培養建模意識提高建模能力

【關鍵詞】數學建模 步驟 方法 訓練

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2013）01B-

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數學課程標準強調“從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，使學生在獲得對數學理解的同時，思維能力、情感態度與價值觀等方面得到進步和發展”。由此可見，學生學習數學不能局限于教材內容，還應結合生活、生產實際，提高實際應用能力；而教師則應把培養學生的實際應用能力滲透在教學中，讓學生帶著生活經驗和所學知識走進數學活動，通過數學模型的建構和應用，獲得多方面的發展。

重視數學建模意識的培養和數學模型的應用契合新課程“三維目標”的要求，有助于突破學習數學就是“套公式計算題目”的觀念。下面談談在數學教學中培養學生建模能力的主要做法。

一、讓學生熟悉數學建模的步驟

對具體事物進行構造數學模型的過程稱為數學建模。如圖所示，通過數學建模來解決實際問題的過程大致由三個部分組成。

要讓學生了解數學建模，首先要讓學生明確數學建模的核心在于“兩個轉化”：把實際問題轉化為數學問題，把數學問題轉化為數學模型。生活中的數學問題，其實際背景中的數量關系往往比較隱蔽。初中學生生活經驗不豐富，又缺乏用數學眼光審視實際問題的能力，這是他們學習數學建模的難點。為了讓學生了解數學建模的步驟，更快地解決上述問題，在教學中可從以下四個方面去引導學生。

1.去粗取精：從大量的實際材料中選出具有數學意義的材料、數據，刪除與數學無關的內容。

2.由表及里：把選擇的數學材料用精確的數學語言、相應的數學符號表述出來。

3.以新換舊：把這些經過數學化的材料組成一個數學模型。

4.由此及彼：運用已學的數學知識對數學模型問題進行定性定量求解，用以解決實際問題。

二、讓學生了解建立數學模型的常用方法

建立數學模型的途徑和方法有很多，最常見的有五種：一是運用方程知識建立數學模型；二是運用不等式組與一次函數知識建立數學模型；三是運用三角函數知識建立數學模型；四是運用統計知識建立數學模型；五是運用幾何知識建立數學模型。讓學生了解建立數學模型的方法，能幫助學生提高通過數學建模去解決實際問題的能力。而要讓學生了解數學建模的方法，必須在數學建模實例中讓學生體驗選擇建模類型的數學環境。例如，實際問題中等量與不等量的關系猶如特殊與一般的關系，當問題面對確定的數量時往往建立方程（組）模型，面對數量變化趨勢進行決策時往往建立不等式（組）模型；當問題涉及的兩個變量之間的關系式不好直接寫出或遇到諸如“總運費最少、利潤最大”等決策性問題時，可通過建立函數模型，運用函數的相關知識來解決。

三、對學生進行數學建模能力的訓練

1.引導學生用數學方法去解決具體的實際問題

這種訓練目的是為了激發學生關注生活中數學問題的興趣，使學生加深對生活中數學問題的認識，學會用數學的眼光審視生活中的有關問題，提高實際應用能力。訓練的具體做法：

一是把學生感興趣的生活問題引入數學課堂教學，激發他們的學習興趣。例如，在2011年南非世界杯足球賽前夕，安排一節與足球運動有關的數學建模專題課，其內容包括門票銷售、最佳射門位置、足球在地面的投影面積、足球上黑白兩色皮的塊數等。這些問題不僅可以訓練學生的數學建模能力，而且還能極大地激發學生的好奇心和求知欲。

二是經常讓學生進行“查一查、算一算、看一看、想一想”的活動，使他們加深對生活中數學問題的認識。例如，讓學生看一看家里或公共場所里地磚的形狀，想一想為什么可以用正方形、正六邊形甚至可以用相同的不規則多邊形進行拼接。

三是組織學生開展“如果你是×××”的活動，強化訓練學生解決實際問題的能力。例如，讓學生解決“某賓館大廳有一高度為2.4米，坡度為30°的臺階，經理提出要在臺階上鋪設紅地毯。如果你是采購員，應采購多長的地毯？”“乒乓球拍每付20元，乒乓球每盒5元。兩家體育用品商店開展促銷活動，甲店決定顧客買任何商品都八折優惠，而乙店則采取‘購買一付球拍贈送乒乓球一盒’的優惠措施。班委決定購買球拍4副和乒乓球數盒（大于4盒）。如果你是體育委員，應選擇哪家商店購買？”這樣的實際問題。

2.引導學生把生活中的實際問題轉化為數學問題

這種訓練目的是為了培養學生去粗取精、去偽存真的能力，提高學生對數學材料的檢索能力。訓練采用的措施：

一是引導學生對教材中的材料和自己平時收集到的實際材料進行篩選，排除與數學無關的材料，用比較準確的數學語言、相應的數學符號、數學圖形把問題的主要意思表述出來。

二是指導學生把實際問題簡化為數學模型，使其中的相關元素呈現出來。例如“跳水運動員進行10米跳臺的跳水訓練，跳臺長3米，跳臺支柱在岸上距池邊1米，在跳某個規定動作時，該運動員在空中的最高處距水面10米，入水處距池邊的距離為4米，求運動員落到跳臺所在的平面時與起跳點的距離。”這個實際問題，面對這么多數據，學生感到無從下手。教師引導學生，根據物理知識可知運動員身體（看成一點）在空中的運動路線是一條拋物線。然后以跳臺所在的水平直線為橫軸，運動員所站位置為原點建立平面直角坐標系，從所給條件中找到拋物線經過（0，0）點，最大值為，入水點坐標為（2，-10），由此可求出拋物線的解析式。實際問題就是求拋物線與坐標橫軸的交點。這樣通過建立函數模型，學生很快就解決了問題。

3.引導學生根據相關材料構造數學模型

這種訓練目的在于培養學生分析、推理、概括、推斷能力，使學生能根據相關材料構造數學模型。訓練采用的方法：

一是通過明確數量關系去建立模型。對方程、不等式類型的問題，著重指導學生明確問題中的等量或不等量關系。例如這樣一個數學問題：在“錘子、剪子、布”游戲中，李浩贏了21次，得108分，其中用“剪子”贏“布”7次。請用所學的數學知識求出李浩用“布”贏“錘子”、用“錘子”贏“剪子”各多少次。這道題中的等量關系有：用“布”贏“錘子”的次數+用“錘子”贏“剪子”的次數=21-7；用“布”贏“錘子”的得分+用“錘子”贏“剪子”的得分+用“剪子”贏“布”的得分=108。通過建立方程模型就能解決這個問題。

二是通過認識問題特征去建立數學模型。例如對“求代數式+的最小值”這個問題，在學生感到無從下手時，可提示學生：這個代數式的形式與我們學過的什么式子相類似？學生很快就會聯想到勾股定理和平面直角坐標系內任意兩點的距離公式。因此，可建立幾何模型，利用勾股定理構造直角三角形，原題轉化為求兩點之間的最短距離；或通過建立函數模型，把原題轉化為“求（x，0）點到（0，2）與（12，3）這兩點的距離之和的最小值”。通過這樣點撥，學生就能舉一反三，知道利用相應的方法建立數學模型去解決問題。學生一旦具備了數學建模意識和建模能力，就能激發出創新思維的火花。

培養學生的數學建模意識和建模能力，能使學生進入用數學解決實際問題的廣闊天地，大大提高學生對數學學習價值的認識，提高學生的數學素質。

（責編 王學軍）