基于拋錨式教學法的“數學模型”課堂教學設計

摘要：拋錨式教學是建構主義教學方法的一種重要形式，利用該方法給出了“數學模型”課程中關于“汽車的剎車距離問題”的教學設計和方法探討，對大學生分析問題、解決問題能力以及創新能力的培養起到了較好的作用。

關鍵詞：拋錨式教學；數學模型；教學設計

作者簡介：馮愛芬（1968-），女，河南洛陽人，河南科技大學數學與統計學院，副教授。（河南 洛陽 471003）王秀梅（1972-），女，山東曹縣人，鄭州大學數學系，副教授。（河南 鄭州 450001）

基金項目：本文系河南省教育科學“十一五”規劃課題（課題編號：2009-JKGHAG-0245）、河南科技大學教研重點項目（項目編號：2007Z-010）教學的研究成果。

中圖分類號：G642.421 文獻標識碼：A 文章編號：1007-0079（2012）22-0081-02

隨著高等教育的發展和教學改革的深入，新的教學理念和教學方法不斷產生并應用到課堂教學中。其中建構主義的教學觀念和教學模式正在逐步形成和完善，[1-5]在建構主義的教學模式下，目前已開發出的、比較成熟的教學方法主要有支架式教學（Scaf folding Instruction）、拋錨式教學（Anchored Instruction）和隨機進入教學（Random Access Instruction）。[1]本文結合建構主義教學觀，以“數學模型”課程中“汽車的剎車距離”為例，[6]進行了拋錨式教學法的嘗試，教學過程受到廣大學生的歡迎，達到了較好的教學效果。

一、拋錨式教學及其設計環節

拋錨式教學是建構主義教學方法的一種重要形式。建構主義（constructivism）也譯作結構主義，是一種全新的學習理論和教學理論，其教學模式為：以學生為中心，教師發揮組織者、指導者、幫助者和促進者的作用，通過創設情境、協作、會話等環境要素，引導學生發揮主動性、積極性和創造性，使學生實現對所學知識的意義建構。這種模式強調以學生為中心，要求教師實現由知識的傳授者、灌輸者到幫助者、促進者的角色轉變。拋錨式教學有時被稱為“實例式教學”或“基于問題的教學”，它基于有感染力的真實事件或真實問題，拋錨式教學設計把這類真實事件或真實問題看作“錨”，確定真實事件或問題的過程被認定為“拋錨”，因為一旦這類事件或問題確定下來，整個教學內容和教學進程也就被確定了（就像輪船被錨固定一樣）。[1]它作為一種全新的教學模式、全新的教學方法和全新的教學設計思想，使教師、學生、教材和幫助教師傳授知識的媒體等四要素與傳統教學相比有完全不同的作用，彼此之間有完全不同的關系。建構主義的拋錨式教學主要由創設情境、確定問題、自主學習、協作學習、效果評價五個環節組成。

二、“汽車的剎車距離”問題的拋錨式教學設計

1.創設情境

首先創設情境，讓同學們設想或者回憶坐在疾馳的公共汽車上，前面有人橫穿馬路或者紅燈，司機要緊急剎車，會有什么情況發生呢？在公路上行駛的汽車，兩車的間距為多少呢？給出時間，讓同學們討論，課堂氣氛自己活躍起來，同學們立即七嘴八舌說起來。

同學甲：緊急剎車后，身體往前沖，想要摔倒。

同學乙接著說：速度降低，最終變為0。

同學丙又繼續說：滑行一段距離停下來，司機控制得好，正好停在白線之內。

同學丁：在公路上行駛的汽車，兩車的間距應該和速度有關，速度快，間距要大些，速度慢，間距可以小些。

同學乙眉頭一皺，接著說：在公路上行駛的汽車，兩車的間距應該至少等于汽車剎車后滑行的距離，否則要出交通事故了……

2.確定問題

在這樣的情境下，同學們對司機猛踩剎車制動后的情況已經分析掌握得很清楚，老師掌控時間，適時結束討論，給予總結。

老師總結：司機猛踩剎車制動后，速度迅速降低，滑行一段距離并停止，才能不造成交通事故或者違章行為；在公路上行駛的汽車，兩車的間距實際上應大于汽車剎車時滑行的距離。滑行距離多遠，多長時間才能停止，怎么進行估算呢？這就是本問題要解決的“錨”—— 事件或問題，簡單地進行事件分析，提出要求，即“拋錨”。

試建立汽車剎車踩下后運行距離的數學模型，并估算出剎車踩下后汽車最少滑過的距離和最多滑過的距離。同時在美國的某些司機培訓課程中的駕駛規則：正常駕駛條件下，車速每增10英里/小時，后面與前車的距離應增一個車身的長度。實現這個規則的簡便辦法是“2秒準則”：后車司機從前車經過某一標志開始默數，2秒鐘后到達同一標志，而不管車速如何，判斷“2秒準則”與“車身”規則是否一樣？

3.自主學習

在這個環節，教師首先向學生提供解決該問題的有關線索，由學生自己查找資料，找出解決問題的方法。對于本問題可以給出如下線索。

線索一：因為要估算出剎車踩下后汽車滑過的距離，所以需要搜集一些有關車的速度、剎車時間、剎車距離的資料。例如已經給出：一輛汽車在司機猛踩剎車制動后5秒內停下，這一剎車過程中，每一秒的速度值被記錄了下來，如表1所示。

同時，同學們可以從課本中找到另一組由交通部門提供的一組汽車的車速、剎車距離和剎車時間的數據。[7]

線索二：現實中，同學們已經知道，在物理上怎樣來估計剎車距離，現在要用數學的方法來解決。請同學們回憶、查找、復習三個內容：定積分的定義，差分方程，最小二乘法。

4.協作學習

討論、交流，通過不同觀點的交鋒，補充、修正、加深每個學生對當前問題的理解。

問題討論：由表1，汽車在剎車后5秒內停下，由記錄的數據可知：每秒內速度的改變量不同，即加速度為非恒定值，汽車在做非勻減速運動，所以，首先要解決的問題是求出速度與時間的關系，再對速度積分即可求得剎車距離，對剎車距離的估算可借助于差分方程來解決。由此建立模型的三種方法已經確定。接著，對學生分三個小組，針對三種方法進行分析各自建立模型，限定時間5～8分鐘，然后進行匯報交流。下面是三個小組關于三種方法的具體建模過程。

模型一：積分定義法建模

問題分析：在此問題中，已知每秒的瞬時速度和時間的區間，汽車行駛為連續運動，但可以離散化，根據定積分定義的思想“分割、近似、求和、取極限”構建一個一般的模型，進一步地，繼續利用定積分定義的思想及它的性質即可估算最大、最小距離。

模型構建：設汽車速度函數，假設運行t秒后停下，則運行時間區間為。現對區間進行分割，插入個分點，即，用端點處的速度近似代替每一段的速度，即把每一小段時間看做勻速運動。求出在此時間區間運行的總距離，對其總和取極限，并由定積分定義得：

此即為剎車踩下后汽車運行距離的數學模型。

模型求解：具體到本例，時間區間為，把它5等分，并且，由實際意義知是區間內單調減函數，在每一個子區間上取右端點，左端點分別得到最小速度和最大速度。再由定積分的定義知：

評注：這是一種利用定積分定義來估算距離的方法。凡遇到連續問題離散化，可以考慮利用定積分定義的思想“分割、近似、求和、取極限”來解決問題。

模型二：差分方程法建模

仍根據表1，由于所給的量具有離散性，差分方程建模過程如下：

模型構建：設汽車速度函數，假設運行t秒后停下，則運行時間區間為。現對區間進行分割，插入個分點，即，設表示秒滑過的距離，表示秒時的速度，近似代替內的速度，即把每一小段時間近似看作勻速運動，則估算最多滑行距離時采用模型

則估算最少滑行距離時，只需把換為即可求得。

模型求解：代入本例給定數據，利用遞推公式可以求得滑行的最小和最大距離分別為：34英尺和54英尺。

評注：這是一種利用差分方程來估算距離的方法。與模型一求得的結果完全一致。

模型三：最小二乘法建模

方法1：間接法，先求速度，再求剎車距離。

模型構建：首先，速度與時間的關系的確定，作速度v與時間t散點圖，觀察可以看出，它們的關系近似為二次函數關系，不妨設為：

其中為待估計參數，利用最小二乘法可以估算出，具體地，作離差平方和

使其最小，從而使問題轉化為多元函數求極值問題。根據微積分學中求最小值的方法，令一階偏導數為0即可求得。但是，現代數學的發展已經不須這些繁瑣的過程。直接調用Matlab統計工具箱中的回歸命令[b，bint，r，rint，stas]=regress（v'，T），進行求解，幾秒鐘后，圖像及函數關系躍然紙上。然后再對速度函數進行積分即可計算出距離。

此時，老師可以進行程序過程演示，如果在實驗室進行，可以讓同學們自己動手進行實驗，體驗現代工具的先進。

方法2：直接建立剎車距離與車速的關系式。

問題分析：剎車距離等于反應距離與制動距離之和；反應距離與車速v成正比，比例系數為反應時間t1。剎車時使用最大制動力F，其作功等于汽車動能的改變；且F與車的質量m成正比。

模型構建：由上述分析可以得出剎車距離和速度時間的關系為：

模型求解：反應時間t1的經驗估計值為0.75秒；利用交通部門提供的一組實際數據，調用Matlab統計工具箱中的回歸命令或者擬合命令（略），可得，由此可得，計算剎車距離的具體表達式為：

模型應用：利用上述公式，通過計算某種車速下2秒鐘行駛的距離和原車身長度比較可知，“2秒準則”與“10英里/小時加一車身”規則不同。“2秒準則”應修正為“t 秒準則”。

模型評價：本問題求解方法比較靈活，同學們如果學習了計算方法，還可借助于牛頓插值公式進行擬合。但最終的結果還是一致的。這正體現了數學建模的特點：問題的開放性，方法的多樣性，答案的不唯一性。

最后，可給出類似的問題讓同學們自己嘗試進行建立模型及其求解、編程等全過程的練習。

5.效果評價

一個看似平凡的事件或問題，其中所包含的數學思想及思維方法卻如此豐富、廣泛，關鍵在于教學中如何取材，如何選取角度來看待和處理問題，使問題起到事半功倍的效果。就本例來說，不僅可以用定積分的定義、性質來處理，又可以用差分方程來解決，還可以最小二乘法解決，同時，還可以用多元函數求極值，以及曲線擬合等。

在實際工作中，建立汽車剎車踩下后運行距離的數學模型有著很大的應用，可以根據這一模型設計出剎車系統使得所有的車輛不論其質量如何，均能達到有效的制動效果。

三、拋錨式教學設計的課后分析

建構主義的拋錨式教學法為數學建模課程教學提供了一種很好的教學方法，該教學法的創設情境、確定問題、自主學習、協作學習、效果評價等五個環節與數學模型構建中實際問題、模型假設、建立模型、模型求解、檢驗評價和模型應用等七個步驟比較接近，它可以有力促進教學實效，激發廣大學生的學習興趣和主動性，啟發學生思考問題，解決問題。本次課程教學設計課堂教學氣氛融洽，同學們踴躍發言，討論熱烈，課后得到了廣大學生的高度認可，教學反饋較好，同學們既進一步學習了“數學模型”課程牽涉的其他學科知識，又掌握了數學建模的全過程，同時對大學生數學素養和創新能力的培養起到一定的促進作用。

參考文獻：

[1]何克抗.建構主義的教學模式、教學方法與教學設計[J].北京師范大學學報(社會科學版)，1997，(5):74-81.

[2]余勝泉，楊曉娟，何克抗.基于建構主義的教學設計模式[J].電化教育研究，2000，(12):7-13.

[3]何克抗.關于建構主義的教育思想與哲學基礎[J].中國大學教學，2004，(7):15-18.

[4]卜春霞，楊紅艷.建構主義學習理論與大學數學教學——對建構主義的反思[J].高校教育研究，2009，(3):122.

[5]徐文彬，喻平，孫玲編，譯.數學教育中建構主義三十年的發展與反思—— 早期發展的理論來源及其主導地位的確立[J].數學教育學報，2010，(3).

[6]姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型(第三版)[M].北京:高等教育出版社，2003.

[7]Frank R.Giordano，Maurice D.Weir，William P.Fox，等.數學建模(第3版)[M].葉其孝，姜啟源，等，譯.北京:機械工業出版社，2005.

（責任編輯：宋秀麗）