幾何直觀在處理復雜問題簡單化中的有效運用

教師在理解幾何直觀時，要注意以下幾個問題：第一，幾何直觀指的是通過“幾何”的手段，達到“直觀”的目的，實現“描述和分析問題”的目標。這里的“幾何”手段主要是指“利用圖形”，“直觀”的目的主要是將“復雜、抽象的問題變得簡明、形象”。因此，幾何直觀對學生而言是一種有效的學習方法，對教師而言是一種有效的教學手段，它是數形結合思想的體現，在整個數學學習過程中發揮著重要作用。第二，幾何直觀所利用的“圖形”主要是指點、線、面、體以及由以上四要素組成的其他幾何圖形，在小學階段主要有正方形、長方形、三角形、平行四邊形、梯形、圓，以及線段、直線、射線等。幾何直觀所要描述和分析的問題，不僅可以是生活問題，而且可以是數學問題。第三，幾何直觀的意義和價值主要體現在三個方面：一是有助于把復雜、抽象的問題變得簡明、形象，二是有助于探索解決問題的思路并預測結果，三是有助于幫助學生直觀地理解數學。

一、合情推理，計算教學中幾何直觀的運用

小學的數學內容中，有相當部分的內容是計算問題，借助圖形的直觀性將抽象的數學概念、運算等形象化、簡單化，給學生以直觀感，讓學生以多種感官充分感知，讓學生對幾何直觀的“威力”多一些感性的體驗。

【案例一】速算中的十位相同的兩位數乘法，如“15×17”，其口訣為：1. 首數相乘10×10；2. 尾數相加的和乘首數（5+7）×10；3. 尾數相乘5×7；4. 三個得數相加。許多學生只是在背口訣，或者跟列豎式對照，只知其一，不知其二。如果用求長方形面積的方法輔助理解那么將會得到事半功倍的效果。

正方形a的面積：10×10=100；

長方形b+c的面積：（5+7）×10=120；

長方形d的面積：5×7=35；

所以，總的面積：100+120+35=255。

這種方法體現了在形成表象的基礎上理解數學計算的本質，體現了知識間是相通的，把計算和空間形式聯系起來，不但縮短了知識間的距離，而且還減少記憶容量?！霸趥鹘y領域之間界限的日趨消失是現代數學的特性之一，而幾何直觀在其間起著聯絡作用。”某些問題的信息之間，某個知識塊之間，代數與幾何之間，幾何直觀使復雜多樣的知識變得簡單明了。

【案例二】比較下面兩個積的大?。篈=987654321×123456789，B=987654322×123456788。

大多數學生都是利用乘法分配律來解答的，過程很繁瑣：A=123456789×987654321=（123456788+1）×987654321=123456788×987654321+987654321；B=123456788×987654322=123456788×（987654321+1）=123456788×987654321+123456788，所以，A>B。

如果我們能夠從幾何的角度出發，大膽進行合情推理，把這幾個數想成長方形的長和寬，積就是面積，那么，當長方形的周長一樣時，形狀越接近正方形，它的面積就越大。則有：因為987654321+123456789=987654322+123456788，又987654321-123456789<987654322-123456788（前差比后差小2）所以，A>B。

這種思維就體現出了整體性、跳躍性和創造性。在這里，幾何直觀顯示了強大的思維力量，通過類比和聯想，將數學的不同領域聯系在一起，體現了差異與統一的轉化。數學是抽象的、形式化的，學生學習數學更多的是根據數據進行精確的計算。而幾何直觀可以跳開計算，直接獲得答案。本質上，幾何直觀塑造的是學生認識外界的思維品質和多元的認知方式。在這個過程中，合情推理就顯得極為重要。

二、以形助數，解決問題中幾何直觀的運用

借助“形”的直觀，能促進學生形成從“數”和“形”的角度把“數和形”結合起來考慮問題的意識，有機滲透數形結合這一重要的數學思想。

【案例三】甲乙兩人從A、B兩地同時出發，相向而行，按預定速度他們將在下午5時在途中相遇，如果他們每人每小時都比預定速度快1千米，則可在下午4時相遇，如果他們每人每小時都比預定速度慢1.5千米，則要在下午7時相遇，A、B兩地的距離是（）千米。

分析：這道行程問題數量關系隱蔽，用算術法解答不容易理解。我們分析：用長方形圖幫助分析。

黑色（中）長方形面積（C+D+B+F）表示按原速度行走的路程，紅色長方形面積（C+D+E）表示以每小時加快2千米的速度行走的路程，藍色長方形面積（A+B+C）表示以每小時少走3千米的速度行走的路程，由于黑色長方形面積=紅色長方形面積=藍色長方形面積，則C+D+B+F=C+D+E=A+B+C，可得A+B=D+E=D+B+F，又得B+F=E，D+F=A。

解：設準時到達的時間為x小時，依據原速度減3千米等于減速后的速度，則：

2（x-1）-3=3x÷2

解得x=10

所以路程是（3×10÷2）×（10+2）=180（千米）

通過圖形的直觀性質將抽象的數量關系形象化、簡單化，實現數學問題與圖形之間的互相轉化，相互滲透，不僅使解題過程簡捷明了，還開拓解題思路，為研究和探求數學問題開辟了一條重要的途徑。借助幾何直觀進行教學，可以形象生動地展現問題的本質，有助于促進學生的數學理解。在有機滲透數學思想方法的同時，提高學生的思維能力和解決問題的能力。幾何直觀圖形的使用，不但可以幫助學生發現并理解數學結論，而且有利于掌握數學發現的方法，有利于培養學生的觀察能力和空間觀念。

三、想象和頓悟，數學廣角中幾何直觀的運用

【案例四】五（1）班舉行一次數學競賽，共有15道題。做對一題得10分，做錯一題倒扣4分。小明15道題全做了，但只得了94分，他做對了幾題？

我們可以畫這樣一個面積圖：用A表示做對題所得總分，用B表示做錯題所扣總分。

這樣，就可知道A-B=94，（A+C）-（B+C）=94。B+C=15×4=60，所以A+C=154，A+C所組成的長方形寬是14，則長為154÷14=11，即為做對題數。

利用直觀的圖形，學生能積極地思考圖中正方形的面積的變化和數量之間的聯系。在此基礎上用數學式子表達它的規律。

幾何通常被喻為“心智的磨刀石”，幾何在數學研究中起著聯絡、理解，甚至提供方法的作用。數學中的許多問題，其靈感往往來自于幾何直觀。借助幾何直觀、幾何解釋，能啟迪思路，幫助我們理解和接受抽象的內容和方法；抽象觀念、形式化語言的直觀背景和幾何形象，都為學生創造了一個自己主動思考的機會，揭示經驗的策略。創設不同的數學情境，使學生從洞察和想象的內部源泉入手，通過自主探索、發現和再創造，經歷反思性循環，體驗和感受數學發現的過程。

（作者單位：福建省福州教育學院附屬第四小學本專輯責任編輯：王彬）