巧析線性代數解題方法

摘 要：矩陣初等行變換法是線性代數的主要方法。

關鍵詞：線性代數 線性方程組求解 矩陣初等行變換

中圖分類號：G642文獻標識碼：A文章編號：1673-9795（2012）10（a）-0098-01

1 主線—— n元線性方程組求解及其應用

線性代數最初通過消元法解線性方程組，引入行列式，克拉默法則是線性方程組求唯一解的行列式法；接著引入矩陣，用逆矩陣解矩陣方程是克拉默法則的矩陣表示[1]；繼而介紹矩陣初等行變換解一般的齊次與非齊次線性方程組；又引入向量組的相關性解釋線性方程組解的結構；最后應用線性方程組求解于特征值、特征向量和二次型。

2 經典方法—— 矩陣初等行變換法

矩陣初等行變換法是線性代數的主要方法，其實質是線性方程組的同解變換，是高斯（Gauss）利用加減消去法解線性方程組引入，后由諾當（Jordan）進一步發展。矩陣初等行變換目的將矩陣化行階梯形，繼而化行最簡形，最后求出解。實質將線性方程組先從上往下化成階梯形，再將解依次從下往上回代消元，最后得到解。該方法稱為高斯-諾當（Gauss-Jordan）消去法[2]，涉及除行列式外所有章節。

2.1 矩陣初等行變換求逆矩陣