現(xiàn)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。如何才能達(dá)到這個(gè)要求？我們?cè)诮虒W(xué)實(shí)際中常發(fā)現(xiàn)，學(xué)生思考問題時(shí)由于知識(shí)理解片面、方法欠妥、邏輯不嚴(yán)密，難免出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤。教師的作用就是引導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)、認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤，自己找到解決問題的方法。

筆者在高二學(xué)習(xí)線性規(guī)劃時(shí)曾設(shè)計(jì)這樣的一道例題：設(shè)1≤x+y≤2，-1≤x-y≤3，求2x+3y的取值范圍。做題時(shí)，先讓學(xué)生思考兩分鐘，再進(jìn)行師生互動(dòng)。

教師：請(qǐng)做完此題的A同學(xué)把解題過程寫在黑板上。

學(xué)生A在黑板上寫下如下解題過程：

教師：其他同學(xué)有誰與他的做法一樣，請(qǐng)舉手。（發(fā)現(xiàn)有三分之一的學(xué)生舉起了手）

教師：哪位同學(xué)還有其他的解法？（接著請(qǐng)示意有另外解法的學(xué)生B把解題過程寫在黑板上）

學(xué)生B寫下：

同一道題，通過兩種解答過程得出不同的答案，于是學(xué)生討論起來。有的學(xué)生說A的解法中看不出任何錯(cuò)誤，有的學(xué)生說B的解法過程是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹⒄_的。（討論進(jìn)行了幾分鐘）

教師：上面兩位同學(xué)做的哪個(gè)是對(duì)的，哪個(gè)是錯(cuò)的呢？

學(xué)生C：其實(shí)這里的x、y不是獨(dú)立的兩個(gè)量，而是有聯(lián)系的兩個(gè)量，同學(xué)A的錯(cuò)誤是把x、y分離開，割斷了它們的內(nèi)在聯(lián)系。

教師：分析得很有道理，基本上說出了錯(cuò)誤的原因。（這時(shí)學(xué)生似乎還是知其然，不知其所以然）數(shù)學(xué)追求的是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评恚绻麤]有理論依據(jù)來說明問題的本質(zhì)，那么就是空口無憑。請(qǐng)大家想想如何從理論上說明A的解法中出現(xiàn)的錯(cuò)誤呢？（時(shí)間約過了幾分鐘，學(xué)生仍然激烈地討論著，這時(shí)有學(xué)生站起來）

學(xué)生D：老師，我想到了一種解法，可以說明B的解法是正確的。

教師：請(qǐng)你說說。

學(xué)生D：這個(gè)問題屬于二元一次不等式問題，可以用線性規(guī)劃的方法做。

教師：這位同學(xué)的想法很好，現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們用線性規(guī)劃的方法做。（請(qǐng)學(xué)生E在黑板上做）

學(xué)生E的板演如下：

顯然，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（，）時(shí)取得最大值，經(jīng)過點(diǎn)B（2，-1）時(shí)取得最小值1，所以2x+3y的取值范圍是[1，]。

學(xué)生F：老師，從上面的解法中，我想到A的解法錯(cuò)誤的原因了。

教師：談?wù)勀愕南敕ā?/p>

學(xué)生F：我認(rèn)為A同學(xué)在做題時(shí)把本來有聯(lián)系的兩個(gè)量分離開后，再用不等式性質(zhì)求解，從而擴(kuò)大了其取值范圍。錯(cuò)誤原因也可以用線性規(guī)劃的方法來解析。

教師請(qǐng)學(xué)生F在黑板上邊寫邊解說論證的過程：

由A的解法可知約束條件：

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（，）時(shí)取得最大值，經(jīng)過點(diǎn)B（0，-1）時(shí)取得最小值-3，所以2x+3y的取值范圍是[-3，]。

事實(shí)上，如圖3所示在同一坐標(biāo)系中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)[1≤x+y≤2

學(xué)生G：我們?cè)趯W(xué)習(xí)《不等式》這章時(shí)，見過利用不等式性質(zhì)來求取值范圍的題型，比如：已知1≤x≤2， 2≤y≤3，求x+y，x-y的取值范圍。我們就受其影響，容易出現(xiàn)A的解法這樣的錯(cuò)誤。

教師：還有哪位同學(xué)有不同的感受？

學(xué)生H：我們通過分析、解決問題，發(fā)現(xiàn)了可以利用線性規(guī)劃的方法求二元式子的取值范圍。

課后反思：學(xué)生A的解題錯(cuò)誤原因主要是沒有注意不等式性質(zhì)的條件不是充要條件。實(shí)際上備課時(shí)筆者預(yù)料會(huì)有這種情況，所以在教學(xué)中，教師要認(rèn)真鉆研教材，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律和習(xí)慣，估計(jì)學(xué)生學(xué)習(xí)某些數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)可能發(fā)生哪些錯(cuò)誤，從而有針對(duì)性地引導(dǎo)學(xué)生從自己的認(rèn)識(shí)角度，根據(jù)自己掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)去找錯(cuò)、識(shí)錯(cuò)和改錯(cuò)。學(xué)生往往因缺乏對(duì)問題的全面考慮而造成解題不完整和解題錯(cuò)誤的情況較為普遍，為幫助學(xué)生學(xué)會(huì)全面、周密地思考問題，在教學(xué)中我們應(yīng)注意選擇一些合適的內(nèi)容和習(xí)題對(duì)學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練。從學(xué)生D、學(xué)生E、學(xué)生F的解題思路可以看到，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師與學(xué)生的交流大部分是通過逐個(gè)發(fā)現(xiàn)和逐個(gè)解決問題來實(shí)現(xiàn)的。學(xué)生解決問題的過程往往不是一帆風(fēng)順的，思維出現(xiàn)磕磕碰碰甚至被卡殼是常事，這時(shí)就需要教師認(rèn)真分析學(xué)生遇到的困難，適時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生，幫助學(xué)生突破障礙，讓學(xué)生體會(huì)成功的喜悅，獲得寶貴的解題經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)。這樣，學(xué)生就能提高分析、解決問題的能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。另外，本課還有一個(gè)成功之處，就是讓學(xué)生通過獨(dú)立思考、討論、回答問題和進(jìn)行板演等形式積極投入學(xué)習(xí)，充當(dāng)課堂教學(xué)中的主角，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。