淺談初中幾何輔助線的作法

作輔助線是解答幾何證明題的關鍵。一道題能否順利地解出，很大程度上取決于輔助線的添加是否有效，所以輔助線實際上是從已知到未知的一座橋梁，搭好了就能順利過河，到達彼岸，否則即使方向正確，中間隔著一條河，仍然到不了目的地。而且，通過添加輔助線，還可以進一步培養學生的邏輯思維能力，但是，如何作輔助線呢？下面淺談自己的一些看法。

一、按照作圖方法，遵循一般規律添加輔助線

一些較為簡單的題目，只需要按照作圖方法添加一兩條輔助線即可解出，并且這類題由已知條件結合圖形即可找到添加輔助線的方法，因此，只需在講題時告訴學生一般規律。

1.平移：多用于梯形或三角形中。如作相鄰梯形腰的平行線等，使條件相對集中，從而使問題得解。

例1.已知梯形ABCD，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4.求梯形的面積。

分析：根據已知的條件，要直接求出梯形的面積，需要知道梯形的高，這很難直接求出，因此，要想法添加輔助線使問題得以解決。如圖，過D作AC的平行線與BC的延長線交于E，得？荀ABCD，這樣ΔBED各邊為已知，并且正好是一個直角三角形，故梯形的面積可求出（S梯形ABCD=S△BED），若△BED不是直角三角形，則可利用海倫定理求△BED的面積，或者利用勾股定理求三角形BED的高，使問題得以解決。

2.轉換：利用延長線或平行線轉換已知條件，使條件集中。

例2.已知△ABC中，AD是BC邊上的中線，若AB>AC，

求證：∠BAD<∠CAD.

分析：如圖，延長AD到E，使AD=DE，連結CE（或BE），易證CE=AB，∠E=∠BAD，從而把已知、未知轉換在△AEC中，可以使問題得以解決。

本題也可過D作DE∥AB交AD的延長線于E，證法同上。

3.代替：有的題中需要用第三量作媒介，以達到證明的目的。這樣可以作第三量，以聯系另兩個量，使問題得證。

例3.如圖，從？荀ABCD各頂點作直線l的垂線AA′、BB′、CC′、DD′，A′、B′、C′、D′為垂足。求證：AA′+CC′=BB′+DD′.

分析：由已知條件可以發現這四條線段平行，如果把AA′、CC′，所在線段歸在一個圖形中，即連結AC，同理，連結BD交AC于O，可知，AA′C′C和BB′D′D是梯形，且AA′、CC′、BB′、DD′分別是兩個梯形的上下底，由O是對角線的交點，互相平分及梯形中一定理可知，只需作出OO⊥l，問題就可以得證。

4.旋轉：繞某點旋轉到適當位置，使條件相對集中。

例5.等腰三角形一腰上的高與底邊所夾的角等于頂角的一半。

二、作輔助線必須注意的事項

1.作輔助線以基本作圖為準，否則不成立。

如：等腰三角形頂角平分線是底邊上的高和中線，但在作輔助線時只能敘述為過A作AD垂直BC于D點，或者取BC的中點，連結AD，或者作角A的平分線交BC于D點，而不能敘述為作AD垂平分BC于D。

2.同一個問題，同一條輔助線，有可能這種作法能使問題得證，而另一種作法不能使問題得證，要注意輔助線作法的敘述。

（作者單位 河南省南陽市桐柏縣方樹泉中學）