小學數學解方程教學的思考

根據課程標準編寫的教材在解方程教學的編排與以前舊教材相比有很大的不同。舊教材是讓學生熟記四則運算各部分之間的關系，利用四則運算各部分之間的關系來解方程。而新教材則是通過探索、理解等式的基本性質，再應用等式的基本性質來解方程。正是由于這種變化，在教學實踐中出現了一系列問題，筆者對這些問題進行了思考，找出了一些解決問題的辦法。現提出來，敬請各位同仁批評指正。

問題一：例如3x-7+7化簡為3x如何教學？

我們先看一個解方程的實例：

3x-7=8

解：3x-7+7=8+7 ……①

3x=15 ……②

3x÷3=15÷3

x=5

在這個實例中，第②步3x-7+7化簡為3x。類似這樣的化簡有x+4-4化簡為x、2x÷2化簡為x……只要是運用等式的基本性質解方程就一定會用到這樣的化簡。而這樣的化簡在教材中沒有作任何說明和鋪墊，似乎“地球人都知道”。絕大部分教師在教學中只是強調這是“抵銷”了，學生也只是糊里糊涂地照著做。

當然，在第三學段即初中教學中，這不是個問題。因為學生在學習解方程之前已經學習了“互為相反數的兩個數的和是0”“互為倒數的兩個數的積是1”等知識。而這恰恰是上面所說“抵銷”的知識基礎。可是小學生學習解方程是在五年級，并沒有以上的知識基礎。所以這是小學生學習用等式的基本性質解方程的一個障礙。

解決辦法：添加“抵銷規律”的教學。

筆者認為，解決的辦法是在教學解方程之前，教材中或至少在教師的教學中應添加“抵銷規律”的教學，即引導學生通過對一系列的算式（例如，計算下面各題，請仔細觀察，看你發現了什么？49+8-8，36.3-1.25+1.25+-；130×4÷4，8.7÷0.3×0.3，÷×）的觀察讓學生發現并總結“抵銷規律”：一個數先加上a再減去a或者先減去a再加上a，還得原數；一個數先乘以a再除以a或者先除以a再乘以a，還得原數（a不為0）。還可以讓學生想一想為什么會有這樣的規律，以加深對此規律的理解。

有了這樣的認知基礎后，再教學利用等式的基本性質解方程，在進行類似于“3x-7+7化簡為3x”的化簡過程時就沒有認知障礙了。

問題二：形如a-x=b、a÷x=b方程的解法如何教學？

運用等式的基本性質解a-x=b、a÷x=b的方程，過程會較為復雜。而按老教材教法，運用四則運算各部分的關系來解，過程會很簡潔。正因為運用等式的基本性質解過程復雜，課程標準教材回避了這類方程。但實際上這樣的方程是沒法回避的，學生在做練習、測驗或解決生活中的實際問題時常會碰到。

目前大部分教師實際教學中用“兩條腿走路”，既教學利用等式的基本性質解方程，又教學利用四則運算各部分的關系解方程。筆者認為這樣教學，一方面是加重了學生學習的負擔，對于學困生更會產生思維上的混淆；另一方面是沒能深入領會課程標準及教材的精神。五年級數學《 教師教學用書 》上指出：“長期以來，在小學教學簡易方程，方程變形的依據總是加減運算的關系或乘除運算之間的關系。”這實際上是用算術的思路求未知數。到了中學重新學習依據等式的基本性質或方程的同解原理解方程，而且小學的思路及其算法掌握得越牢固，對中學代數起步教學的負遷移就越明顯。現在，根據課程標準的要求，從小學起就引入等式的基本性質，并以此為基礎導出解決方程的方法，這就較為徹底地避免了同一內容兩種思路、兩種算理解釋的現象，有利于加強中小學數學教學的銜接。

解決辦法：不回避，堅持運用等式基本性質。

筆者認為，解決的辦法是教材中不回避形如a-x=b、a÷x=b的方程。再說了，初中也沒有教學這樣方程的解法，小學不學，什么時候學？教學中教師仍引導學生運用等式的基本性質解，先把方程兩邊同時加上x或同時乘以x（這時應引導學生弄清這里的x不可能是0），然后將方程兩邊進行交換，再把方程兩邊同時減去b或同時除以b。

問題三：形如4x+2（8-x）=26（人教版教材六年級上冊第114頁）的方程解法如何教學？

《 義務教育數學課程標準 》（2011年版）在第二學段目標中指出要讓學生“會（能）解簡單的方程”。這里所說的“簡單的方程”簡單到什么程度沒有明確說明，以前所實行的教學大綱中明確說明了方程只講到ax±b=c及ax±bx=c的方程。

由于難易程度沒有明確，人教版小學數學六年級上冊教材第114頁在教學雞兔同籠問題（籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有8個頭，從下面數，有26只腳。雞和兔各有幾只？）時，出現了4x+2（8-x）=26的方程。從原教學大綱中ax±bx=c的方程到現在4x+2（8-x）=26的方程，這中間的跨度太大。我們先看看它的解答過程。

4x+2（8-x）=26

4x+（2×8-2x）=26 ……①

4x+（16-2x）=26 ……②

4x+16-2x=26 ……③

4x-2x+16=26 ……④

2x+16=26

2x=10

x=5

從初中所學的有理數的角度看，其中第③步實質上是運用了加法結合律，第④步實質上是運用了加法交換律。這些對于初中學生來說很容易理解，但對于小學生來說，由于沒有學習有理數的加減法，無法理解“減去一個數，就是加上這個數的相反數”的道理，因此也無法理解上面的第③、第 ④步是運用了加法結合律和加法交換律。

解決辦法：提早認識兩條規律。

（1）讓學生認識“同一級運算，可以帶著符號搬家”的規律。

在教學人教版四年級下冊第三單元“運算定律與簡便運算”中的第39頁“簡便計算”的例1時，當學生用到課本中的第三種方法時，可以向學生介紹：這里234-66-34=234-34-66實際上是將34帶著它前面的符號“-”搬家了，將“-34”搬家到了234的后面。這個方法可以叫做“帶著符號搬家”。那么在哪種情況下可以“帶著符號搬家”？讓學生舉例說明。學生若舉例不成，教師可以舉例，根據所舉例子讓學生歸納規律：“在只有加減法的算式里，可以帶著符號搬家。”

同樣地，在教學第43頁例題時，當學生用到這種算法“1250÷25÷5=1250÷5÷25”時，也向學生說明這實際上是運用了“帶著符號搬家”的規律，這又是在什么情況下運用這個規律的？在只有乘除法的情況下可以用嗎？讓學生舉例驗證后小結：“在只有乘除法的算式里，可以帶著符號搬家。”進而讓學生將本條規律與上一條規律合在一起歸納為“同一級運算，可以帶著符號搬家”。

學生認識了“同一級運算，可以帶著符號搬家”的規律后，問題三解方程中的第④步就可以解釋為“同一級運算，可以帶著符號搬家”。

（2）補充教學“去括號”的規律。

在四年級下冊第三單元“運算定律與簡便運算”中，當學生已學習了加法結合律和減法性質后，可補充教學“去括號”的規律。可以先引導學生觀察加法結合律和減法性質的字母式子：a+（b+c）=a+b+c和a-（b+c）=a-b-c，想一想a+（b-c）= ，a-（b-c）=

。并讓學生舉例驗證，最后讓學生小結加減法中去括號的規律。

問題三解方程中的第③步就可以解釋為運用了“去括號”的規律。

事實上這兩條規律，不僅在解復雜的方程中用到，而且在四年級開始學習的簡便計算中常常被用到，非常實用，應讓學生提前認識。

問題四：形如2x+4（8-x）=26（人教版教材六年級上冊第114頁）的方程解法如何教學？

剛才解決了雞兔同籠問題中的一類方程的解法，當時是設兔有x只的。如果是設雞有x只，那么就會列出2x+4（8-x）=26的方程。對于小學生來說，解這個方程更難。我們還是先看看它的解答過程。

2x+4（8-x）=26

2x+（4×8-4x）=26 ……①

2x+（32-4x）=26 ……②

2x+32-4x=26 ……③

32-2x=26 ……④

2x=6

x=3

可以看出即使學生認識了“同一級運算，可以帶著符號搬家”“去括號”的規律，要想正確解上面的方程仍會有困難，難就難在第④步。

實際教學中教師常常采用回避的辦法，告訴學生設腳多的動物為x只，解方程容易些。

如果不回避，那么怎樣幫助學生突破這個難點呢？

解決辦法：讓學生掌握“有加有減，抵銷一部分”的方法。

讓學生化簡下面式子，并觀察，看能否找出快速化簡的好辦法。

a+5-8，b+7-1，x-9+4，y-2+10。

如果學生化簡有困難，可以a+5-8為例講解化簡方法。

a+5-8=a+5-（5+3）……將加數5和減數8中 較大的一個數進行拆分

=a+5-5-3 ……運用減法的性質

=a-3 ……運用“抵銷的規律”

再讓學生想一想如果省略第一步、第二步，可以怎么化簡？完成以上化簡后，引導學生小結“有加有減，抵銷一部分”的方法：“加上一個數又減去另一個數，或是減去一個數又加上另一個數，要看是加得多，還是減得多。如果是加得多，最后結果仍是加上幾，如果是減得多，最后結果仍是減去幾；最后加上或減去的數是原算式中加數與減數的差。”這個方法實際上是初中數學中正數與負數相加加法法則的小學化。

學生掌握了“有加有減，抵銷一部分”的方法后，再遇到類似于2x+32-4x=26這樣的方程，可以先運用加法交換律，變形為32+2x-4x=26，再運用“有加有減，抵銷一部分”的方法進行化簡變形，得到32-2x=26，進而解得結果。

綜上所述，按現行課程標準和現在的人教版教材教學解方程，需要教師補充教學“抵銷規律”“同一級運算，可以帶著符號搬家”“去括號”“有加有減，抵銷一部分”這四個規律或方法。只有這樣才能掃清學生學習解方程的知識和技能障礙，為提高學生解方程的能力打下堅實的基礎，幫助學生消除對解方程的畏難情緒，達到會學、樂學的目的。

（作者單位：武漢市前川五小，湖北 武漢，430300）