2013年高考廣東文科數學模擬試題

本試卷分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘

參考公式：球的體積V=πR3，其中R為球的半徑.

錐體的體積公式為V=Sh，其中S為錐體的底面積，h為錐體的高.

第I卷（選擇題 共50分）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1. 在復平面內，復數z=（i是虛數單位）對應的點在（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

2. 已知集合A={x|x2-x-2=0}，B={x|ax=1}，若A∩B=B，則a的值是（ ）

A. -1，，0 B. 1，-，0

C. -，1 D. ，-1

3. 下面四個條件中，使a>b成立的充分而不必要的條件是（ ）

A. （）2>ab B. ac>bc

C. |a|>|b| D. a-b>1

4. 已知向量=（1，0），=（λ，1），若向量-與向量 的夾角為90°，則λ的值為（ ）

A. -1 B. 1 C. 0 D. 2

5. 已知雙曲線-=-1的離心率為，則此雙曲線的漸近線方程為（ ）

A. 7x±5y=0 B. 5x±7y=0

C. 3x±4y=0 D. 4x±3y=0

6. 某流程圖如圖1所示，現分別輸入選項所述的四個函數，則可以輸出的函數是 （ ）

A. f（x）=2x4+3|x| B. f（x）=x3

C. f（x）=x+ D. f（x）=2|x|+1

7. 已知不等式≥（a2-a）對于x∈[2，6]恒成立，則a的取值范圍是（ ）

A. （-∞，-1]∪[2，+∞）

B. （-∞，-2]∪[3，+∞）

C. [-2，3]

D. [-2，2]

8. 如圖2是某幾何體的三視圖（單位m），則其表面積為（ ）m2.

A. 112+16+32

B. 80+32+16

C. 80+16+16

D. 112+16+16

9. 如圖3，甲船位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，乙船以10海里/小時的速度從島嶼A出發沿正北方向航行，若甲船同時從B處出發沿北偏東α的方向追趕乙船，剛好用2小時追上.則甲船的速度為（ ）海里/小時.

A. 8 B. 10 C. 12 D. 14

10. 若對于定義R在上的函數f（x），其函數圖像是連續的，且存在常數λ（λ∈R），使得f（x+λ）+λf（x）=0對任意的實數x成立，則稱f（x）是“λ-同伴函數”.下列關于“λ-同伴函數”的敘述中正確的是（ ）

A. f（x）=x2是一個“λ-同伴函數”

B. f（x）=[x][]是一個“λ-同伴函數”

C. f（x）=0是唯一一個常值“λ-同伴函數”

D. “-同伴函數”至少有一個零點

第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）

二、填空題：本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分.

（一）必做題（11～13題）

11. 采用系統抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調查，為此將他們隨機編號為1，2，3，…，960，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為10.抽到的32人中，編號落入區間[1，450]的人做問卷A，編號落入區間[451，750]的人做問卷B，其余的人做問卷C.則抽到的人中，做問卷B的人數為 .

12. 若實數x，y滿足不等式|x|+|y|≤1，則z=2x+3y的最大值是 .

13. 用C（A）表示非空集合A中的元素個數，定義A?B =C（A）-C（B），當C（A）≥C（B）

C（B）-C（A），當C（A）≤C（B）若A={1，2}，B={x|

|x2+mx+1|=1}，且A?B =1，由m的所有可能值構成的集合是S，那么C（S）等于 .

（二）選做題（14～15題，考生只能從中選做一題）

14. （坐標系與參數方程選做題）以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C1，C2的極坐標方程分別為ρcosθ=1，ρ=4cosθ（ρ≥0，0≤θ<），則曲線C1與C2交點的極坐標為 .

15. （幾何證明選講選做題）已知PA是的☉O切線，切點為A，☉O的半徑為4，直線PO交☉O于B、C兩點，AC=2，則∠PAB的大小為 .

三、解答題（本題共6大題，滿分80分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）.

16. （12分）已知向量=（sinα，4）與=（cosα，3）其中α∈（0，π）.

（1）求|-|的值域；

（2）若與共線，求cos（α-）的值.

17. （12分）某食品廠為了檢查甲乙兩條自動包裝流水線的生產情況，隨即在這兩條流水線上各抽取40件產品作為樣本稱出它們的重量（單位：克），重量值落在（495，510]的產品為合格品，否則為不合格品.表1是甲流水線樣本頻數分布表，圖5是乙流水線樣本的頻率分布直方圖.

（1）根據上表數據在答題卡上作出甲流水線樣本的頻率分布直方圖；

（2）若以頻率作為概率，試估計從兩條流水線分別任取1件產品，該產品恰好是合格品的概率分別是多少；

（3）由以上統計數據完成下面2×2列聯表，并回答有多大的把握認為“產品的包裝質量與兩條自動包裝流水線的選擇有關”.

附：下面的臨界值表供參考：

（參考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）

18. （14分）如圖6所示，圓柱底面的直徑AB長度為，O為底面圓心，正三角形ABP的一個頂點P在上底面的圓周上，PC為圓柱的母線，CO的延長線交☉O于點E， BP的中點為F.

（1） 求證：平面PB⊥平面ACF；

（2） 求點B到平面ACF的距離.

19. （14分）已知二次函數f（x）=ax2+bx+c的對稱軸為x=-，f（0）=3，f（2）=，數列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn=f（n），n∈N?.

（1）求函數f（x）的解析式；

（2）求數列{an}的通項公式；

（3）若數列{bn}滿足bn=an-，Tn=b1+++…+（n≥2），求證Tn<.

20. （14分）在直角坐標系xOy中，動點P與定點F（1，0）的距離和它到定直線x=2的距離之比是，設動點P的軌跡為C1.

（1）求動點P的軌跡C1的方程；

（2）已知動直線l過點F，且與軌跡C1交于A，B兩點，試問x軸上是否存在定點Q，使得·=-恒成立？若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由.

21. （14分）已知函數f（x）=ex-mx-1，g（x）=lnx-x.

（1）討論函數f（x）的單調區間；

（2）求函數g（x）的極大值；

（3）求證：lnx0）.

2013年廣東高考文科數學模擬試題參考答案

第I卷（選擇題 共50分）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1. z===-+i，故z在復平面內對應的點在第二象限，故選B.

2. 依題意可得A∩B=B?B?A，A={x|x2-x-2=0}={2，-1}，當x=2時，2a=1，解得a=；當x=-1時，a=-1又因為B是空集時也符合題意，這a=0時，故選A.

3. 對于選項A，由（）2>ab可得a2+2ab+b2>4ab，即a2-2ab+b2>0，（a-b）2>0，故（）2>ab不能推得a>b成立，不合題意；對于選項B，因為ac>bc?（a-b）c>0，當c>0時a>b成立，當c≤0時a>b不成立，故B不合題意；對于選項C，由|a|>|b|可推得a2>b2，由a2>b2可得到（a+b）（a-b）>0，不能推得a>b成立，故C不合題意，逐項驗證知可選D.

4. 依題意可得-與垂直，即（-）·=0，即[][2]-·=0，得到·=[][2]=1，又·=λ故λ=1，選B.

5. 由-=-1，可得-=1，故e====，得到1+=，即=±，漸近線為y=±x=±x，即5x±7y=0，選B.

6. 對于A，因為f（-x）=2（-x）4+3|-x|=2x4+3|x|=f（x）不合題意；對于D，f（-x）=2|-x|+1=2|x|+1=f（x），不合題意，舍去；對于B，f（-x）=（-x）3=-x3=-f（x），是奇函數，但是f ′（x）=3x2≥0，故f（x）在R上單調遞增，無極值，不合題意；對于C，f（-x）=-x+=-（x+）=-f（x），由f ′（x）=1-=可知當x>1或x<-1時f ′（x）>0，故函數f（x）=x+在x=1與x=-1處存在極值，選C.

7. 法1：設y=，y′=-，故y=在x∈[2，6]上單調遞減，即ymin==，故不等式≥（a2-a）對于x∈[2，6]恒成立等價于（a2-a）≤成立，化簡得a2-a-6≤0，解得-2≤a≤3，故a的取值范圍是[-2，3]，選C.

法2：設y=，由復合函數的單調性容易得到y=在x∈[2，6]上單調遞減，即ymin==，故不等式≥（a2-a）對于x∈[2，6]恒成立等價于（a2-a）≤成立，化簡得a2-a-6≤0，解得-2≤a≤3，故a的取值范圍是[-2，3]，選C.

8. 依題意可得幾何體是一個組合體，如圖7，它的上部分是棱長為4m的正四面體，中間部分是棱長為4m的正方體，下部是有一條長為4m的棱垂直于底面（邊長為4m）的四棱錐，上部分的表面積為×4×4××4=16m2，中間的為4×4×4=64m2，下部分的為×4×4×2+×4×4×2=16+16m2，故所求的表面積為（80+16+16）m2，選C.

9. 依題意，∠BAC=120°，AB=12，AC=10×2=20，∠BCA=α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC=122+202-2×12×20×cos120°=784，解得BC=28.所以甲船的速度為=14海里/小時，選D.

10. 用反證法，假設f（x）=x2是一個“λ-同伴函數”，則（x+λ）2+λx2=0，即（1+λ）x2+2λx+λ2=0對任意實數x成立，所以λ+1=2λ=λ2=0，而此式無解，所以f（x）=x2不是一個“λ-同伴函數”，A錯誤；因為f（x）=[x][]的定義域是x≥0，不是R，故B錯誤；設f（x）=C是一個“λ-同伴函數”，則（1+λ）C=0，當λ=-1時，可以取遍實數集，因此f（x）=0不是唯一一個常值“λ-同伴函數”， C錯誤.

令x=0，得f（）+f（0）=0，所以f（）=f（0）.若f（0）=0，顯然f（x）=0有實數根；若f（0）≠0，f（）·f（0）=-（f（0））2<0.又因為f（x）的函數圖像是連續不斷，所以f（x）在（0，）上必有實數根.因此任意的“-同伴函數”必有根，即任意“-同伴函數”至少有一個零點，故D正確，

第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）

二、填空題：本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分.

11. 從960中用系統抽樣抽取32人，則每30人抽取一人，因為第一組號碼為10，則第二組為40，公差為30.所以通項為an=10+30（n-1）=30n-20，由451≤30n-20≤750，即15≤n≤25，所以n=16，17，…25，共有25-16+1=10人.

12. x，y滿足不等式|x|+|y|≤1，則點（x，y）的可行域如圖8所示：

當z=2x+3y經過點A（0，1）時，z=2x+3y取得最大值3.

13. 依題意知C（B）=1或C（B）=3，當C（B）=1時，方程|x2+mx+1|=1恰有1個根，有=1，得m=0；當C（B）=3時，方程|x2+mx+1|=1恰有3個根，有=-1，得m=±2，故m的可能值有3個，故C（S）=3.

14. 由ρcosθ=1，

ρ=4cosθ（ρ≥0，0≤θ<），可得cos2θ=，解得θ=（θ=-不合題意舍去），故ρ=2，即兩曲線的交點的極坐標為（2，）.

15. 由弦切角定理可得∠PAC=∠ABC，在RtΔABC中，因為BC=2AC=4，由∠CAB=90°，得∠ABC=30°，故∠PAC=30°，故∠PAB=120°.

三、解答題（本題共6大題，滿分80分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）.

16. 解：（1）-=（sinα，4）-（cosα，3）=（sinα-cosα，1），|-| ===.

∵α∈（0，π），∴2α∈（0，2π）.

所以sin2α∈[-1，0）∪（0，1]，得到∈[1，）∪（，]，即|-| 的值域為[1，）∪（，].

（2）∵向量=（sinα，4）與=（cosα，3）共線，∴3sinα-4cosα=0，即3sinα=4cosα.

又∵sin2α+cos2α=1，∴cos2α+cos2α=1，即cos2α=，∴sin2α=.

當α∈（0，），sinα=，cosα=.

當α∈（，π），sinα=，cosα=-，不合題意舍去.

∴cos（α-）=cosαcos+sinαsin=×+×=.

17. 解：（1）甲流水線樣本的頻率分布直方圖如下：

（2）由表1知甲樣本中合格品數為8+14+8=30，由圖5知乙樣本中合格品數為（0.06+0.09+0.03）×5×40=36，故甲樣本合格品的頻率為=0.75，乙樣本合格品的頻率為=0.9.

據此可估計從甲流水線任取1件產品，該產品恰好是合格品的概率為0.75.

從乙流水線任取1件產品，該產品恰好是合格品的概率為0.9.

（3）2×2列聯表如下：

∵K2==≈3.117>2.706，

∴有90%的把握認為產品的包裝質量與兩條自動包裝流水線的選擇有關.

18.（1）證明：正三角形ABP中，F為BP的中點， ∴AF⊥PB.

∵PC為圓柱的母線， ∴PC⊥平面ABC.

而AC在平面ABC內， ∴PC⊥AC.

∵AB為☉O的直徑，∴∠ACB=90°即AC⊥BC.

又∵PC∩BC=C，∴AC⊥平面PBC.

而PB在平面PBC內，∴ AC⊥PB.

又∵AC∩AF=A，∴PB⊥平面ACF.

（2）解：由（1）知AC⊥BC，PC⊥AC，同理PC⊥BC，AC⊥CF.

而PA=PB=AB=，可證RtΔPAC≌RtΔPBC，

∴AC=BC=PC=1.

在RtΔPBC中，CF===.

SΔACF=×AC×CF=×1×=，

SΔABC=×AC×BC=×1×1=.

設點B到平面ACF的距離為h，

因為VF-ABC=VB-ACF，所以×h×=××，解得h=.

19.（1）解：由題意可得f（0）=c=3，

-

=-

，

4a+2b+c=

，即c=3，

b=

a，

4a+2b+c=

，解得a=，b=，c=3，故函數f（x）的解析式為f（x）=x2+x+3.

（2）解：由（1）可得Sn=f（n）=n2+n+3（n∈N?）.

當n=1時，a1=++3=，

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2+n+3-（n-1）2-（n-1）-3=+，

又n=1時，+=≠，所以an=

，n=1

+

.n≥2

（3）證明：n=1時，b1=a1-=-==，

當n≥2時，bn=+-=，=，

則Tn=b1+++…+（n≥2）

=+4×（++…+）（n≥2）

=+4×（-+-+…+-）

=+4×（-）<.

20. （1）解：由已知，得=，將兩邊平方，并化簡得+y2=1，故軌跡C1的方程是+y2=1.

（2）假設x在軸上存在點Q（m，0），使得·=-恒成立.

當直線l的斜率為0時，A（，0），B（-，0），則（-m，0）·（--m，0）=-，故m2=，故m=±.

當直線l的斜率不存在時A（1，），B（1，-），則（1-m，）·（1-m，-）=-，故（1-m）2=，故m=或m=.

綜合得m=.

下面證明m=時·=-恒成立.

顯然直線l的斜率為0時·=-恒成立.

當直線l的斜率存不為0時，設直線l∶x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），由

+y2=1，

x=ty+1，消去x并整理得（t2+2）y2+2ty-1=0.

顯然Δ>0，y1+y2=-

，

y1y2=-

，因為x1=ty1+1，x2=ty2+1，所以（x1-，y1）（x2-，y2）=（ty1-）（ty2-）+y1y2=（t2+1）y1y2-t（y1+y2）+=-（t2+1）+t·+=+=-.

綜上所述，在x軸上存在點Q（，0），使得·=-恒成立.

21.（1）解：f ′（x）=ex-m，由f ′（x）=ex-m=0可得x=lnm.

當m≤0時，f ′（x）>0恒成立，函數f（x）=ex-mx-1在R上單調遞增；

當m>0時，由f ′（x）>0可得x>lnm，由f ′（x）<0可得x

故函數f（x）=ex-mx-1在（lnm，+∞）上單調遞增；在（-∞，lnm）上單調遞減.

（2）函數的定義域為（0，+∞），g′（x）=-1，由g′（x）>0可得0

由g′（x）<0可得x>1，故函數g（x）=lnx-x在x=1處取得極大值，其極大值為ln1-1=-1.

（3）證明：由第（1）問可知當m=1時，f（x）=ex-x-1，因為當m>0時，f（x）=ex-x-1在x=ln1=0處取得極小

值，即最小值為fmin（0）=e0-1=0，故ex-x-1>fmin（0），x>0，即ex-x-1>0，x>0，得到ex>x（x>0）.

由第（2）問可知g（x）=x-lnx在x=1處取得最大值，gmax=ln1-1=-1，故g（x）0），即lnx-x<-1（x>0），得到lnx-x<0，故lnx0）.

綜合得lnx0）.