私募基金管理者的收益定價、風險選擇與契約設計

摘要考慮到市場非完備和私募基金管理者風險厭惡的實際情形，本文根據效用無差別原理，得到基金管理者收益的確定性等價價值滿足的偏微分方程，并運用有限差分法進行數值分析.結果表明：非系統風險溢價的增大使得收益價值與自有資金率呈遞增但呈邊際遞減規律；管理者的風險選擇決定于非系統風險和風險厭惡態度，在契約有限期的情形下，風險中性型管理者會選擇無限大的基金波動率，風險厭惡程度低（高）的管理者會選擇盡可能大（小）的基金波動率；并從確定性等價的角度討論了契約設計問題.

關鍵詞隨機控制；HJB方程；私募基金；確定性等價價值；風險溢價

中圖分類號F830.8 文獻標識碼A

1引言

自1993年開始，私募基金開始在我國出現，相對于公募基金來說，具有募集對象特定化、門檻高、信息披露要求低和監管疏松等特色.通常，私募基金具有激勵型契約，即基金管理者不僅能獲得固定管理費，還能通過優異的業績表現獲得業績提成費，這是一種期權式契約，若市場是完備的，根據Black and Scholes ＼[1＼]，基金管理者的收益價值可通過BS公式計算.但事實上，私募基金是不可流動的資產，且私募基金管理者必須持有一部分基金份額且通?；鸨怀钟兄练忾]期滿，這就致使管理者的財富不能充分分散化，他將面臨著不可充分分散化的非系統風險，傳統的金融理論強調只有資產充分分散化才能化解非系統風險，因此基金管理者不僅面臨著基金的系統風險，還面臨不能充分分散化的非系統風險，也稱為特質風險，所以傳統的B-S定價方法不再適用于私募基金管理者的收益定價，參見夏斌＼[2＼].直覺地，這部分非系統風險肯定會降低管理者的收益價值，并對管理者的投資行為有很大影響.

為了對管理者的收益進行定價和進行相關研究，本文假設私募基金管理者可在無風險資產、市場組合和不可流動的私募基金這三種資產中進行財富配置，且在最優投資策略下使得私募管理者的終止時刻期望財富效用最大化，根據效用無差別原理，利用隨機控制方法，推導出了私募基金管理者的收益的確定性等價價值所滿足的非線性偏微分方程，以及最優對沖策略的數學表達式.并在定價的基礎上，討論管理者的風險選擇和激勵契約設計問題.

私募基金是委托組合投資管理的一種，其他常見的委托組合投資管理有：公募基金、券商集合理財產品、對沖基金和信托產品等.委托組合投資管理一直是金融學術界的研究熱點，研究內容主要分為三個方面.第一方面，對委托組合投資管理的定價研究，如梁進＼[3＼]在完備市場假設下利用類似巴黎期權定價思想對券商集合理財產品定價，Goetzmann， Ingersoll， and Ross＼[4＼]和Song， Yang， and Yang＼[5＼]探討了高水位線（High water mark）契約對對沖基金價值和管理的影響，Sorensen， Wang， and Yang ＼[6＼]對私募股權進行定價.第二方面，凸收益契約（如期權式契約、高水位線契約）是否引起管理者的風險尋求行為，根據金融經濟學的直覺，學術界普遍認為具有凸性收益（convex payoff）特性的契約會引起基金管理者的風險尋求行為，因為基金管理者只會因基金業績好而獲得業績提成收益，而不會因基金業績糟糕而受到相應的經濟懲罰，這就致使管理者會通過增大基金的波動率或杠桿來使自己更大可能獲得高收益，如Titman＼[7＼]得出在完備市場下，如果基金管理者得到的是歐式看漲期權式的報酬收益，那么他會選擇無限大的波動率使得自身收益最大；但這一直覺近期受到了挑戰，如Carpenter＼[8＼]和Ross＼[9＼]，他們認為期權式凸性契約不會引起風險厭惡型管理者更多的風險尋求行為，而只有風險中性型管理者會選擇無限大的波動率；Panageas and Westerfield＼[10＼]認為在無限期的情形下，即使風險中性型管理者也不會選擇無限大的波動率，而是會類似于CRRA（constant relative risk aversion）投資者，選擇以常數比例投資于的M-V有效組合和無風險資產.第三方面，從委托代理角度研究委托組合投資管理問題，設計最優激勵契約，如國內研究有張漢江＼[11＼]、劉煜輝＼[12＼]、張永鵬＼[13＼]均從委托代理角度討論了激勵契約型基金的最優激勵契約設計問題，肖欣榮＼[14＼]從委托代理角度研究了私募基金的管理規模和最優激勵契約，發現“2-20”型契約不具有廣泛合理性且業績提成費可降低道德風險，國外研究有Yang[15]討論連續情形下的委托組合投資管理的最優契約設計問題.本文研究兼顧這三方面，先對私募基金管理者的收益進行定價，再討論風險選擇問題，最后討論契約設計問題，但本文不是討論最優契約設計，而是從確定性等價角度討論契約設計問題.

5結論

資產定價是金融學的核心問題之一，凸收益契約是否引起管理者風險尋求行為和激勵契約設計問題也是公司金融研究領域中的熱點問題.與公募基金不同，私募基金一般是不可流動的，而且通常基金被持有至封閉期滿，所以傳統的B-S定價方法不再適合私募基金管理者收益的定價.本文以最優投資策略下的終止時刻期望財富效用最大化為目標，結合隨機控制方法，推導出了私募基金管理者收益的確定性等價價值滿足的非線性偏微分方程，并用有限差分法求解，進行經濟分析.在定價的基礎上，本文推導出了風險溢價的具體解析式，當管理者是風險中性的，非系統風險溢價為零；非系統風險溢價的增大使得收益價值是自有資金率的遞增凹函數；在有限期的情形下，風險中性型管理者會選擇無限大的基金波動率，風險厭惡型管理者可能選擇較大的波動率也可能選擇較小的波動率，管理者的風險選擇決定于非系統風險和風險厭惡程度；最后根據在確定性等價角度下的固定管理費率和業績提成費率之間的權衡關系，討論私募基金的契約設計，這對現實中基金管理者設計合理的契約具有重要參考意義.

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