通過變式教學讓學生思維在發散中收斂

摘 要：在傳統的例題講解中，教師喜歡通過一題多解培養學生的發散思維，筆者認為這是有必要的，在此基礎上還必須進行適當的多題一解的解法歸納，但又不能產生思維的慣性，必須抓住問題的本質而不是流于解法步驟和形式，本文通過變式教學，旨在培養學生發散思維的同時還要注重思維的收斂，思維發散離不開適當收斂，只思維收斂是解決不了問題的，必須有發散思維作為前提，兩者是辯證統一的。

關鍵詞：變式教學；發散思維；收斂思維

中圖分類號：G427 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2013）04-083-1

收斂思維（ConvergentThinking）又稱“聚合思維”、“求同思維”、“輻集思維”或“集中思維”，特點是使思維始終集中于同一方向，使思維條理化、簡明化、邏輯化、規律化。收斂思維與發散思維，如同“一個錢幣的兩面”，是對立的統一，具有互補性，不可偏廢。實踐證明：在教學中，既重視培養學生發散思維，又重視收斂思維的培養，才能較好地促進學生思維發展，提高學習能力，培養高素質人才；中學數學教學中，教師往往在例題教學中會進行一題多解的講解，訓練學生的發散思維能力，當然具備一定的發散思維在解題中是必不可少的，但如果只強調發散，不注意題型與知識方法的歸納，往往會出現另一種極端，不僅可能使學生陷入題海戰，而且容易帶來思維定位不準、思維不容易“聚焦”的弊端，反而會影響思維的敏捷性和解決問題的有效性。下面通過幾道例題談談如何通過變式教學讓學生思維在發散中適當收斂。

例1 已知不等式2x2-9x+m≤0，當x∈[2，3]時不等式恒成立，求實數m的取值范圍。

1.在問題解決方法上發散

解析：原命題即：m≤-2x2+9x在x∈[2，3]上恒成立

記g（x）=-2x2+9x，x∈[2，3]，所以m≤g（x）min，∵g（x）=-2（x-94）2+9 x∈[2，3]∴m≤9

2.在題目的結構上發散

變式1：已知不等式2x2-mx+9≤0，當x∈[2，3]時不等式恒成立，求實數m的取值范圍。

變式2：已知不等式mx2-2x+9≤0，當x∈[2，3]時不等式恒成立，求實數m的取值范圍。

經過思維發散，學生解決問題的能力是不是就提高了呢？不一定！這需要我們在教學中進一步引導學生，把思維收斂于解決這類問題的關鍵上，即以下幾點：

（1）通過分離變量，將問題轉化為a≥f（x）（或a≤f（x））恒成立，再運用不等式知識或求函數最值的方法，使問題獲解。

（2）一次函數型問題，利用一次函數的圖像特征求解。

（3）二次函數型問題，結合拋物線圖像，轉化成最值問題，分類討論。

（4）對于有些f（x）≥g（x）型問題，利用數形結合思想轉化為函數圖象的關系再處理。思維如此收斂以后，學生解決這類問題的能力才算得到提高。

例2 函數y=sin（3x+π4），x∈R在什么區間上是減函數？

解析：設z=3x+π4，則y=sinz。函數y=sinz在區間[2kπ+π2，2kπ+3π2]上是減函數，當2kπ+π2≤3x+π4≤2kπ+3π2，即23kπ+π12≤x≤23kπ+5π12（k∈Z）時，函數y=sin（3x+π4）是減函數。所以，函數y=sin（3x+π4），x∈R在區間[23kπ+π12，23kπ+5π12]（k∈Z）上是減函數。

變式：函數y=sin（-3x+π4），x∈R在什么區間上是減函數？

解析：許多學生在作業中是這樣求解的：

錯解：設z=-3x+π4，則y=sinz，

因為函數y=sinz在區間[2kπ+π2，2kπ+3π2]上是減函數，所以當2kπ+π2≤-3x+π4≤2kπ+3π2，即-23kπ-512π≤x≤-23kπ-π12（k∈Z）時，函數y=sin（-3x+π4）是減函數。所以，函數y=sin（-3x+π4），x∈R在區間[-23kπ-512π，-23kπ-π12]（k∈Z）上是減函數。

整個求解過程，看起來似乎完美無缺，無懈可擊，但實際上這是一種誤解，學生之所以誤解，是思維慣性的負面結果。學生首先對問題進行了模式辨認，誤把y=sin（-3x+π4）看作正弦函數，試圖把問題納入到已建立的模式中加以解決，忽視了對變量范圍的認真分析，我們教師要讓學生認識到題目的本質上是求復合函數的單調區間，應該遵循“同增異減”的原則。

解法一：只要解不等式2kπ-π2≤-3x+π4≤2kπ+π2即可。

解法二：y=sin（-3x+π4）=-sin（3x-π4），下面求y=sin（3x-π4）的單增區間即可。

這需要我們在教學中進一步引導學生把思維收斂于解決在求y=sin（-ax+b）（a>0）的單減區間問題上，歸納以下幾點：

（1）先利用誘導公式y=sin（-ax+b）=-sin（ax-b）（a>0）。

（2）要求y=sin（-ax+b）（a>0）的單減區間即求y=sin（ax-b）（a>0）的單增區間。

思維發散并不是考試所直接要求的思維品質，而且思維發散只有在恰當地收斂后才有意義，但在具體的思維過程中，這一過程又必不可少，它往往是獲得重大發現的先導，是思維收斂的基礎。思維發散的積極效應就在于老師在教學中必須精心備課，積極創設思維發散的情境。