基于數學多元表征理論的教學設計

【關鍵詞】多元表征理論 等比數列前n項和公式 教學設計

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2013）01B-

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新課程的實施要以素質教育理念為指導，以學生發展為本，遵循教育教學規律，優化教學設計，提高教學的有效性。本文探討基于數學多元表征理論的教學設計。

一、數學多元表征理論

表征是認知心理學的核心概念之一，指信息或知識在心理活動中的表現和記載的方式。它既是外部事物在心理活動中的內部再現，又是心理活動進一步加工的對象。所以，數學表征是數學學習對象的一個替代。唐劍嵐博士認為數學多元表征是指數學學習對象的多種表征形式。這包括兩層含義：其一，同一數學學習對象必須具有言語化和視覺化兩種本質不同的表征；其二，數學學習對象的表征形式至少具有兩種或兩種以上。利用數學多元表征理論指導學習有助于學生對數學本質的理解，進行不同表征的轉換與轉譯時立足于認知負荷理論的要求，可以達到最佳學習效果。

二、基于數學多元表征理論的教學設計

以下以“等比數列的前n項和公式”的教學設計為例，說明基于數學多元表征理論的教學設計。

1.學情分析

學生學習了等差數列，從等差數列求和公式的推導，感受了數學多元表征對揭示數學對象本質的作用。本課將通過具體問題引出研究對象，運用圖形表征、符號表征加深學生對等比數列求和公式特征的視覺化認識，激發學生的學習興趣，增強學生自主探究的熱情。

2.教材分析

（1）本節內容的地位與作用

本節內容是“等比數列”內容的延續，是進一步學習數列知識和解決一類求和問題的重要基礎和有力工具。它在現實生活中有著廣泛的應用，如儲蓄、分期付款的有關計算等。公式推導過程所蘊涵的類比、分類討論等思想方法是學生數學素養的組成部分。

（2）教學的重點與難點

重點：等比數列前n項和公式。

難點：等比數列前n項和公式的推導。

3.三維目標設計

（1）知識與技能目標

理解公式的推導過程，掌握等比數列前n項和公式，并會解決一些簡單的有關問題。

（2）過程與方法目標

經歷通過數學多元表征揭示數學本質的過程，發現現象與本質的緊密聯系；經歷由提出猜想到自主探索過程，感受數學思想方法的合理性。

（3）情感態度與價值觀目標

經歷由特殊到一般的認識過程，受到辨證唯物主義思想的熏陶；體驗知識再發現過程，感受科學探究的嚴謹，以及數學思考與探索的樂趣；體會類比、分類討論等數學思想及其應用價值，培養將數學與生活相聯系的學習習慣。

4.教學過程設計

（1）情境引入，提出問題

“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”（《莊子》）為什么萬世取不完一尺之棰？請先將此問題轉化為數學問題，并用數學知識解釋它。由此引出：++++…+<1。

【教學設想】利用數學史料引出問題，激發學生的學習興趣。將一個具體問題經數學抽象變為等比數列求和問題，培養學生從實際問題抽象出數學模型的能力。

（2）觀察特例，提出猜想

引例為一個等比數列的前n項和，問題是如何求出++++…+，利用圖1表征可以幫助提出猜想與證明。

回到本章教材的引言部分，要算出印度國王獎賞國際象棋發明者西薩的麥粒數目，可利用圖形表征幫助學生發現規律：下一行的個數都是比前面所有行的個數之和多一個，如圖2。

【教學設想】數學多元表征從不同角度揭示數學知識的本真意義，是促進數學理解的有效方式。多元表征是學習的手段而不是目的，通過圖形表征、符號表征能達到發現一般規律的目的，通過視覺化表征能激發學生的興趣，提高學生的認知水平與行為參與度。

（3）證明猜想，得出公式

讓學生通過合理猜想、自主探究發現等比數列前n項和公式的推導方法。在此過程中鼓勵學生立足于自身知識經驗發散思維。結合學生實際可從以下幾個層面給予引導：

1）類比等差數列，使用倒序相加，不行，怎么辦？

①從猜想的和式（※）的m（1-qn）結構特征去思考：

并利用古代“田忌賽馬”策略對“錯位相減法”的運算方式、過程進行形象的言語表征與視覺表征，體現教育形態下數學知識的應用。

②從猜想（※）的公式結構特征去思考，還可以簡化證明：

2）從等比數列的定義去思考，即利用和比定理法證明（既回到定義又體現“相加”與“錯位”）：

3）從等比數列各項之間的符號特征去思考，即利用提取公因式法證明：

4）從歸納假設去思考，對基礎較好的學生提示課后利用數學歸納法證明猜想（※）。

當q=1時，顯然sn=na1，根據猜想sn=m（1-qn），當時n=1，s1=a1=m（1-q），所以當q≠1時，m=……

【教學設想】1）①中（1）為何乘以公比q？視覺化表征起到了幫助突破難點的作用，m（1-qn）是思維導火線，由此可以發現乘公比q才得到qn這個形式，而（1）-（2）就會出現1-qn。經典故事的形象化表征是數學源于生活、服務于生活的價值體現。教學中鼓勵學生模擬數學家的思維方式，發展創造性思維，同時讓學生意識到猜想需要嚴格證明才能成為共識或定理，認識對公比q分類討論的必要性，培養學生思維的嚴謹性。

（4）運用公式，提高認識

讓學生利用所學知識解決簡單實際問題，并設置有層次性的題目為課堂練習，兼顧不同程度的學生，促進學生理解與內化知識。

【教學設想】讓學生動手解決實際問題，學以致用，提高學習熱情，在問題解決中體驗成功的喜悅。

（5）過程與方法小結

學生對本節課所涉及的數學知識、思想方法以及自己的情感體驗進行回顧。

【教學設想】

教學目標是否達到，課程目標是否實現，要看學生對知識技能的掌握和學生在情感態度方面的收獲。

三、教學設計說明

本節課教學線索是“提出猜想→自主探究→完善猜想→簡單應用”，強調學生通過自主探索獲得發現的學習方法，運用數學多元表征幫助學生發現數學規律，注重培養學生的學習能力，讓學生學會有效學習。按照建構主義觀點，知識需要經過學習者的自身體驗，才能被同化與順應，因此教學設計注重體現學生的主體地位，發揮教師的引導作用。本節課注重以下幾個方面：1.揭示知識背景。2.在教學中滲透數學思想方法，借助數學多元表征揭示數學規律。3.展示知識的發生和發展過程。4.讓學生對所學知識進行內化與應用。學生在整個學習過程中動眼、動口、動手、動腦，進行由特殊到一般的歸納、猜想、證明，不僅能增強學生對數學活動的體驗，還能訓練學生“合情推理”，培養學生的問題意識、發散思維和解決問題的能力。教學中鼓勵學生從多角度探究解決問題的方法，對于學生養成良好的數學學習習慣非常有好處。

（責編 王學軍）