抽簽原理在古典概率計算中的應用

在古典概率的計算中，若能恰當地運用“抽簽原理”，能達到簡化運算的效果，而且也不容易出錯。介紹了抽簽原理在簡化古典概率計算中的應用。

古典概率抽簽原理放回抽樣不放回抽樣在古典概率模型中，公平的抽簽模型是一種很重要的古典概型。該模型是這樣的：

袋中有a個白球，b個紅球，k個人依次在袋中任取一個球，（1）作放回抽樣；（2）作不放回抽樣，求第i（i=1，2，…，k）人取到白球（記為事件B）的概率（ka+b）。

解：（1）放回抽樣的情況，顯然有：

（2）不放回抽樣的情況。

可見，各人取到白球的概率是一樣的，大家機會相等（例如在購買彩票時，各人中獎的機會是相同的），且與抽樣是否放回的方式無關，都可看作與第一人抽到白球的概率相等。這就是“抽簽原理”。從而，在古典概率的計算中，只要是包含兩種元素，不管是放回抽樣還是不放回抽樣一次，取到其中一種元素的概率均可用“抽簽原理”來解題，下面舉例來說明。

例1.某人的一串鑰匙上有n把鑰匙，其中只有一把能打開自己的家門，他隨意地去試用這串鑰匙中的某一把去開門。

（1）每把試開一次后除去；（2）每把試開后仍放回去，求第k次打開門的概率（k≤n）。

解：這是古典概率問題。將能打開自家門的那把鑰匙看作“白球”，其余的n-1把鑰匙看作“紅球”，“每把試開一次后除去”，相當于“不放回抽樣”，“每把試開后仍放回去”，相當于“放回抽樣”。因此，運用抽簽原理，對問題（1）和（2），概率均為1n。

例2.某人忘記電話號碼的最后一位數字，因而他隨意地撥號，求他撥號不超過三次而接通電話的概率。若已知最后一位數字是一個奇數，那么此概率是多少？

解：這是古典概率問題。將正確的那個數字看作“白球”，其余的數字看作“紅球”，這里相當于“不放回抽樣”。可以運用抽簽原理。因此，對于第一個問題，第一次、第二次和第三次接通電話的概率均為110，從而撥號不超過三次而接通電話的概率為310。對于第二個問題，第一次、第二次和第三次接通電話的概率均為15，從而撥號不超過三次而接通電話的概率為35。

我們還可將上面的答案進行推廣：隨意地撥號，撥號不超過k次（k≤10）而接通電話的概率為k10。若已知最后一位數字是一個奇數，撥號不超過k次（k5）而接通電話的概率為k5。

從以上的舉例可看到，在古典概率的計算中，若能恰當地運用“抽簽原理”，能達到簡化運算的效果，而且也不容易出錯。當然，值得指出的是，應該事先驗證是否滿足“抽簽原理”運用的條件，否則，運用不當，會帶來錯誤的結論。

參考文獻：

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[2]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統計教程[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]盛驟，謝式千.概率論與數理統計及其應用[M].北京：高等教育出版社，2006.

基金項目：本文是重慶市教委教育教學改革項目（113152、1203117）、重慶理工大學教育教學改革研究項目（yjg2012208，2011001）、統計學特色專業、校級重大教學成果項目的階段性成果。